登录
14. 如图甲所示，某学校学生宿舍配置了太阳能热水器。由于晴天热水器产生的水温过高不可直接洗浴，所以浴室安装了如图乙所示的混水阀。通过混水阀可以将冷水管中的22 ℃的冷水与储存的80 ℃热水按照一定比例混合，得到一定温度的温水（不计冷热水混合过程中的热损失）。下表所示的是物理兴趣小组在某个晴天获得的相关信息。$c_{水}=4.2×10^{3}\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg·℃})$。
甲 乙
热水器装水量/t 冷水温度/℃ 热水温度/℃
10 22 80
(1)某次学生在洗澡过程中，热水管流入4 kg热水，冷水管流入7.6 kg冷水，则混合后的温水温度为多少？
(2)若某天学生们需要29 t温度为40 ℃的温水，通过计算分析热水器储存的热水是否够用。
甲 乙热水器装水量/t 冷水温度/℃ 热水温度/℃
10 22 80
(1)某次学生在洗澡过程中，热水管流入4 kg热水，冷水管流入7.6 kg冷水，则混合后的温水温度为多少？
(2)若某天学生们需要29 t温度为40 ℃的温水，通过计算分析热水器储存的热水是否够用。
答案
14.(1)设混合后温度为$t$，据$c_{水} m_{热} \Delta t_{热}=c_{水} m_{冷} \Delta t_{冷}$，则$c_{水}×4\ \mathrm{kg}×(80\ ℃−t)=c_{水}×7.6\ \mathrm{kg}×(t−22\ ℃)$，解得$t=42\ ℃$。
(2)由$c_{水} m_{冷} \Delta t_{冷}=c_{水} m_{热} \Delta t_{热}$，则$c_{水}×(29×10^3\ \mathrm{kg}−m_{热})×(40\ ℃−22\ ℃)=c_{水}×m_{热}×(80\ ℃−40\ ℃)$，解得$m_{热}=9×10^3\ \mathrm{kg}=9\ \mathrm{t}＜10\ \mathrm{t}$，所以储存的热水够用。
(2)由$c_{水} m_{冷} \Delta t_{冷}=c_{水} m_{热} \Delta t_{热}$，则$c_{水}×(29×10^3\ \mathrm{kg}−m_{热})×(40\ ℃−22\ ℃)=c_{水}×m_{热}×(80\ ℃−40\ ℃)$，解得$m_{热}=9×10^3\ \mathrm{kg}=9\ \mathrm{t}＜10\ \mathrm{t}$，所以储存的热水够用。
解析
【分析】
(1) 不计冷热水混合的热损失，热水放出的热量等于冷水吸收的热量，即满足热平衡方程$Q_{放}=Q_{吸}$。需明确热水的温度变化为初温减混合温度，冷水的温度变化为混合温度减初温，利用热量公式代入已知质量即可求解混合温度。
(2) 判断热水是否够用，需先计算得到目标温度温水所需的热水质量，再与热水器储存的热水质量对比。同样依据热平衡方程，设所需热水质量，结合总温水质量求出对应冷水质量，代入温度变化量求解后对比判断。
【解析】
(1) 设混合后温水的温度为$t$，不计热损失，热水放出的热量等于冷水吸收的热量，即：
$c_{水}m_{热}(80℃−t)=c_{水}m_{冷}(t−22℃)$
因$c_{水}$相同，两边约去$c_{水}$，代入$m_{热}=4\ \mathrm{kg}$、$m_{冷}=7.6\ \mathrm{kg}$：
$4\ \mathrm{kg}×(80℃−t)=7.6\ \mathrm{kg}×(t−22℃)$
展开计算：$320 -4t=7.6t -167.2$，移项得$11.6t=487.2$，解得$t=42℃$。
(2) 设得到$29\ \mathrm{t}=29×10^3\ \mathrm{kg}$、$40℃$的温水时，所需热水质量为$m_{热}$，则冷水质量$m_{冷}=29×10^3\ \mathrm{kg}−m_{热}$。
根据热平衡方程：
$c_{水}m_{热}(80℃−40℃)=c_{水}(29×10^3\ \mathrm{kg}−m_{热})(40℃−22℃)$
约去$c_{水}$，代入温度：
$m_{热}×40℃=(29×10^3\ \mathrm{kg}−m_{热})×18℃$
展开计算：$40m_{热}=522×10^3\ \mathrm{kg}−18m_{热}$，移项得$58m_{热}=522×10^3\ \mathrm{kg}$，解得$m_{热}=9×10^3\ \mathrm{kg}=9\ \mathrm{t}$。
因$9\ \mathrm{t}＜10\ \mathrm{t}$，故储存的热水够用。
【答案】
(1)42℃；(2)够用
【知识点】
热平衡方程的应用；热量的计算
【点评】
本题结合生活实际考查热平衡方程的应用，核心是理解不计热损失时热水放热等于冷水吸热，需准确计算温度变化量，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
(1) 不计冷热水混合的热损失，热水放出的热量等于冷水吸收的热量，即满足热平衡方程$Q_{放}=Q_{吸}$。需明确热水的温度变化为初温减混合温度，冷水的温度变化为混合温度减初温，利用热量公式代入已知质量即可求解混合温度。
(2) 判断热水是否够用，需先计算得到目标温度温水所需的热水质量，再与热水器储存的热水质量对比。同样依据热平衡方程，设所需热水质量，结合总温水质量求出对应冷水质量，代入温度变化量求解后对比判断。
【解析】
(1) 设混合后温水的温度为$t$，不计热损失，热水放出的热量等于冷水吸收的热量，即：
$c_{水}m_{热}(80℃−t)=c_{水}m_{冷}(t−22℃)$
因$c_{水}$相同，两边约去$c_{水}$，代入$m_{热}=4\ \mathrm{kg}$、$m_{冷}=7.6\ \mathrm{kg}$：
$4\ \mathrm{kg}×(80℃−t)=7.6\ \mathrm{kg}×(t−22℃)$
展开计算：$320 -4t=7.6t -167.2$，移项得$11.6t=487.2$，解得$t=42℃$。
(2) 设得到$29\ \mathrm{t}=29×10^3\ \mathrm{kg}$、$40℃$的温水时，所需热水质量为$m_{热}$，则冷水质量$m_{冷}=29×10^3\ \mathrm{kg}−m_{热}$。
根据热平衡方程：
$c_{水}m_{热}(80℃−40℃)=c_{水}(29×10^3\ \mathrm{kg}−m_{热})(40℃−22℃)$
约去$c_{水}$，代入温度：
$m_{热}×40℃=(29×10^3\ \mathrm{kg}−m_{热})×18℃$
展开计算：$40m_{热}=522×10^3\ \mathrm{kg}−18m_{热}$，移项得$58m_{热}=522×10^3\ \mathrm{kg}$，解得$m_{热}=9×10^3\ \mathrm{kg}=9\ \mathrm{t}$。
因$9\ \mathrm{t}＜10\ \mathrm{t}$，故储存的热水够用。
【答案】
(1)42℃；(2)够用
【知识点】
热平衡方程的应用；热量的计算
【点评】
本题结合生活实际考查热平衡方程的应用，核心是理解不计热损失时热水放热等于冷水吸热，需准确计算温度变化量，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
15. 在探究物质熔化特点的实验中，实验小组测得500 g某物质的温度随时间变化的图像如图所示。已知该物质的比热容$c_1=2.1×10^3\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}·℃)$，加热器每秒放出的热量不变，不计热损失。求：
(1)在前2 min内，该物质吸收的热量。
(2)该物质在4 min到8 min内吸收的热量。
(3)该物质在液态时的比热容。
(1)在前2 min内，该物质吸收的热量。
(2)该物质在4 min到8 min内吸收的热量。
(3)该物质在液态时的比热容。
答案
15.(1)$4.2×10^4\ \mathrm{J}$
(2)$8.4×10^4\ \mathrm{J}$
(3)$4.2×10^3\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}· ℃)$
(2)$8.4×10^4\ \mathrm{J}$
(3)$4.2×10^3\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}· ℃)$
解析
【分析】
要解决本题，需结合温度-时间图像，利用“加热器每秒放热不变、不计热损失时相同时间内物质吸收热量相同”的特点，结合热量公式$Q=cm\Delta t$分阶段计算：首先确定各阶段的温度变化、时间，再结合已知条件逐步求解。
【解析】
先统一单位：物质质量$m=500\ \mathrm{g}=0.5\ \mathrm{kg}$。
(1) 前2 min内，物质处于固态，温度变化$\Delta t_1=0°\mathrm{C}-(-40°\mathrm{C})=40°\mathrm{C}$。
根据热量公式$Q=cm\Delta t$，吸收的热量：
$Q_1=c_1m\Delta t_1=2.1×10^3\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg·℃})×0.5\ \mathrm{kg}×40°\mathrm{C}=4.2×10^4\ \mathrm{J}$。
(2) 因加热器放热不变且不计热损失，相同时间内吸收热量相同。前2 min吸热$4.2×10^4\ \mathrm{J}$，则每分钟吸热：
$Q_0=\frac{Q_1}{2\ \mathrm{min}}=\frac{4.2×10^4\ \mathrm{J}}{2\ \mathrm{min}}=2.1×10^4\ \mathrm{J/min}$。
4 min到8 min的时间间隔为$8\ \mathrm{min}-4\ \mathrm{min}=4\ \mathrm{min}$，该阶段吸收的热量：
$Q_2=Q_0×4\ \mathrm{min}=2.1×10^4\ \mathrm{J/min}×4\ \mathrm{min}=8.4×10^4\ \mathrm{J}$。
(3) 8 min到12 min物质为液态，温度变化$\Delta t_3=40°\mathrm{C}-0°\mathrm{C}=40°\mathrm{C}$，时间间隔为$12\ \mathrm{min}-8\ \mathrm{min}=4\ \mathrm{min}$，该阶段吸收的热量：
$Q_3=Q_0×4\ \mathrm{min}=2.1×10^4\ \mathrm{J/min}×4\ \mathrm{min}=8.4×10^4\ \mathrm{J}$。
根据$Q=cm\Delta t$，液态比热容：
$c_2=\frac{Q_3}{m\Delta t_3}=\frac{8.4×10^4\ \mathrm{J}}{0.5\ \mathrm{kg}×40°\mathrm{C}}=4.2×10^3\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg·℃})$。
【答案】
(1)$4.2×10^4\ \mathrm{J}$；(2)$8.4×10^4\ \mathrm{J}$；(3)$4.2×10^3\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg·℃})$
【知识点】
热量计算、比热容、晶体熔化图像
【点评】
本题结合晶体熔化图像，考查热量公式的应用，关键是利用“相同时间吸热相同”的隐含条件，从图像中提取各阶段的时间和温度变化，注意单位统一，属于中等难度的热学综合题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合温度-时间图像，利用“加热器每秒放热不变、不计热损失时相同时间内物质吸收热量相同”的特点，结合热量公式$Q=cm\Delta t$分阶段计算：首先确定各阶段的温度变化、时间，再结合已知条件逐步求解。
【解析】
先统一单位：物质质量$m=500\ \mathrm{g}=0.5\ \mathrm{kg}$。
(1) 前2 min内，物质处于固态，温度变化$\Delta t_1=0°\mathrm{C}-(-40°\mathrm{C})=40°\mathrm{C}$。
根据热量公式$Q=cm\Delta t$，吸收的热量：
$Q_1=c_1m\Delta t_1=2.1×10^3\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg·℃})×0.5\ \mathrm{kg}×40°\mathrm{C}=4.2×10^4\ \mathrm{J}$。
(2) 因加热器放热不变且不计热损失，相同时间内吸收热量相同。前2 min吸热$4.2×10^4\ \mathrm{J}$，则每分钟吸热：
$Q_0=\frac{Q_1}{2\ \mathrm{min}}=\frac{4.2×10^4\ \mathrm{J}}{2\ \mathrm{min}}=2.1×10^4\ \mathrm{J/min}$。
4 min到8 min的时间间隔为$8\ \mathrm{min}-4\ \mathrm{min}=4\ \mathrm{min}$，该阶段吸收的热量：
$Q_2=Q_0×4\ \mathrm{min}=2.1×10^4\ \mathrm{J/min}×4\ \mathrm{min}=8.4×10^4\ \mathrm{J}$。
(3) 8 min到12 min物质为液态，温度变化$\Delta t_3=40°\mathrm{C}-0°\mathrm{C}=40°\mathrm{C}$，时间间隔为$12\ \mathrm{min}-8\ \mathrm{min}=4\ \mathrm{min}$，该阶段吸收的热量：
$Q_3=Q_0×4\ \mathrm{min}=2.1×10^4\ \mathrm{J/min}×4\ \mathrm{min}=8.4×10^4\ \mathrm{J}$。
根据$Q=cm\Delta t$，液态比热容：
$c_2=\frac{Q_3}{m\Delta t_3}=\frac{8.4×10^4\ \mathrm{J}}{0.5\ \mathrm{kg}×40°\mathrm{C}}=4.2×10^3\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg·℃})$。
【答案】
(1)$4.2×10^4\ \mathrm{J}$；(2)$8.4×10^4\ \mathrm{J}$；(3)$4.2×10^3\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg·℃})$
【知识点】
热量计算、比热容、晶体熔化图像
【点评】
本题结合晶体熔化图像，考查热量公式的应用，关键是利用“相同时间吸热相同”的隐含条件，从图像中提取各阶段的时间和温度变化，注意单位统一，属于中等难度的热学综合题。
【难度系数】
0.5
