6.「2025北京延庆期中，★★★」阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$，这样就可以将$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$进行化简，即$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}=1+\sqrt{2}$。
善于思考的小明进行了以下探索：
对于$a+2\sqrt{b}$，若能找到两个数$m$和$n$，使$m^2+n^2=a$且$mn=\sqrt{b}$，则$a+2\sqrt{b}$可变形为$m^2+n^2+2mn$，即$(m+n)^2$，从而使得$\sqrt{a+2\sqrt{b}}=\sqrt{(m+n)^2}=m+n$。（其中$a,b,m,n$均为正数）
例如：$\because 4+2\sqrt{3}=1+3+2\sqrt{3}=(\sqrt{1})^2+(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})^2$，
$\therefore \sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=1+\sqrt{3}$。
请你参考小明的方法解决下列问题：
(1)化简：$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$。
(2)化简：$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$。
(3)若$\sqrt{a^2+4\sqrt{5}}=b+\sqrt{5}$，其中$a,b$都是整数，求出$a$的值。

6.解析 (1)原式$=\sqrt{3+2\sqrt{6}+2}$
$=\sqrt{(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2}$
$=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}.$
(2)原式$=\sqrt{4-4\sqrt{3}+3}$
$=\sqrt{(\sqrt{4})^2-2×2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}$
$=\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}=2-\sqrt{3}.$
(3)$\because \sqrt{a^2+4\sqrt{5}}=b+\sqrt{5},$
$\therefore a^2+4\sqrt{5}=b^2+2\sqrt{5}b+5,$
$\because a,b都是整数,\therefore 4\sqrt{5}=2\sqrt{5}b,解得b=2,$
$\therefore a^2+4\sqrt{5}=2^2+2\sqrt{5}×2+5,解得a=±3.$