1 分类讨论思想在平面直角坐标系中，已知点$A(x-3,y+2)$与点$B(5,3y-2)$。
(1)若点$A$与点$B$关于$x$轴对称，求$x+y$的值；
(2)若$AB// x$轴，且$AB=2$，求点$A$的坐标。

(1) $\because$点$A$与点$B$关于$x$轴对称，$\therefore x-3=5,(y+2)+(3y-2)=0. \therefore x=8,y=0,\therefore x+y=8+0=8.$
(2) 当点$A$在点$B$的右边时，$\because AB// x$轴，且$AB=2$，$\therefore$点$A$的横坐标是$7,y+2=3y-2,\therefore y=2,\therefore A(7,4)$；当点$A$在点$B$的左边时，$\because AB// x$轴，且$AB=2$，$\therefore$点$A$的横坐标是$3$，纵坐标还是$4$，则$A(3,4)$. 综上所述，点$A$的坐标为$(3,4)$或$(7,4).$

2 中考新考法 新定义问题 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，当点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”。
(1)点$A(-1,3)$的“长距”为；
(2)若点$B(4a-1,-3)$是“完美点”，求$a$的值；
(3)若点$C(-2,3b-2)$的“长距”为4，且点$C$在第二象限内，点$D$的坐标为$(9-2b,-5)$，试说明：点$D$是“完美点”。

(1)3
(2)$\because$点$B(4a-1,-3)$是“完美点”，$\therefore |4a-1|=|-3|$，$\therefore 4a-1=3$或$4a-1=-3$，解得$a=1$或$a=-\frac{1}{2}.$
(3)$\because$点$C(-2,3b-2)$的“长距”为4，且点$C$在第二象限内，$\therefore 3b-2=4$，解得$b=2$，$\therefore 9-2b=5$，$\therefore$点$D$的坐标为$(5,-5)$，$\therefore$点$D$到$x$轴、$y$轴的距离都是5，$\therefore$点$D$是“完美点”.

3 已知点$A(a,0),B(b,0)$,且$\sqrt{a+4} + |b-2|=0$.
(1)求$a,b$的值.
(2)在$y$轴的正半轴上找一点$C$,使得三角形$ABC$的面积是$15$,求出点$C$的坐标.
(3)过(2)中的点$C$作直线$MN // x$轴,在直线$MN$上是否存在点$D$,使得三角形$ACD$的面积是三角形$ABC$面积的$\frac{1}{2}$?若存在,求出点$D$的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)$\because \sqrt{a+4}+|b-2|=0$，$\therefore a+4=0,b-2=0,\therefore a=-4,b=2.$
→根据非负数的性质求解
(2)$\because A(-4,0),B(2,0),\therefore AB=6.$
$\because$三角形$ABC$的面积是15，且点$C$在$y$轴正半轴上，$\therefore \frac{1}{2}AB· OC=15,\therefore OC=5,\therefore$点$C$的坐标是$(0,5).$
(3)存在，如图，点$D$的坐标为$(3,5)$或$(-3,5).$
理由如下：$\because$三角形$ABC$的面积是15，$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CD· OC=\frac{1}{2}×15,\therefore \frac{1}{2}CD×5=\frac{1}{2}×15,\therefore CD=3. \therefore$点$D$的坐标为$(3,5)$或$(-3,5).$

4 如图,已知$A(2,3),B(1,1),C(4,1)$是平面直角坐标系中的三点.
(1)请画出$△ ABC$关于$x$轴对称的$△ A_1B_1C_1$；
(2)在$x$轴上找一点$P$,并标出点$P$的位置,使得$PA+PC$最小；
(3)若$△ ABC$中有一点$M$坐标为$(x,y)$,请直接写出经过以上变换后$△ A_1B_1C_1$中点$M$的对应点$M'$的坐标为.

(1)如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求.
(2)如图，点$P$即为所求.
(3)$(x,-y)$
归纳总结 本题考查的是平面直角坐标系内关于$x$轴对称的点的坐标特点、轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键.