1. 若点$M$到$△ ABC$的边$BC$两端点的距离相等，则点$M$在 （）

A.$BC$的中线上
B.$BC$的高上
C.$AB$的垂直平分线上
D.$BC$的垂直平分线上

1. D

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。本题已知点M到线段BC的两个端点B、C距离相等，直接对应判定定理的条件，再逐一分析其他选项的错误即可：BC的中线、高只有在△ABC为等腰三角形（AB=AC）时才和BC的垂直平分线重合，不具有普遍性；AB的垂直平分线对应的是到A、B两点距离相等的点，和题干要求不符，因此可以排除错误选项。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知点M到BC两端点B、C的距离相等，因此点M在BC的垂直平分线上。
对其他选项逐一排除：
A选项：BC的中线是连接顶点A与BC中点的线段，普通三角形中BC中线上的点不一定满足到B、C距离相等，排除；
B选项：BC的高是过顶点A垂直于BC的线段，普通三角形中BC的高上的点不一定满足到B、C距离相等，排除；
C选项：AB的垂直平分线上的点到A、B两点距离相等，不符合题干要求，排除。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定、三角形中线与高的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对线段垂直平分线判定定理的识记与应用，解题时注意区分三角形特殊线段和线段垂直平分线的性质差异，避免混淆概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9

2. 如图，在$△ ABC$中，$AC=5$，线段$AB$的垂直平分线交$AB$于点$M$，交$AC$于点$N$，若$△ BCN$的周长是9，则$BC$的长为 （）

A.2
B.3
C.4
D.5

2. C

【分析】
解答本题的核心是利用线段垂直平分线的性质做等量代换。首先观察到MN是AB的垂直平分线，根据性质可得点N到A、B两点的距离相等，即BN=AN；再结合△BCN的周长表达式，把BN替换为AN后，可发现CN+AN恰好是AC的长度，代入已知的AC长度和△BCN的周长数值，就能直接求出BC的长。
【解析】
∵ MN是AB的垂直平分线，点N在MN上，
∴ BN=AN（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ △BCN的周长为9，
∴ $C_{△BCN}=BC+CN+BN=9$，
将BN=AN代入上式可得：$BC+CN+AN=9$，
又
∵ $CN+AN=AC=5$，
∴ $BC+5=9$，
解得 $BC=4$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题关键是通过性质将三角形周长中的未知边转化为已知线段，计算难度较低，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在$△ ABC$中,D是BC上的一点,且$BC=AD+CD$,点D在线段的垂直平分线上.

$AB$

【解析】
已知D是BC上的点，因此$BC=BD+CD$，结合题目条件$BC=AD+CD$，可推得$BD=AD$。根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，点D到A、B两点的距离相等，因此点D在线段AB的垂直平分线上。
【答案】
AB
【知识点】
线段垂直平分线判定
【点评】
本题结合线段和的等量代换推导相等线段，直接考查线段垂直平分线的判定定理，属于基础概念应用题，帮助学生巩固垂直平分线判定的核心逻辑。
【难度系数】
0.8

4. 笔直的河岸$ l $旁有$ A,B $两个货场，现要把$ A $货场的货物运往$ B $货场，按计划要先到河岸$ M $处再接一批货物，然后一起运到$ B $货场.
（1）如图①，当$ A,B $货场在河岸$ l $两侧时，要使运输总路程最短，点$ M $应选在河岸$ l $的什么位置？请在图①中作图，并说明理由.
（2）如图②，当$ A,B $货场在河岸$ l $同侧时，要使运输总路程最短，点$ M $应选在河岸$ l $的什么位置？请在图②中作图，并说明理由.

4.

【分析】
（1）当A、B在河岸l两侧时，运输总路程为AM+BM，要使总路程最短，根据两点之间线段最短的原理，只需连接AB，AB与l的交点即为所求的M点，此时AM+BM的和等于AB的长度，是最小值。
（2）当A、B在河岸l同侧时，直接连接AB不会和l相交，因此需要通过轴对称进行转化：作点A关于直线l的对称点A'，根据轴对称的性质可知AM=A'M，此时总路程AM+BM转化为A'M+BM，再根据两点之间线段最短，连接A'B与l的交点即为所求M点，此时总路程最短。
【解析】
（1）作图：连接AB，交直线l于点M，点M即为所求位置。
理由：两点之间，线段最短，此时总路程$AM+BM=AB$，为最短路径。
（2）作图：作点A关于直线l的对称点$A'$，连接$A'B$，交直线l于点M，点M即为所求位置。
理由：
∵点A和$A'$关于直线l对称，
∴直线l垂直平分$AA'$，根据线段垂直平分线的性质可得$AM=A'M$，因此总路程$AM+BM=A'M+BM$。根据两点之间线段最短，$A'B$的长度是$A'M+BM$的最小值，即此时运输总路程最短。
【答案】

【知识点】
两点之间线段最短；轴对称的性质；最短路径作图
【点评】
本题是最短路径的典型基础题型，分为两点在直线异侧和同侧两种情况，异侧直接连线即可找到路径最短的点，同侧需利用轴对称将问题转化为异侧的情况再求解，掌握转化思想是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8