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1. 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，垂足是$D$，若$BC=14$，$AD=12$，$\tan∠ BAD=\frac{3}{4}$，求$\sin C$的值。
答案
1. 解:$\because AD⊥ BC,\therefore \tan∠ BAD=\frac{BD}{AD}.$
$\because \tan∠ BAD=\frac{3}{4},AD=12,\therefore \frac{3}{4}=\frac{BD}{12},\therefore BD=9. \therefore CD=BC-BD=14-9=5. \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13. \therefore \sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{12}{13}.$
$\because \tan∠ BAD=\frac{3}{4},AD=12,\therefore \frac{3}{4}=\frac{BD}{12},\therefore BD=9. \therefore CD=BC-BD=14-9=5. \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13. \therefore \sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{12}{13}.$
解析
【分析】
要计算$\sin C$的值，首先结合$AD⊥ BC$可知$△ ADC$是直角三角形，根据正弦的定义，$\sin C=\frac{AD}{AC}$，已知$AD=12$，因此只需要求出$AC$的长度即可。要算$AC$，需要先求$CD$的长度，$CD=BC-BD$，所以先通过$\tan∠ BAD$的定义求出$BD$的长度，再逐步推导即可得到结果。
【解析】
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tan∠ BAD=\frac{BD}{AD}$，
$\because \tan∠ BAD=\frac{3}{4}$，$AD=12$，
$\therefore \frac{3}{4}=\frac{BD}{12}$，解得$BD=9$，
$\therefore CD=BC-BD=14-9=5$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$，
$\therefore \sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{12}{13}$。
【答案】
$\frac{12}{13}$
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理、线段和差计算
【点评】
本题是锐角三角函数与勾股定理的基础综合题，解题核心是灵活运用直角三角形的边角关系和勾股定理，先通过已知正切值求出未知线段长度，再推导目标三角函数值，掌握相关基础定义和定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要计算$\sin C$的值，首先结合$AD⊥ BC$可知$△ ADC$是直角三角形，根据正弦的定义，$\sin C=\frac{AD}{AC}$，已知$AD=12$，因此只需要求出$AC$的长度即可。要算$AC$，需要先求$CD$的长度，$CD=BC-BD$，所以先通过$\tan∠ BAD$的定义求出$BD$的长度，再逐步推导即可得到结果。
【解析】
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tan∠ BAD=\frac{BD}{AD}$，
$\because \tan∠ BAD=\frac{3}{4}$，$AD=12$，
$\therefore \frac{3}{4}=\frac{BD}{12}$，解得$BD=9$，
$\therefore CD=BC-BD=14-9=5$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$，
$\therefore \sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{12}{13}$。
【答案】
$\frac{12}{13}$
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理、线段和差计算
【点评】
本题是锐角三角函数与勾股定理的基础综合题，解题核心是灵活运用直角三角形的边角关系和勾股定理，先通过已知正切值求出未知线段长度，再推导目标三角函数值，掌握相关基础定义和定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
2.如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$于点 $D$,$BC=3$,$AC=4$.求$∠ BCD$ 的正弦值.
答案
2. 解:$\because ∠ ACB=90°,BC=3,AC=4,$
$\therefore ∠ A+∠ B=90°,AB=5. \because CD⊥ AB, \therefore ∠ B + ∠ BCD = 90°, \therefore ∠ BCD=∠ A, \therefore \sin∠ BCD=\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}.$
$\therefore ∠ A+∠ B=90°,AB=5. \because CD⊥ AB, \therefore ∠ B + ∠ BCD = 90°, \therefore ∠ BCD=∠ A, \therefore \sin∠ BCD=\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}.$
解析
【分析】
要求∠BCD的正弦值，直接在Rt△BCD中计算缺少边长条件，因此优先考虑角的转化：首先根据直角三角形两锐角互余的性质，可推出∠BCD和∠A都是∠B的余角，二者相等，因此求sin∠BCD可转化为求sinA；再在已知直角边长的Rt△ABC中，先用勾股定理算出斜边AB的长度，最后根据正弦的定义计算即可。
【解析】
∵ ∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴ ∠A+∠B=90°，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BDC=90°，即∠B+∠BCD=90°，
∴ ∠BCD=∠A（同角的余角相等），
∴ $\sin∠BCD=\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
同角的余角相等、勾股定理、正弦的定义
【点评】
本题采用等角转化的方法求解锐角三角函数值，避免了计算未知直角三角形的边长，是求解锐角三角函数的常用技巧，解题时要注意观察图形中角的互余关系，灵活转化目标角降低计算难度。
【难度系数】
0.7
要求∠BCD的正弦值，直接在Rt△BCD中计算缺少边长条件，因此优先考虑角的转化：首先根据直角三角形两锐角互余的性质，可推出∠BCD和∠A都是∠B的余角，二者相等，因此求sin∠BCD可转化为求sinA；再在已知直角边长的Rt△ABC中，先用勾股定理算出斜边AB的长度，最后根据正弦的定义计算即可。
【解析】
∵ ∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴ ∠A+∠B=90°，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BDC=90°，即∠B+∠BCD=90°，
∴ ∠BCD=∠A（同角的余角相等），
∴ $\sin∠BCD=\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
同角的余角相等、勾股定理、正弦的定义
【点评】
本题采用等角转化的方法求解锐角三角函数值，避免了计算未知直角三角形的边长，是求解锐角三角函数的常用技巧，解题时要注意观察图形中角的互余关系，灵活转化目标角降低计算难度。
【难度系数】
0.7
3.如图,在边长为1的正方形网格中,点A、B、C、D都在格点(网格线的交点)上,AB、CD相交于点E,求$\cos∠ AEC$的值.
答案
3. 解:如图
,取格点 $F$,连接 $AF$、$BF$,易得 $CD// AF,\therefore ∠ AEC=∠ BAF,\because AF=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},BF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2},AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10},\therefore AB^2=AF^2+BF^2,\therefore △ ABF$ 是直角三角形,且 $∠ AFB = 90°, \therefore \cos ∠ AEC = \cos∠ BAF=\frac{AF}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$解析
【分析】
要求∠AEC的余弦值，直接在交点E处构造直角三角形计算边长较为复杂，因此考虑用转化思想：首先在网格中选取合适的格点F，构造平行于CD的线段AF，利用平行线的性质可将∠AEC转化为与其相等的∠BAF；再通过勾股定理计算△ABF的三边长，用勾股定理的逆定理验证△ABF为直角三角形后，即可根据锐角三角函数的定义求出∠BAF的余弦值，也就是∠AEC的余弦值。
【解析】
如图，取格点F，连接AF、BF：
1. 由网格特征可得$CD// AF$，根据平行线的同位角相等，得$∠ AEC=∠ BAF$；
2. 由勾股定理计算三边长：
$AF=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
3. 验证直角三角形：
$\because AF^2+BF^2=(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=2+8=10$，$AB^2=(\sqrt{10})^2=10$，
$\therefore AF^2+BF^2=AB^2$，由勾股定理逆定理得$△ ABF$是直角三角形，且$∠ AFB=90°$；
4. 计算余弦值：
$\cos∠ AEC=\cos∠ BAF=\frac{AF}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
如图，取格点 $F$,连接 $AF$、$BF$,易得 $CD// AF,\therefore ∠ AEC=∠ BAF,\because AF=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},BF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2},AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10},\therefore AB^2=AF^2+BF^2,\therefore △ ABF$ 是直角三角形，且 $∠ AFB = 90°, \therefore \cos ∠ AEC = \cos∠ BAF=\frac{AF}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$
【知识点】
平行线的性质、勾股定理及逆定理、锐角三角函数定义
【点评】
本题结合网格特征，通过平移转化所求角，利用勾股定理及其逆定理构造直角三角形求解锐角三角函数值，解题核心是合理选取格点完成角的转化，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
要求∠AEC的余弦值，直接在交点E处构造直角三角形计算边长较为复杂，因此考虑用转化思想：首先在网格中选取合适的格点F，构造平行于CD的线段AF，利用平行线的性质可将∠AEC转化为与其相等的∠BAF；再通过勾股定理计算△ABF的三边长，用勾股定理的逆定理验证△ABF为直角三角形后，即可根据锐角三角函数的定义求出∠BAF的余弦值，也就是∠AEC的余弦值。
【解析】
如图
，取格点F，连接AF、BF：1. 由网格特征可得$CD// AF$，根据平行线的同位角相等，得$∠ AEC=∠ BAF$；
2. 由勾股定理计算三边长：
$AF=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
3. 验证直角三角形：
$\because AF^2+BF^2=(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=2+8=10$，$AB^2=(\sqrt{10})^2=10$，
$\therefore AF^2+BF^2=AB^2$，由勾股定理逆定理得$△ ABF$是直角三角形，且$∠ AFB=90°$；
4. 计算余弦值：
$\cos∠ AEC=\cos∠ BAF=\frac{AF}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
如图
，取格点 $F$,连接 $AF$、$BF$,易得 $CD// AF,\therefore ∠ AEC=∠ BAF,\because AF=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},BF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2},AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10},\therefore AB^2=AF^2+BF^2,\therefore △ ABF$ 是直角三角形，且 $∠ AFB = 90°, \therefore \cos ∠ AEC = \cos∠ BAF=\frac{AF}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$【知识点】
平行线的性质、勾股定理及逆定理、锐角三角函数定义
【点评】
本题结合网格特征，通过平移转化所求角，利用勾股定理及其逆定理构造直角三角形求解锐角三角函数值，解题核心是合理选取格点完成角的转化，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
4.如图,已知直线 $ l_1 // l_2 // l_3 // l_4 $,且每相邻两条直线之间的距离相等,正方形ABCD的顶点均在直线上,求$ \sinα $的值. 
答案
4. 解:过点 $D$ 作 $EF⊥ l_1$ 交 $l_1$ 于点 $E$,交 $l_4$ 于点 $F$,$\because EF⊥ l_1,l_1// l_2// l_3// l_4,\therefore EF$ 与四条直线均垂直,即 $∠ AED=∠ CFD=90°,\therefore ∠α + ∠ ADE=90°.$ $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore ∠ ADC=90°,AD=CD,\therefore ∠ ADE + ∠ CDF = 90°, \therefore ∠α=∠ CDF. \therefore △ ADE≌△ DCF(\mathrm{AAS}),$ 设每相邻两条直线之间的距离为 $x$,则有 $AE=DF=x,DE=CF=2x$,在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$AD^2=AE^2+DE^2$,即 $AD=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$\sinα=\frac{DE}{AD}=\frac{2x}{\sqrt{5}x}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$
解析
【分析】
要计算$\sinα$的值，需先将$α$放在直角三角形中求解，因此我们可以过点D作垂直于平行线的辅助线，构造直角三角形；结合正方形的性质，可推出两个直角三角形全等，再利用相邻平行线距离相等的条件，用未知数表示出直角三角形的各边长，最后根据正弦的定义计算即可。
【解析】
过点 $D$ 作 $EF⊥ l_1$ 交 $l_1$ 于点 $E$,交 $l_4$ 于点 $F$,
$\because EF⊥ l_1,l_1// l_2// l_3// l_4,\therefore EF$ 与四条直线均垂直,即 $∠ AED=∠ CFD=90°$,
$\therefore ∠α + ∠ ADE=90°$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore ∠ ADC=90°,AD=CD$,
$\therefore ∠ ADE + ∠ CDF = 90°, \therefore ∠α=∠ CDF$.
$\therefore △ ADE≌△ DCF(\mathrm{AAS})$,
设每相邻两条直线之间的距离为 $x$,则有 $AE=DF=x,DE=CF=2x$,
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$AD^2=AE^2+DE^2$,即 $AD=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$\sinα=\frac{DE}{AD}=\frac{2x}{\sqrt{5}x}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题综合考查了平行线、正方形、全等三角形及锐角三角函数的相关知识，解题的关键是正确作出辅助线，通过全等三角形转化边的关系，将所求角放在直角三角形中计算。
【难度系数】
0.6
要计算$\sinα$的值，需先将$α$放在直角三角形中求解，因此我们可以过点D作垂直于平行线的辅助线，构造直角三角形；结合正方形的性质，可推出两个直角三角形全等，再利用相邻平行线距离相等的条件，用未知数表示出直角三角形的各边长，最后根据正弦的定义计算即可。
【解析】
过点 $D$ 作 $EF⊥ l_1$ 交 $l_1$ 于点 $E$,交 $l_4$ 于点 $F$,
$\because EF⊥ l_1,l_1// l_2// l_3// l_4,\therefore EF$ 与四条直线均垂直,即 $∠ AED=∠ CFD=90°$,
$\therefore ∠α + ∠ ADE=90°$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore ∠ ADC=90°,AD=CD$,
$\therefore ∠ ADE + ∠ CDF = 90°, \therefore ∠α=∠ CDF$.
$\therefore △ ADE≌△ DCF(\mathrm{AAS})$,
设每相邻两条直线之间的距离为 $x$,则有 $AE=DF=x,DE=CF=2x$,
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$AD^2=AE^2+DE^2$,即 $AD=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$\sinα=\frac{DE}{AD}=\frac{2x}{\sqrt{5}x}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题综合考查了平行线、正方形、全等三角形及锐角三角函数的相关知识，解题的关键是正确作出辅助线，通过全等三角形转化边的关系，将所求角放在直角三角形中计算。
【难度系数】
0.6
