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1. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，下列说法正确的是（
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同
D.随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率数值附近
D
）A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同
D.随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率数值附近
答案
1. D 解析:
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近,可以用这个常数估计这个事件发生的概率,
∴D选项说法正确.故选D.
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近,可以用这个常数估计这个事件发生的概率,
∴D选项说法正确.故选D.
解析
【分析】
解决本题需要先明确频率和概率的基本概念，再结合二者的联系与区别逐一判断选项：首先，频率是某次或某批试验中，事件发生次数与试验总次数的比值，具有随机性，会随试验次数、试验主体的变化发生波动；概率是随机事件本身固有的确定数值，和试验无关。大量重复试验时，频率会逐渐稳定在概率数值附近，这是用频率估计概率的核心依据，接下来依次判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 频率是通过试验得到的波动值，概率是事件固有的确定值，二者概念不同，不能等同，故A错误；
B. 频率=事件发生次数÷试验总次数，显然和试验次数有关，故B错误；
C. 随机试验的结果具有偶然性，即使试验条件、试验次数都相同，不同试验小组得到的频率也可能存在差异，故C错误；
D. 根据用频率估计概率的原理，随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会逐步稳定在对应的概率数值附近，我们可以用这个稳定值估计事件的概率，故D正确。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
频率与概率的关系，用频率估计概率
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对频率、概率两个核心概念的区分，以及对用频率估计概率原理的理解，掌握二者的本质区别和关联是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解决本题需要先明确频率和概率的基本概念，再结合二者的联系与区别逐一判断选项：首先，频率是某次或某批试验中，事件发生次数与试验总次数的比值，具有随机性，会随试验次数、试验主体的变化发生波动；概率是随机事件本身固有的确定数值，和试验无关。大量重复试验时，频率会逐渐稳定在概率数值附近，这是用频率估计概率的核心依据，接下来依次判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 频率是通过试验得到的波动值，概率是事件固有的确定值，二者概念不同，不能等同，故A错误；
B. 频率=事件发生次数÷试验总次数，显然和试验次数有关，故B错误；
C. 随机试验的结果具有偶然性，即使试验条件、试验次数都相同，不同试验小组得到的频率也可能存在差异，故C错误；
D. 根据用频率估计概率的原理，随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会逐步稳定在对应的概率数值附近，我们可以用这个稳定值估计事件的概率，故D正确。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
频率与概率的关系，用频率估计概率
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对频率、概率两个核心概念的区分，以及对用频率估计概率原理的理解，掌握二者的本质区别和关联是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. （泰州中考）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币”试验获得的数据如表：
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（
A.20
B.300
C.500
D.800
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（
C
）A.20
B.300
C.500
D.800
答案
2. C 解析:观察表格发现:随着实验次数的增加,正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近,所以抛掷硬币的次数为1 000,则“正面朝上”的频数最接近1 000×0.5=500,故选C.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要利用“大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在对应概率附近”的规律。第一步先计算表格中每次试验正面朝上的频率，观察频率的稳定值得到正面朝上的概率，再用总抛掷次数乘这个概率，就能求出1000次抛掷时正面朝上的近似频数。
【解析】
首先计算各组试验正面朝上的频率：
抛掷100次时，频率为$\frac{53}{100}=0.53$；
抛掷200次时，频率为$\frac{98}{200}=0.49$；
抛掷300次时，频率为$\frac{156}{300}=0.52$；
抛掷400次时，频率为$\frac{202}{400}=0.505$；
抛掷500次时，频率为$\frac{244}{500}=0.488$。
观察可知：随着抛掷次数增加，正面朝上的频率逐渐稳定在0.5附近，即抛掷质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5。
当抛掷次数为1000时，“正面朝上”的频数最接近$1000×0.5=500$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率，频数计算，频率的稳定性
【点评】
本题考查频率与概率的关系应用，解题核心是理解大量重复试验下频率趋近于概率的规律，属于基础题型，掌握该规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要利用“大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在对应概率附近”的规律。第一步先计算表格中每次试验正面朝上的频率，观察频率的稳定值得到正面朝上的概率，再用总抛掷次数乘这个概率，就能求出1000次抛掷时正面朝上的近似频数。
【解析】
首先计算各组试验正面朝上的频率：
抛掷100次时，频率为$\frac{53}{100}=0.53$；
抛掷200次时，频率为$\frac{98}{200}=0.49$；
抛掷300次时，频率为$\frac{156}{300}=0.52$；
抛掷400次时，频率为$\frac{202}{400}=0.505$；
抛掷500次时，频率为$\frac{244}{500}=0.488$。
观察可知：随着抛掷次数增加，正面朝上的频率逐渐稳定在0.5附近，即抛掷质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5。
当抛掷次数为1000时，“正面朝上”的频数最接近$1000×0.5=500$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率，频数计算，频率的稳定性
【点评】
本题考查频率与概率的关系应用，解题核心是理解大量重复试验下频率趋近于概率的规律，属于基础题型，掌握该规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. （扬州中考）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
这种绿豆发芽的概率的估计值为
这种绿豆发芽的概率的估计值为
0.93
.(精确到0.01)答案
3. 0.93 解析:由题表可知,绿豆发芽的概率的估计值为0.93,故答案为0.93.
解析
【分析】
解本题的核心思路是利用“用频率估计概率”的原理：在大量重复试验中，随机事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生概率的估计值。解题时首先观察表格中随着每批试验粒数n逐渐增大，发芽频率的变化趋势，找到频率的稳定值，再按要求精确到0.01即可得到结果。
【解析】
根据频率估计概率的规则，当试验次数足够大时，事件发生的频率可作为概率的估计值。观察表格数据可知，随着每批绿豆粒数不断增加，发芽的频率逐渐稳定在0.93附近（精确到0.01），因此这种绿豆发芽的概率的估计值为0.93。
【答案】
0.93
【知识点】
用频率估计概率；频率与概率的关系
【点评】
本题属于基础题，重点考查对频率和概率关系的理解，解题关键是明确试验次数足够多时，频率的稳定值就是概率的估计值。
【难度系数】
0.85
解本题的核心思路是利用“用频率估计概率”的原理：在大量重复试验中，随机事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生概率的估计值。解题时首先观察表格中随着每批试验粒数n逐渐增大，发芽频率的变化趋势，找到频率的稳定值，再按要求精确到0.01即可得到结果。
【解析】
根据频率估计概率的规则，当试验次数足够大时，事件发生的频率可作为概率的估计值。观察表格数据可知，随着每批绿豆粒数不断增加，发芽的频率逐渐稳定在0.93附近（精确到0.01），因此这种绿豆发芽的概率的估计值为0.93。
【答案】
0.93
【知识点】
用频率估计概率；频率与概率的关系
【点评】
本题属于基础题，重点考查对频率和概率关系的理解，解题关键是明确试验次数足够多时，频率的稳定值就是概率的估计值。
【难度系数】
0.85
4. 不透明的口袋中装有8个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有
12
个.答案
4. 12 解析:设口袋中白球大约有x个,
∵摸到白球的频率稳定在0.6附近,
∴$\frac{x}{x+8}$=0.6,解得x=12,经检验x=12是原方程的解,估计口袋中白球大约有12个,故答案为12.
∵摸到白球的频率稳定在0.6附近,
∴$\frac{x}{x+8}$=0.6,解得x=12,经检验x=12是原方程的解,估计口袋中白球大约有12个,故答案为12.
解析
【分析】
当大量重复摸球试验时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此本题中摸到白球的频率0.6可近似看作摸到白球的概率。我们先设白球的个数为x，根据概率计算公式“某事件的概率=该事件对应的情况数÷总情况数”，白球对应的情况数是x，总球数为红球与白球的数量和即8+x，据此列分式方程求解，最后检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
设口袋中白球大约有x个。
∵多次摸球试验后摸到白球的频率稳定在0.6附近，
∴估计摸到白球的概率为0.6，根据概率公式可得：
$\frac{x}{x+8}=0.6$
解方程：
$x=0.6(x+8)$
$x=0.6x+4.8$
$0.4x=4.8$
$x=12$
经检验，$x=12$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
12
【知识点】
用频率估计概率；概率公式；分式方程应用
【点评】
本题属于概率应用类基础题，解题的关键是明确大量重复试验下频率稳定值即为事件的概率，结合概率公式列方程求解即可，注意分式方程的解需要检验是否符合实际场景。
【难度系数】
0.8
当大量重复摸球试验时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此本题中摸到白球的频率0.6可近似看作摸到白球的概率。我们先设白球的个数为x，根据概率计算公式“某事件的概率=该事件对应的情况数÷总情况数”，白球对应的情况数是x，总球数为红球与白球的数量和即8+x，据此列分式方程求解，最后检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
设口袋中白球大约有x个。
∵多次摸球试验后摸到白球的频率稳定在0.6附近，
∴估计摸到白球的概率为0.6，根据概率公式可得：
$\frac{x}{x+8}=0.6$
解方程：
$x=0.6(x+8)$
$x=0.6x+4.8$
$0.4x=4.8$
$x=12$
经检验，$x=12$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
12
【知识点】
用频率估计概率；概率公式；分式方程应用
【点评】
本题属于概率应用类基础题，解题的关键是明确大量重复试验下频率稳定值即为事件的概率，结合概率公式列方程求解即可，注意分式方程的解需要检验是否符合实际场景。
【难度系数】
0.8
5. ★★★（自贡中考）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是
甲
鱼池.（填“甲”或“乙”）答案
5. 甲 解析:设甲鱼池鱼苗的总数为x条,则$\frac{5}{100}=\frac{100}{x}$,解得x=2 000;设乙鱼池鱼苗的总数为y条,则$\frac{10}{100}=\frac{100}{y}$,解得y=1 000;
∵2 000＞1 000,
∴可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池,故答案为甲.
∵2 000＞1 000,
∴可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池,故答案为甲.
解析
【分析】
本题可利用标记重捕法的原理，用样本频率估计总体占比来求解。首先明确：将标记的鱼苗放回鱼池均匀混合后，重捕的鱼苗中带标记的鱼苗占重捕总数的比例，近似等于最初标记的鱼苗数占鱼池总鱼苗数的比例。我们可以分别设甲、乙两鱼池的总鱼苗数为未知数，根据上述比例关系列方程求出两个鱼池的总鱼苗数，再比较大小即可判断哪个鱼池鱼苗更多。
【解析】
设甲鱼池鱼苗的总数为$x$条，根据样本中带标记鱼苗的频率等于总体中带标记鱼苗的占比，可得：
$\frac{5}{100}=\frac{100}{x}$
解得$x=2000$
设乙鱼池鱼苗的总数为$y$条，同理可得：
$\frac{10}{100}=\frac{100}{y}$
解得$y=1000$
因为$2000＞1000$，所以鱼苗数目较多的是甲鱼池。
【答案】
甲
【知识点】
用频率估计概率、样本估计总体
【点评】
本题是概率知识在实际生活中的应用，核心考查标记重捕法估算总量的原理，解题的关键是找准样本频率和总体占比的等量关系，这类题型贴近生活，能锻炼大家用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题可利用标记重捕法的原理，用样本频率估计总体占比来求解。首先明确：将标记的鱼苗放回鱼池均匀混合后，重捕的鱼苗中带标记的鱼苗占重捕总数的比例，近似等于最初标记的鱼苗数占鱼池总鱼苗数的比例。我们可以分别设甲、乙两鱼池的总鱼苗数为未知数，根据上述比例关系列方程求出两个鱼池的总鱼苗数，再比较大小即可判断哪个鱼池鱼苗更多。
【解析】
设甲鱼池鱼苗的总数为$x$条，根据样本中带标记鱼苗的频率等于总体中带标记鱼苗的占比，可得：
$\frac{5}{100}=\frac{100}{x}$
解得$x=2000$
设乙鱼池鱼苗的总数为$y$条，同理可得：
$\frac{10}{100}=\frac{100}{y}$
解得$y=1000$
因为$2000＞1000$，所以鱼苗数目较多的是甲鱼池。
【答案】
甲
【知识点】
用频率估计概率、样本估计总体
【点评】
本题是概率知识在实际生活中的应用，核心考查标记重捕法估算总量的原理，解题的关键是找准样本频率和总体占比的等量关系，这类题型贴近生活，能锻炼大家用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
6. 下表是某厂质检部门对该厂生产的一批排球质量检测的情况.
| 抽取的排球数 | 500 | 1 000 | 1 500 | 2 000 | 3 000 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 合格品数 | 471 |
946 | 1 425 | $b$ | 2 853 |
| 合格品频率 | $a$ | 0.946 | 0.950 | 0.949 | 0.951 |
(1)求出表中$a=$
(2)从这批排球中任意抽取一个,是合格品的概率约是
(3)如果要生产23 750个合格的排球,那么该厂估计要生产多少个排球?
| 抽取的排球数 | 500 | 1 000 | 1 500 | 2 000 | 3 000 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 合格品数 | 471 |
946 | 1 425 | $b$ | 2 853 || 合格品频率 | $a$ | 0.946 | 0.950 | 0.949 | 0.951 |
(1)求出表中$a=$
0.942
,$b=$1 898
.(2)从这批排球中任意抽取一个,是合格品的概率约是
0.95
.(精确到0.01)(3)如果要生产23 750个合格的排球,那么该厂估计要生产多少个排球?
答案
6. (1)0.942 1 898 解析:$a = 471 ÷ 500 = 0.942$;$b = 2 000×0.949 = 1 898$.
(2)0.95 解析:根据表格,抽取3 000个排球时,合格品的频率为0.951,故估计抽到合格品的概率约为0.951≈0.95.
(3)$23\ 750÷0.95 = 25\ 000$(个)
答:该厂估计要生产25 000个排球.
(2)0.95 解析:根据表格,抽取3 000个排球时,合格品的频率为0.951,故估计抽到合格品的概率约为0.951≈0.95.
(3)$23\ 750÷0.95 = 25\ 000$(个)
答:该厂估计要生产25 000个排球.
解析
【分析】
(1) 求解a和b需要用到频率的核心计算公式：频率=频数÷总数，变形可得频数=总数×频率。a是抽取500个排球时的合格品频率，用该组合格品数除以抽取总数即可计算；b是抽取2000个排球时的合格品数，用抽取总数乘对应频率即可求出。
(2) 用频率估计概率的原理为：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。观察表格中频率的变化趋势，随着抽取排球数增多，频率逐渐稳定在0.95附近，按要求取近似值即可。
(3) 已知合格排球数量和合格品的概率，求总生产数量，用合格数量除以合格品的概率即可得到结果。
【解析】
(1) 根据频率计算公式：
$a=\frac{471}{500}=0.942$
$b=2000×0.949=1898$
(2) 观察表格数据，抽取数量越大，合格品频率越接近0.95，因此估计任意抽取一个是合格品的概率为$0.951\approx0.95$（精确到0.01）。
(3) 已知合格品概率约为0.95，需要生产23750个合格排球，则总生产数量为：
$23750÷0.95=25000$（个）
答：该厂估计要生产25000个排球。
【答案】
(1) $0.942$；$1898$
(2) $0.95$
(3) $25000$个
【知识点】
频率的计算；用频率估计概率；概率实际应用
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查频率与概率的关联，解题关键是掌握频率的计算方法，理解大量重复试验下频率可估计概率的规律，结合题意正确列式计算即可，需注意题目对结果精度的要求。
【难度系数】
0.85
(1) 求解a和b需要用到频率的核心计算公式：频率=频数÷总数，变形可得频数=总数×频率。a是抽取500个排球时的合格品频率，用该组合格品数除以抽取总数即可计算；b是抽取2000个排球时的合格品数，用抽取总数乘对应频率即可求出。
(2) 用频率估计概率的原理为：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。观察表格中频率的变化趋势，随着抽取排球数增多，频率逐渐稳定在0.95附近，按要求取近似值即可。
(3) 已知合格排球数量和合格品的概率，求总生产数量，用合格数量除以合格品的概率即可得到结果。
【解析】
(1) 根据频率计算公式：
$a=\frac{471}{500}=0.942$
$b=2000×0.949=1898$
(2) 观察表格数据，抽取数量越大，合格品频率越接近0.95，因此估计任意抽取一个是合格品的概率为$0.951\approx0.95$（精确到0.01）。
(3) 已知合格品概率约为0.95，需要生产23750个合格排球，则总生产数量为：
$23750÷0.95=25000$（个）
答：该厂估计要生产25000个排球。
【答案】
(1) $0.942$；$1898$
(2) $0.95$
(3) $25000$个
【知识点】
频率的计算；用频率估计概率；概率实际应用
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查频率与概率的关联，解题关键是掌握频率的计算方法，理解大量重复试验下频率可估计概率的规律，结合题意正确列式计算即可，需注意题目对结果精度的要求。
【难度系数】
0.85
