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1. [2026 惠州惠阳一中月考]一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的根的判别式的值是（
A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
C
）A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
答案
根据题意,得a=1,b=-5,c=2,
∴Δ=b²-4ac=(-5)²-4×1×2=17.
∴Δ=b²-4ac=(-5)²-4×1×2=17.
解析
【分析】
本题要求一元二次方程根的判别式的值，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的判别式公式为$\Delta = b^2-4ac$，其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项；接下来从给定的一元二次方程中准确识别出$a、b、c$的取值，尤其注意系数的符号；最后将三个系数代入公式计算即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
对比给定方程$x^2 -5x +2=0$，可得：$a=1$，$b=-5$，$c=2$。
将其代入判别式公式计算：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 = 17$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程各项系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对根的判别式公式的掌握与应用，解题的关键是准确提取方程中各项的系数，避免因记错公式或弄错系数符号出现计算错误。
【难度系数】
0.85
本题要求一元二次方程根的判别式的值，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的判别式公式为$\Delta = b^2-4ac$，其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项；接下来从给定的一元二次方程中准确识别出$a、b、c$的取值，尤其注意系数的符号；最后将三个系数代入公式计算即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
对比给定方程$x^2 -5x +2=0$，可得：$a=1$，$b=-5$，$c=2$。
将其代入判别式公式计算：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 = 17$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程各项系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对根的判别式公式的掌握与应用，解题的关键是准确提取方程中各项的系数，避免因记错公式或弄错系数符号出现计算错误。
【难度系数】
0.85
2. [2025河南中考]一元二次方程$x^2 -2x=0$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
已知x²-2x=0,
∴Δ=(-2)²-4×1×0=4＞0,
∴该方程有两个不相等的实数根.
∴Δ=(-2)²-4×1×0=4＞0,
∴该方程有两个不相等的实数根.
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式Δ进行分析，解题思路如下：第一步，先把方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定系数a、b、c的值；第二步，将a、b、c代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算数值；第三步，根据Δ的符号判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根。
【解析】
解：已知一元二次方程为$x^2 -2x=0$，
可得该方程中$a=1$，$b=-2$，$c=0$，
代入根的判别式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×0 = 4＞0$，
因此该方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的判定
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式的应用，只要熟记判别式公式以及不同取值对应的根的三类情况，就能快速得出结果，是一元二次方程章节的常规考点。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式Δ进行分析，解题思路如下：第一步，先把方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定系数a、b、c的值；第二步，将a、b、c代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算数值；第三步，根据Δ的符号判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根。
【解析】
解：已知一元二次方程为$x^2 -2x=0$，
可得该方程中$a=1$，$b=-2$，$c=0$，
代入根的判别式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×0 = 4＞0$，
因此该方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的判定
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式的应用，只要熟记判别式公式以及不同取值对应的根的三类情况，就能快速得出结果，是一元二次方程章节的常规考点。
【难度系数】
0.9
变式 关于$x$的方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$的实数根的个数为
0
.答案
已知x² - x + k² + 2 = 0,
∴Δ=(-1)² - 4×1×(k² + 2)=1 - 4(k² + 2)=1 - 4k² - 8=-4k² -7.
∵-4k²≤0,
∴-4k² -7 ＜ 0,
∴该方程无实数根.
∴Δ=(-1)² - 4×1×(k² + 2)=1 - 4(k² + 2)=1 - 4k² - 8=-4k² -7.
∵-4k²≤0,
∴-4k² -7 ＜ 0,
∴该方程无实数根.
解析
【分析】
要判断一元二次方程实数根的个数，核心方法是利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：首先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，代入公式计算出$\Delta$的表达式，再结合平方的非负性判断$\Delta$的正负：若$\Delta＞0$，方程有2个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有2个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根，最后根据$\Delta$的符号得出实根个数即可。
【解析】
解：对于方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$，可得$a=1$，$b=-1$，$c=k^2+2$，
代入根的判别式公式得：
$\Delta=(-1)^2 - 4×1×(k^2 + 2)=1 - 4(k^2 + 2)=1 - 4k^2 - 8=-4k^2 -7$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$k^2≥0$，
∴ $-4k^2≤0$，
∴ $-4k^2 -7 ＜ 0$，
∴ 该方程没有实数根，即实数根的个数为0。
【答案】
0
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.平方的非负性
【点评】
本题是对一元二次方程根的判别式的基础考查，解题关键是准确计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号，掌握根的判别式和实根个数的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程实数根的个数，核心方法是利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：首先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，代入公式计算出$\Delta$的表达式，再结合平方的非负性判断$\Delta$的正负：若$\Delta＞0$，方程有2个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有2个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根，最后根据$\Delta$的符号得出实根个数即可。
【解析】
解：对于方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$，可得$a=1$，$b=-1$，$c=k^2+2$，
代入根的判别式公式得：
$\Delta=(-1)^2 - 4×1×(k^2 + 2)=1 - 4(k^2 + 2)=1 - 4k^2 - 8=-4k^2 -7$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$k^2≥0$，
∴ $-4k^2≤0$，
∴ $-4k^2 -7 ＜ 0$，
∴ 该方程没有实数根，即实数根的个数为0。
【答案】
0
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.平方的非负性
【点评】
本题是对一元二次方程根的判别式的基础考查，解题关键是准确计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号，掌握根的判别式和实根个数的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1) $3x^2 + 2 = 2\sqrt{6}x$；
(2) $ax^2 + bx = 0(a≠0)$。
(1) $3x^2 + 2 = 2\sqrt{6}x$；
(2) $ax^2 + bx = 0(a≠0)$。
答案
解:(1)将方程3x² + 2 = 2√6 x化为一般形式,得3x² - 2√6 x + 2 = 0.
∵Δ=(-2√6)² - 4×3×2 = 0,
∴原方程有两个相等的实数根.
(2)
∵a≠0,
∴ax² + bx = 0是一元二次方程.
∵Δ=b² - 4a×0 = b² ≥0,
∴原方程有两个实数根.
∵Δ=(-2√6)² - 4×3×2 = 0,
∴原方程有两个相等的实数根.
(2)
∵a≠0,
∴ax² + bx = 0是一元二次方程.
∵Δ=b² - 4a×0 = b² ≥0,
∴原方程有两个实数根.
解析
【分析】
判断一元二次方程根的情况需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，解题思路如下：第一步先把方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的取值；第三步根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。第(1)题需要先移项得到一般形式再计算判别式；第(2)题已经给出$a≠0$，可直接确定系数，结合平方的非负性即可判断$\Delta$的取值范围。
【解析】
(1) 将方程$3x^2 + 2 = 2\sqrt{6}x$移项化为一般形式：
$3x^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 0$
其中$a=3$，$b=-2\sqrt{6}$，$c=2$，代入判别式得：
$\Delta = (-2\sqrt{6})^2 - 4×3×2 = 24 - 24 = 0$
因此原方程有两个相等的实数根。
(2) 已知$a≠0$，所以$ax^2 + bx = 0$是一元二次方程，其中二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项$c=0$，代入判别式得：
$\Delta = b^2 - 4× a×0 = b^2$
因为任意实数的平方都是非负数，即$b^2≥0$，因此原方程有两个实数根。
【答案】
(1) 原方程有两个相等的实数根；
(2) 原方程有两个实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
3. 平方的非负性
【点评】
本题是根的判别式应用的基础题型，解题关键是先将方程整理为一般形式，准确识别各项系数，同时要注意判别式仅适用于一元二次方程，计算时要注意符号和运算的准确性。
【难度系数】
0.8
判断一元二次方程根的情况需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，解题思路如下：第一步先把方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的取值；第三步根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。第(1)题需要先移项得到一般形式再计算判别式；第(2)题已经给出$a≠0$，可直接确定系数，结合平方的非负性即可判断$\Delta$的取值范围。
【解析】
(1) 将方程$3x^2 + 2 = 2\sqrt{6}x$移项化为一般形式：
$3x^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 0$
其中$a=3$，$b=-2\sqrt{6}$，$c=2$，代入判别式得：
$\Delta = (-2\sqrt{6})^2 - 4×3×2 = 24 - 24 = 0$
因此原方程有两个相等的实数根。
(2) 已知$a≠0$，所以$ax^2 + bx = 0$是一元二次方程，其中二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项$c=0$，代入判别式得：
$\Delta = b^2 - 4× a×0 = b^2$
因为任意实数的平方都是非负数，即$b^2≥0$，因此原方程有两个实数根。
【答案】
(1) 原方程有两个相等的实数根；
(2) 原方程有两个实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
3. 平方的非负性
【点评】
本题是根的判别式应用的基础题型，解题关键是先将方程整理为一般形式，准确识别各项系数，同时要注意判别式仅适用于一元二次方程，计算时要注意符号和运算的准确性。
【难度系数】
0.8
4. 教材练习变式 [2025宜昌夷陵区期中] 已知一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$，在下面的四组条件中选择其中一组$b,c$的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程。
①$b=2,c=1$；
②$b=3,c=1$；
③$b=3,c=-1$；
④$b=2,c=2$。
①$b=2,c=1$；
②$b=3,c=1$；
③$b=3,c=-1$；
④$b=2,c=2$。
答案
解题思路:要使这个方程有两个不相等的实数根,则Δ=b² - 4c ＞ 0,
∴b² ＞ 4c,
∴选②或③均可.
解:选②,该方程为x² + 3x + 1 = 0,
∴a=1,b=3,c=1,
∴Δ=b² - 4ac = 3² - 4×1×1 = 5,
∴x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a) = (-3 ± √5)/2,
解得x₁ = (-3 + √5)/2 ,x₂ = (-3 - √5)/2 .
或选③,该方程为x² + 3x - 1 = 0,
∴a=1,b=3,c=-1,
∴Δ=b² - 4ac = 3² - 4×1×(-1) = 13,
∴x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a) = (-3 ± √13)/2,
解得x₁ = (-3 + √13)/2 ,x₂ = (-3 - √13)/2 .
∴b² ＞ 4c,
∴选②或③均可.
解:选②,该方程为x² + 3x + 1 = 0,
∴a=1,b=3,c=1,
∴Δ=b² - 4ac = 3² - 4×1×1 = 5,
∴x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a) = (-3 ± √5)/2,
解得x₁ = (-3 + √5)/2 ,x₂ = (-3 - √5)/2 .
或选③,该方程为x² + 3x - 1 = 0,
∴a=1,b=3,c=-1,
∴Δ=b² - 4ac = 3² - 4×1×(-1) = 13,
∴x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a) = (-3 ± √13)/2,
解得x₁ = (-3 + √13)/2 ,x₂ = (-3 - √13)/2 .
解析
【分析】
要解决这个问题，第一步需明确一元二次方程有两个不相等实数根的判定条件：根的判别式Δ＞0。对于本题的方程$x^2 + bx + c = 0$，二次项系数$a=1$，因此$\Delta = b^2 - 4c$，先计算四组条件对应的Δ值，筛选出满足Δ＞0的组，再利用公式法求解对应方程的根即可。
【解析】
一元二次方程有两个不相等的实数根需满足$\Delta = b^2 - 4c ＞ 0$，即$b^2＞4c$：
①$b=2,c=1$时，$\Delta=2^2-4×1=0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
②$b=3,c=1$时，$\Delta=3^2-4×1=5＞0$，符合要求；
③$b=3,c=-1$时，$\Delta=3^2-4×(-1)=13＞0$，符合要求；
④$b=2,c=2$时，$\Delta=2^2-4×2=-4＜0$，没有实数根，不符合要求。
可选②或③解方程：
示例1：选②，方程为$x^2 + 3x + 1 = 0$，其中$a=1,b=3,c=1$，
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入得$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$，
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
示例2：选③，方程为$x^2 + 3x -1 = 0$，其中$a=1,b=3,c=-1$，
由求根公式代入得$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$，
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
选②时，方程的解为$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$；或选③时，方程的解为$x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$（任选其一即可）
【知识点】
根的判别式，公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础应用类题目，既考查了一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，又考查了公式法解方程的运算能力，解题时注意判别式的计算不要出错，尤其是c为负数时的符号运算。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，第一步需明确一元二次方程有两个不相等实数根的判定条件：根的判别式Δ＞0。对于本题的方程$x^2 + bx + c = 0$，二次项系数$a=1$，因此$\Delta = b^2 - 4c$，先计算四组条件对应的Δ值，筛选出满足Δ＞0的组，再利用公式法求解对应方程的根即可。
【解析】
一元二次方程有两个不相等的实数根需满足$\Delta = b^2 - 4c ＞ 0$，即$b^2＞4c$：
①$b=2,c=1$时，$\Delta=2^2-4×1=0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
②$b=3,c=1$时，$\Delta=3^2-4×1=5＞0$，符合要求；
③$b=3,c=-1$时，$\Delta=3^2-4×(-1)=13＞0$，符合要求；
④$b=2,c=2$时，$\Delta=2^2-4×2=-4＜0$，没有实数根，不符合要求。
可选②或③解方程：
示例1：选②，方程为$x^2 + 3x + 1 = 0$，其中$a=1,b=3,c=1$，
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入得$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$，
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
示例2：选③，方程为$x^2 + 3x -1 = 0$，其中$a=1,b=3,c=-1$，
由求根公式代入得$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$，
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
选②时，方程的解为$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$；或选③时，方程的解为$x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$（任选其一即可）
【知识点】
根的判别式，公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础应用类题目，既考查了一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，又考查了公式法解方程的运算能力，解题时注意判别式的计算不要出错，尤其是c为负数时的符号运算。
【难度系数】
0.8
5. [2025北京中考]若关于x的一元二次方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$有两个相等的实数根，则实数a的值为（
A.-4
B.-1
C.1
D.4
C
）A.-4
B.-1
C.1
D.4
答案
已知ax² + 2x + 1 = 0,故Δ=2² - 4a = 0,解得a = 1.
解析
【分析】
拿到题目先提取两个关键条件：一是方程为一元二次方程，隐含要求二次项系数不为0；二是方程有两个相等的实数根，对应一元二次方程根的判别式Δ=0的情况。首先回忆根的判别式公式Δ=b²-4ac，再对应方程找出a、b、c的取值代入公式列方程，最后求解并验证是否满足二次项系数不为0的要求，即可得到a的值。
【解析】
∵ 关于x的方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程，
∴ $a ≠ 0$，
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，
代入得：$2^2 - 4 × a × 1 = 0$，
即$4 - 4a = 0$，
解得$a = 1$，满足$a ≠ 0$的要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为基础题型，考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需注意不要遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，掌握根的判别式和根的数量的对应关系就能快速解答。
【难度系数】
0.8
拿到题目先提取两个关键条件：一是方程为一元二次方程，隐含要求二次项系数不为0；二是方程有两个相等的实数根，对应一元二次方程根的判别式Δ=0的情况。首先回忆根的判别式公式Δ=b²-4ac，再对应方程找出a、b、c的取值代入公式列方程，最后求解并验证是否满足二次项系数不为0的要求，即可得到a的值。
【解析】
∵ 关于x的方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程，
∴ $a ≠ 0$，
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，
代入得：$2^2 - 4 × a × 1 = 0$，
即$4 - 4a = 0$，
解得$a = 1$，满足$a ≠ 0$的要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为基础题型，考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需注意不要遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，掌握根的判别式和根的数量的对应关系就能快速解答。
【难度系数】
0.8
变式[2025新疆中考]若关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + a = 0$无实数根,则实数a的取值范围是 (
A.$a ＜ 1$
B.$a ＞ 1$
C.$a ≤ 1$
D.$a ≥ 1$
B
)A.$a ＜ 1$
B.$a ＞ 1$
C.$a ≤ 1$
D.$a ≥ 1$
答案
∵方程x² - 2x + a = 0无实数根,
∴Δ=(-2)² - 4a = 4 - 4a ＜ 0,解得a ＞ 1.
解析
【分析】
要确定一元二次方程无实数根时参数a的取值范围，首先利用一元二次方程根的情况与根的判别式Δ的对应关系：当Δ＜0时，方程无实数根。我们先写出该方程根的判别式的表达式，再根据无实根的条件列不等式，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
已知关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + a = 0$无实数根，
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），根的判别式$\Delta = B^2-4AC$，
本题中$A=1$，$B=-2$，$C=a$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1× a = 4 - 4a$，
因为方程无实数根，所以$\Delta ＜ 0$，即$4-4a ＜ 0$，
解不等式得$a ＞ 1$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式与方程根的三类对应关系是解题的核心，计算过程简单，掌握相关知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程无实数根时参数a的取值范围，首先利用一元二次方程根的情况与根的判别式Δ的对应关系：当Δ＜0时，方程无实数根。我们先写出该方程根的判别式的表达式，再根据无实根的条件列不等式，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
已知关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + a = 0$无实数根，
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），根的判别式$\Delta = B^2-4AC$，
本题中$A=1$，$B=-2$，$C=a$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1× a = 4 - 4a$，
因为方程无实数根，所以$\Delta ＜ 0$，即$4-4a ＜ 0$，
解不等式得$a ＞ 1$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式与方程根的三类对应关系是解题的核心，计算过程简单，掌握相关知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6. [2024 泸州中考]已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + 1 - k = 0$无实数根，则函数$y = kx$与函数$y = \frac{2}{x}$的图象交点个数为（
A.0
B.1
C.2
D.3
A
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
∵方程x² + 2x + 1 - k = 0无实数根,
∴Δ=4 - 4(1 - k) ＜ 0,解得k ＜ 0,则函数y = kx的图象经过第二、四象限,函数y = 2/x的图象位于第一、三象限,
∴函数y = kx与函数y = 2/x的图象不会相交,则交点个数为0.
解析
【分析】
解题时首先根据一元二次方程无实数根的条件，利用根的判别式Δ＜0求出k的取值范围；再分别分析正比例函数$y=kx$和反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象所在象限，若两个函数图象没有共同所在的象限，则无交点，反之则有交点，据此即可判断交点个数。
【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + 1 - k = 0$无实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=1-k$，
代入得：$\Delta = 2^2 - 4×1×(1 - k) ＜ 0$，
计算得：$4 - 4(1 - k) ＜ 0$，
去括号化简：$4 - 4 + 4k ＜ 0$，即$4k ＜ 0$，
解得：$k ＜ 0$。
对于正比例函数$y = kx$，当$k＜0$时，图象经过第二、四象限；
对于反比例函数$y = \frac{2}{x}$，比例系数$2＞0$，图象位于第一、三象限。
两个函数的图象没有共同的象限，因此没有交点，交点个数为0。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，将方程根的情况与函数图象性质相结合，解题关键是先求出参数$k$的取值范围，再结合两类函数的图象特征判断交点情况，考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据一元二次方程无实数根的条件，利用根的判别式Δ＜0求出k的取值范围；再分别分析正比例函数$y=kx$和反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象所在象限，若两个函数图象没有共同所在的象限，则无交点，反之则有交点，据此即可判断交点个数。
【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + 1 - k = 0$无实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=1-k$，
代入得：$\Delta = 2^2 - 4×1×(1 - k) ＜ 0$，
计算得：$4 - 4(1 - k) ＜ 0$，
去括号化简：$4 - 4 + 4k ＜ 0$，即$4k ＜ 0$，
解得：$k ＜ 0$。
对于正比例函数$y = kx$，当$k＜0$时，图象经过第二、四象限；
对于反比例函数$y = \frac{2}{x}$，比例系数$2＞0$，图象位于第一、三象限。
两个函数的图象没有共同的象限，因此没有交点，交点个数为0。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，将方程根的情况与函数图象性质相结合，解题关键是先求出参数$k$的取值范围，再结合两类函数的图象特征判断交点情况，考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7. 新趋势·开放题 [2025西宁中考]若关于x的一元二次方程$kx^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值：
-1(答案不唯一)
.答案
∵方程kx² - 2x + 1 = 0有两个不相等的实数根,
∴Δ=(-2)² - 4k ＞ 0 且k≠0(二次项系数不为0),
∴k的值只需满足k ＜ 1且k≠0即可,如k = -1.
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合两个核心条件思考：①一元二次方程的二次项系数不能为0，否则方程会退化为一元一次方程，不存在两个根；②一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$。我们先根据这两个条件列出关于k的不等式，求出k的取值范围，再在范围内任选一个符合要求的k值即可。
【解析】
∵ 方程$kx^2 -2x +1=0$是关于x的一元二次方程，
∴ 二次项系数$k≠0$，
又
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，
将$a=k$，$b=-2$，$c=1$代入判别式得：
$\Delta=(-2)^2 -4× k×1=4-4k＞0$，
解不等式$4-4k＞0$，得$k＜1$，
综上，k的取值范围为$k＜1$且$k≠0$，任取该范围内的一个值即可，例如$k=-1$。
【答案】
-1（答案不唯一，满足$k＜1$且$k≠0$即可）
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于开放型基础题，主要考查对一元二次方程成立条件和根的判别式的应用能力，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，只要在取值范围内任选一个数值填入即可。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需结合两个核心条件思考：①一元二次方程的二次项系数不能为0，否则方程会退化为一元一次方程，不存在两个根；②一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$。我们先根据这两个条件列出关于k的不等式，求出k的取值范围，再在范围内任选一个符合要求的k值即可。
【解析】
∵ 方程$kx^2 -2x +1=0$是关于x的一元二次方程，
∴ 二次项系数$k≠0$，
又
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，
将$a=k$，$b=-2$，$c=1$代入判别式得：
$\Delta=(-2)^2 -4× k×1=4-4k＞0$，
解不等式$4-4k＞0$，得$k＜1$，
综上，k的取值范围为$k＜1$且$k≠0$，任取该范围内的一个值即可，例如$k=-1$。
【答案】
-1（答案不唯一，满足$k＜1$且$k≠0$即可）
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于开放型基础题，主要考查对一元二次方程成立条件和根的判别式的应用能力，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，只要在取值范围内任选一个数值填入即可。
【难度系数】
0.7
8. [2026江门蓬江区期末] 已知关于$x$的方程$x^2 - (2k - 2)x + k^2 - 1 = 0$有两个实数根，则$\sqrt{(k - 1)^2} - (\sqrt{2 - k})^2$化简的结果是
-1
.答案
根据题意得,Δ=b² - 4ac = [-(2k - 2)]² - 4×1×(k² - 1) ≥ 0,整理得-8k + 8 ≥ 0,解得k ≤ 1,
∴k - 1 ≤ 0,
∴√((k-1)²) - (√(2-k))² = -(k - 1) - (2 - k) = -k + 1 - 2 + k = -1.
∴k - 1 ≤ 0,
∴√((k-1)²) - (√(2-k))² = -(k - 1) - (2 - k) = -k + 1 - 2 + k = -1.
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据一元二次方程有两个实数根的条件，可知根的判别式Δ≥0，代入系数计算即可求出参数k的取值范围；第二步，化简含二次根式的式子，需用到二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$、$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，因此要先根据k的取值范围判断$k-1$和$2-k$的正负性，再去绝对值、化简后代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ 关于x的方程$x^2 - (2k - 2)x + k^2 - 1 = 0$有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(2k - 2)]^2 - 4×1×(k^2 - 1) ≥ 0$，
展开整理得：$4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 + 4 ≥ 0$，即$-8k + 8 ≥ 0$，
解得$k ≤ 1$。
∴ $k - 1 ≤ 0$，$2 - k ≥ 1 ＞ 0$，
根据二次根式的性质化简原式：
$\sqrt{(k - 1)^2} - (\sqrt{2 - k})^2 = |k - 1| - (2 - k) = -(k - 1) - 2 + k = -k + 1 - 2 + k = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 二次根式的性质与化简
【点评】
本题将一元二次方程根的判别式与二次根式的化简结合考查，解题的核心是先利用判别式求出k的取值范围，再结合取值范围对二次根式进行化简，需要注意去绝对值时的符号判断以及二次根式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.6
解题思路分为两步：第一步，根据一元二次方程有两个实数根的条件，可知根的判别式Δ≥0，代入系数计算即可求出参数k的取值范围；第二步，化简含二次根式的式子，需用到二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$、$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，因此要先根据k的取值范围判断$k-1$和$2-k$的正负性，再去绝对值、化简后代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ 关于x的方程$x^2 - (2k - 2)x + k^2 - 1 = 0$有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(2k - 2)]^2 - 4×1×(k^2 - 1) ≥ 0$，
展开整理得：$4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 + 4 ≥ 0$，即$-8k + 8 ≥ 0$，
解得$k ≤ 1$。
∴ $k - 1 ≤ 0$，$2 - k ≥ 1 ＞ 0$，
根据二次根式的性质化简原式：
$\sqrt{(k - 1)^2} - (\sqrt{2 - k})^2 = |k - 1| - (2 - k) = -(k - 1) - 2 + k = -k + 1 - 2 + k = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 二次根式的性质与化简
【点评】
本题将一元二次方程根的判别式与二次根式的化简结合考查，解题的核心是先利用判别式求出k的取值范围，再结合取值范围对二次根式进行化简，需要注意去绝对值时的符号判断以及二次根式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.6
9. [2026兰州期末]已知关于$x$的方程$x^2 -6x +2k +3=0$,若等腰三角形的底边长为4,两腰长是该方程的两个实数根,则该三角形的周长为
10
.答案
∵等腰三角形的两腰长是方程x² - 6x + 2k + 3 = 0的两个实数根,
∴该方程有两个相等的实数根,
∴Δ=(-6)² - 4×1×(2k + 3) = 24 - 8k = 0,解得k = 3,
∴方程x² - 6x + 2k + 3 = 0可化为x² - 6x + 9 = 0,解得x₁ = x₂ = 3,
∴该三角形的三边长分别为3,3,4(满足两边之和大于第三边,两边之差小于第三边),
∴该三角形的周长为4 + 3 + 3 = 10.
解析
【分析】
解题时首先结合等腰三角形“两腰长度相等”的性质，已知两腰长是题给一元二次方程的两个实数根，可知该方程有两个相等的实数根，因此可以先利用一元二次方程根的判别式Δ=0求出参数k的值；再将k代入方程求解得到腰长，最后验证三边长是否满足三角形三边关系，进而计算三角形的周长。
【解析】
∵等腰三角形的底边长为4，两腰长是方程$x^2 -6x +2k +3=0$的两个实数根，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta=(-6)^2 - 4×1×(2k + 3) = 36 - 8k - 12 = 24 - 8k = 0$，
解得$k = 3$，
将$k=3$代入原方程得：$x^2 - 6x + 9 = 0$，
解方程得$x_1 = x_2 = 3$，即等腰三角形的腰长为3，
此时三角形三边长为3、3、4，满足三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），
∴三角形的周长为$3+3+4=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的判别式；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，解题的关键是结合等腰三角形的性质判断方程根的情况，求解边长后要注意验证是否符合三角形三边关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合等腰三角形“两腰长度相等”的性质，已知两腰长是题给一元二次方程的两个实数根，可知该方程有两个相等的实数根，因此可以先利用一元二次方程根的判别式Δ=0求出参数k的值；再将k代入方程求解得到腰长，最后验证三边长是否满足三角形三边关系，进而计算三角形的周长。
【解析】
∵等腰三角形的底边长为4，两腰长是方程$x^2 -6x +2k +3=0$的两个实数根，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta=(-6)^2 - 4×1×(2k + 3) = 36 - 8k - 12 = 24 - 8k = 0$，
解得$k = 3$，
将$k=3$代入原方程得：$x^2 - 6x + 9 = 0$，
解方程得$x_1 = x_2 = 3$，即等腰三角形的腰长为3，
此时三角形三边长为3、3、4，满足三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），
∴三角形的周长为$3+3+4=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的判别式；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，解题的关键是结合等腰三角形的性质判断方程根的情况，求解边长后要注意验证是否符合三角形三边关系。
【难度系数】
0.7
10. 易错题 已知关于$x$的一元二次方程$kx^2 - (2k + 4)x + k - 6 = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)当$k=1$时,用配方法解方程.
(1)求$k$的取值范围；
(2)当$k=1$时,用配方法解方程.
答案
解:(1)根据题意得k≠0(不能忽略二次项系数不为0),Δ=b² - 4ac = [-(2k + 4)]² - 4k(k - 6) = 40k + 16 ＞ 0,
∴k ＞ -2/5 且k≠0.
(2)当k = 1时,方程为x² - 6x - 5 = 0,
配方,得x² - 6x + 9 = 5 + 9,
∴(x - 3)² = 14,
∴x - 3 = ±√14,
解得x₁ = 3 + √14 ,x₂ = 3 - √14 .
∴k ＞ -2/5 且k≠0.
(2)当k = 1时,方程为x² - 6x - 5 = 0,
配方,得x² - 6x + 9 = 5 + 9,
∴(x - 3)² = 14,
∴x - 3 = ±√14,
解得x₁ = 3 + √14 ,x₂ = 3 - √14 .
解析
【分析】
(1) 题目给出的是一元二次方程且有两个不相等的实数根，解题时需先满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，再结合根的判别式Δ＞0（有两个不相等实根的条件），联立两个不等式求解即可得到k的取值范围；
(2) 先将k=1代入原方程得到具体的一元二次方程，配方法解方程的核心是将方程左边变形为完全平方式，步骤为：移项将常数项移到等号右侧，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧写成完全平方形式后开方，即可求出方程的根。
【解析】
(1)
∵ 方程$kx^2 - (2k + 4)x + k - 6 = 0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数$k ≠ 0$，
又
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=k$，$b=-(2k+4)$，$c=k-6$，
代入得：$\Delta = [-(2k+4)]^2 - 4k(k-6) = 4k^2 + 16k + 16 - 4k^2 + 24k = 40k + 16 ＞ 0$，
解不等式$40k + 16 ＞ 0$得：$k ＞ -\dfrac{2}{5}$，
综上，$k$的取值范围是$k ＞ -\dfrac{2}{5}$且$k ≠ 0$。
(2) 当$k=1$时，代入原方程得：
$x^2 - (2×1 + 4)x + 1 - 6 = 0$，即$x^2 - 6x - 5 = 0$，
移项得：$x^2 - 6x = 5$，
配方：左右两边同时加一次项系数$-6$一半的平方，即$9$，得：
$x^2 - 6x + 9 = 5 + 9$，
整理得：$(x - 3)^2 = 14$，
开平方得：$x - 3 = \pm\sqrt{14}$，
解得：$x_1 = 3 + \sqrt{14}$，$x_2 = 3 - \sqrt{14}$。
【答案】
(1) $k ＞ -\dfrac{2}{5}$且$k ≠ 0$；
(2) $x_1 = 3 + \sqrt{14}$，$x_2 = 3 - \sqrt{14}$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，配方法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础易错题，第一问容易遗漏二次项系数不为0的隐含条件导致取值范围出错，第二问考查配方法的标准操作流程，熟练掌握根的判别式的应用场景和配方法的步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 题目给出的是一元二次方程且有两个不相等的实数根，解题时需先满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，再结合根的判别式Δ＞0（有两个不相等实根的条件），联立两个不等式求解即可得到k的取值范围；
(2) 先将k=1代入原方程得到具体的一元二次方程，配方法解方程的核心是将方程左边变形为完全平方式，步骤为：移项将常数项移到等号右侧，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧写成完全平方形式后开方，即可求出方程的根。
【解析】
(1)
∵ 方程$kx^2 - (2k + 4)x + k - 6 = 0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数$k ≠ 0$，
又
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=k$，$b=-(2k+4)$，$c=k-6$，
代入得：$\Delta = [-(2k+4)]^2 - 4k(k-6) = 4k^2 + 16k + 16 - 4k^2 + 24k = 40k + 16 ＞ 0$，
解不等式$40k + 16 ＞ 0$得：$k ＞ -\dfrac{2}{5}$，
综上，$k$的取值范围是$k ＞ -\dfrac{2}{5}$且$k ≠ 0$。
(2) 当$k=1$时，代入原方程得：
$x^2 - (2×1 + 4)x + 1 - 6 = 0$，即$x^2 - 6x - 5 = 0$，
移项得：$x^2 - 6x = 5$，
配方：左右两边同时加一次项系数$-6$一半的平方，即$9$，得：
$x^2 - 6x + 9 = 5 + 9$，
整理得：$(x - 3)^2 = 14$，
开平方得：$x - 3 = \pm\sqrt{14}$，
解得：$x_1 = 3 + \sqrt{14}$，$x_2 = 3 - \sqrt{14}$。
【答案】
(1) $k ＞ -\dfrac{2}{5}$且$k ≠ 0$；
(2) $x_1 = 3 + \sqrt{14}$，$x_2 = 3 - \sqrt{14}$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，配方法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础易错题，第一问容易遗漏二次项系数不为0的隐含条件导致取值范围出错，第二问考查配方法的标准操作流程，熟练掌握根的判别式的应用场景和配方法的步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.7
