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10. 解下列方程：
（1）$-4x+6=5x-3$；
（2）$1-3x=7x+4$；
（3）$-2x-7x+5=3x-x-6$；
（4）$-3x+3=1-x-4x$；
（5）$5x-3x+7=1-3x$；
（6）$-x+2+3x=4-2x$。
（1）$-4x+6=5x-3$；
（2）$1-3x=7x+4$；
（3）$-2x-7x+5=3x-x-6$；
（4）$-3x+3=1-x-4x$；
（5）$5x-3x+7=1-3x$；
（6）$-x+2+3x=4-2x$。
答案
10. (1) $x=1$ (2) $x=-\dfrac{3}{10}$ (3) $x=1$ (4) $x=-1$ (5) $x=-\dfrac{6}{5}$ (6) $x=\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解这组一元一次方程遵循统一的解题思路：第一步移项，将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到方程右侧，注意移项要改变符号；第二步合并同类项，把方程整理为$ax=b$（$a≠0$）的形式；第三步系数化为1，方程两边同时除以未知数的系数$a$，即可求出$x$的值，每道小题都按该步骤操作即可。
【解析】
（1）$-4x+6=5x-3$
移项，得：$-4x-5x=-3-6$
合并同类项，得：$-9x=-9$
系数化为1，得：$x=1$
（2）$1-3x=7x+4$
移项，得：$-3x-7x=4-1$
合并同类项，得：$-10x=3$
系数化为1，得：$x=-\dfrac{3}{10}$
（3）$-2x-7x+5=3x-x-6$
移项，得：$-2x-7x-3x+x=-6-5$
合并同类项，得：$-11x=-11$
系数化为1，得：$x=1$
（4）$-3x+3=1-x-4x$
移项，得：$-3x+x+4x=1-3$
合并同类项，得：$2x=-2$
系数化为1，得：$x=-1$
（5）$5x-3x+7=1-3x$
移项，得：$5x-3x+3x=1-7$
合并同类项，得：$5x=-6$
系数化为1，得：$x=-\dfrac{6}{5}$
（6）$-x+2+3x=4-2x$
移项，得：$-x+3x+2x=4-2$
合并同类项，得：$4x=2$
系数化为1，得：$x=\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1) $x=1$ (2) $x=-\dfrac{3}{10}$ (3) $x=1$ (4) $x=-1$ (5) $x=-\dfrac{6}{5}$ (6) $x=\dfrac{1}{2}$
【知识点】
移项法则；合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题是解一元一次方程的基础训练题，重点考查移项变号的规则，以及合并同类项、系数化为1的基本操作，是后续学习复杂方程的重要基础，熟练掌握解题步骤就能准确求解。
【难度系数】
0.85
解这组一元一次方程遵循统一的解题思路：第一步移项，将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到方程右侧，注意移项要改变符号；第二步合并同类项，把方程整理为$ax=b$（$a≠0$）的形式；第三步系数化为1，方程两边同时除以未知数的系数$a$，即可求出$x$的值，每道小题都按该步骤操作即可。
【解析】
（1）$-4x+6=5x-3$
移项，得：$-4x-5x=-3-6$
合并同类项，得：$-9x=-9$
系数化为1，得：$x=1$
（2）$1-3x=7x+4$
移项，得：$-3x-7x=4-1$
合并同类项，得：$-10x=3$
系数化为1，得：$x=-\dfrac{3}{10}$
（3）$-2x-7x+5=3x-x-6$
移项，得：$-2x-7x-3x+x=-6-5$
合并同类项，得：$-11x=-11$
系数化为1，得：$x=1$
（4）$-3x+3=1-x-4x$
移项，得：$-3x+x+4x=1-3$
合并同类项，得：$2x=-2$
系数化为1，得：$x=-1$
（5）$5x-3x+7=1-3x$
移项，得：$5x-3x+3x=1-7$
合并同类项，得：$5x=-6$
系数化为1，得：$x=-\dfrac{6}{5}$
（6）$-x+2+3x=4-2x$
移项，得：$-x+3x+2x=4-2$
合并同类项，得：$4x=2$
系数化为1，得：$x=\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1) $x=1$ (2) $x=-\dfrac{3}{10}$ (3) $x=1$ (4) $x=-1$ (5) $x=-\dfrac{6}{5}$ (6) $x=\dfrac{1}{2}$
【知识点】
移项法则；合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题是解一元一次方程的基础训练题，重点考查移项变号的规则，以及合并同类项、系数化为1的基本操作，是后续学习复杂方程的重要基础，熟练掌握解题步骤就能准确求解。
【难度系数】
0.85
1. A种饮料比B种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元。如果设B种饮料单价为x元/瓶，那么下面所列方程中正确的是（
A.$2(x-1)+3x=13$
B.$2(x+1)+3x=13$
C.$2x+3(x+1)=13$
D.$2x+3(x-1)=13$
A
）A.$2(x-1)+3x=13$
B.$2(x+1)+3x=13$
C.$2x+3(x+1)=13$
D.$2x+3(x-1)=13$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的设元，先表示出A种饮料的单价，再分别计算购买A、B两种饮料的总花费，最后根据“一共花了13元”的等量关系列出方程，对应选出正确选项即可。第一步：已知设B种饮料单价为x元/瓶，A种饮料比B种少1元，因此A种饮料单价为(x-1)元/瓶；第二步：分别计算2瓶A饮料、3瓶B饮料的花费，总价=单价×数量，因此A饮料总花费为2×(x-1)元，B饮料总花费为3×x元；第三步：两种饮料花费之和为13元，据此列方程即可。
【解析】
设B种饮料单价为x元/瓶，
∵A种饮料比B种饮料单价少1元，
∴A种饮料单价为$(x-1)$元/瓶，
根据“总价=单价×数量”可得：
2瓶A种饮料的花费为$2(x-1)$元，3瓶B种饮料的花费为$3x$元，
已知一共花了13元，可列方程：
$2(x-1)+3x=13$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；单价数量总价关系
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是找准题目中的等量关系，先准确表示出两种饮料的单价，再结合购买数量分别计算总价后相加等于总花费即可，解题时注意区分两种饮料的单价高低，避免列反数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据题目给出的设元，先表示出A种饮料的单价，再分别计算购买A、B两种饮料的总花费，最后根据“一共花了13元”的等量关系列出方程，对应选出正确选项即可。第一步：已知设B种饮料单价为x元/瓶，A种饮料比B种少1元，因此A种饮料单价为(x-1)元/瓶；第二步：分别计算2瓶A饮料、3瓶B饮料的花费，总价=单价×数量，因此A饮料总花费为2×(x-1)元，B饮料总花费为3×x元；第三步：两种饮料花费之和为13元，据此列方程即可。
【解析】
设B种饮料单价为x元/瓶，
∵A种饮料比B种饮料单价少1元，
∴A种饮料单价为$(x-1)$元/瓶，
根据“总价=单价×数量”可得：
2瓶A种饮料的花费为$2(x-1)$元，3瓶B种饮料的花费为$3x$元，
已知一共花了13元，可列方程：
$2(x-1)+3x=13$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；单价数量总价关系
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是找准题目中的等量关系，先准确表示出两种饮料的单价，再结合购买数量分别计算总价后相加等于总花费即可，解题时注意区分两种饮料的单价高低，避免列反数量关系。
【难度系数】
0.8
2. 一个长方形的周长为32 cm，若将长减少2 cm，宽增加4 cm，就变成一个正方形，则原长方形的长为 （
A.10 cm
B.11 cm
C.12 cm
D.13 cm
B
）A.10 cm
B.11 cm
C.12 cm
D.13 cm
答案
2. B
解析
【分析】
这是一道一元一次方程在几何图形中的应用题，解题时先找题中的核心等量关系：①原长方形周长为32cm，可推出长+宽=16cm；②长减少2cm、宽增加4cm后得到正方形，正方形的边长相等，即变化后的长=变化后的宽。我们可以设原长方形的长为未知数，借助第一个等量关系用含未知数的式子表示出宽，再代入第二个等量关系列方程求解即可。
【解析】
设原长方形的长为$ x $ cm。
已知长方形周长为32cm，根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，可得长与宽的和为$ 32÷2=16 $ cm，因此原长方形的宽为$ (16 - x) $ cm。
根据“长减少2cm，宽增加4cm后变成正方形”，可列方程：
$ x - 2 = (16 - x) + 4 $
化简方程右边：$ x - 2 = 20 - x $
移项得：$ x + x = 20 + 2 $
合并同类项得：$ 2x = 22 $
系数化为1得：$ x = 11 $
即原长方形的长为11cm。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 长方形周长计算
3. 正方形的性质
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题关键是抓住图形变形前后边长的等量关系建立方程求解，这类题是方程实际应用的常见题型，掌握找等量关系的方法就能轻松解决。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程在几何图形中的应用题，解题时先找题中的核心等量关系：①原长方形周长为32cm，可推出长+宽=16cm；②长减少2cm、宽增加4cm后得到正方形，正方形的边长相等，即变化后的长=变化后的宽。我们可以设原长方形的长为未知数，借助第一个等量关系用含未知数的式子表示出宽，再代入第二个等量关系列方程求解即可。
【解析】
设原长方形的长为$ x $ cm。
已知长方形周长为32cm，根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，可得长与宽的和为$ 32÷2=16 $ cm，因此原长方形的宽为$ (16 - x) $ cm。
根据“长减少2cm，宽增加4cm后变成正方形”，可列方程：
$ x - 2 = (16 - x) + 4 $
化简方程右边：$ x - 2 = 20 - x $
移项得：$ x + x = 20 + 2 $
合并同类项得：$ 2x = 22 $
系数化为1得：$ x = 11 $
即原长方形的长为11cm。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 长方形周长计算
3. 正方形的性质
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题关键是抓住图形变形前后边长的等量关系建立方程求解，这类题是方程实际应用的常见题型，掌握找等量关系的方法就能轻松解决。
【难度系数】
0.8
3. 若关于$x$的方程$ax+3=4x+1$的解为正整数，则整数$a$的值 （
A.2
B.3
C.1或2
D.2或3
D
）A.2
B.3
C.1或2
D.2或3
答案
3. D
解析
【分析】
这是一道含参数的一元一次方程求整数参数的题目，解题思路如下：首先把参数a当作已知数，按照解一元一次方程的常规步骤求出x用a表示的代数式；再根据题目给出的“解为正整数、a为整数”的条件，分析代数式中分母与分子的整除关系，列举出符合要求的分母取值，进而求出对应的a值，最后验证是否符合要求即可。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$ax - 4x = 1 - 3$
合并同类项，得：
$(a - 4)x = -2$
当$a ≠ 4$时（若a=4，方程左边为0，右边为-2，等式不成立），系数化为1，得：
$x = \frac{-2}{a - 4} = \frac{2}{4 - a}$
∵方程的解x为正整数，且a为整数
∴$4 - a$是2的正约数，2的正约数为1、2，分情况讨论：
① 当$4 - a = 1$时，解得$a = 3$，此时$x = \frac{2}{1} = 2$，是正整数，符合要求；
② 当$4 - a = 2$时，解得$a = 2$，此时$x = \frac{2}{2} = 1$，是正整数，符合要求。
综上，整数a的值为2或3。
【答案】
D
【知识点】
解一元一次方程；含参方程整数解判定
【点评】
本题是含参数一元一次方程的常考题型，解题关键是先将参数视为常数解出方程的解，再结合解的限制条件和参数为整数的要求筛选出符合条件的参数值，解题时需注意要保证未知数的系数不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
这是一道含参数的一元一次方程求整数参数的题目，解题思路如下：首先把参数a当作已知数，按照解一元一次方程的常规步骤求出x用a表示的代数式；再根据题目给出的“解为正整数、a为整数”的条件，分析代数式中分母与分子的整除关系，列举出符合要求的分母取值，进而求出对应的a值，最后验证是否符合要求即可。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$ax - 4x = 1 - 3$
合并同类项，得：
$(a - 4)x = -2$
当$a ≠ 4$时（若a=4，方程左边为0，右边为-2，等式不成立），系数化为1，得：
$x = \frac{-2}{a - 4} = \frac{2}{4 - a}$
∵方程的解x为正整数，且a为整数
∴$4 - a$是2的正约数，2的正约数为1、2，分情况讨论：
① 当$4 - a = 1$时，解得$a = 3$，此时$x = \frac{2}{1} = 2$，是正整数，符合要求；
② 当$4 - a = 2$时，解得$a = 2$，此时$x = \frac{2}{2} = 1$，是正整数，符合要求。
综上，整数a的值为2或3。
【答案】
D
【知识点】
解一元一次方程；含参方程整数解判定
【点评】
本题是含参数一元一次方程的常考题型，解题关键是先将参数视为常数解出方程的解，再结合解的限制条件和参数为整数的要求筛选出符合条件的参数值，解题时需注意要保证未知数的系数不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
4. 记关于$ x $的一元一次方程$ ax + b = 0 $为$[a,b,x]$，如$[2,-5,x]$表示方程$ 2x -5 =0 $，其解为$ x=\frac{5}{2} $。若方程$[2,7,x]$的解比方程$[-3,m,x]$的解大1，则$ m= $
$\boldsymbol{-\dfrac{27}{2}}$
。答案
4. $-\dfrac{27}{2}$
解析
【分析】
解题首先要准确理解题目给出的新定义$[a,b,x]$的含义，它对应的就是一元一次方程$ax+b=0$。我们按三步解题：第一步，将两个新定义形式的方程转化为常规一元一次方程，分别求出两个方程的解（第二个方程的解用含$m$的式子表示）；第二步，根据“第一个方程的解比第二个方程的解大1”的等量关系，列出关于$m$的一元一次方程；第三步，解这个方程求出$m$的值即可。
【解析】
解：根据新定义$[a,b,x]$对应方程$ax+b=0$：
1. 求方程$[2,7,x]$的解：
对应方程为$2x + 7 = 0$，
移项得$2x = -7$，
系数化为1得$x = -\frac{7}{2}$。
2. 求方程$[-3,m,x]$的解：
对应方程为$-3x + m = 0$，
移项得$-3x = -m$，
系数化为1得$x = \frac{m}{3}$。
3. 根据题意列方程求解$m$：
已知$[2,7,x]$的解比$[-3,m,x]$的解大1，可得：
$-\frac{7}{2} = \frac{m}{3} + 1$
移项得：$\frac{m}{3} = -\frac{7}{2} - 1$
计算等号右侧：$\frac{m}{3} = -\frac{7}{2} - \frac{2}{2} = -\frac{9}{2}$
两边同时乘3得：$m = -\frac{9}{2} × 3 = -\frac{27}{2}$
【答案】
$-\dfrac{27}{2}$
【知识点】
定义新运算，解一元一次方程，一元一次方程的解
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的相关知识，解题核心是正确理解新定义的规则，把陌生的新定义方程转化为熟悉的常规一元一次方程，再根据解的数量关系列式计算，解题时注意移项要变号，分数计算要细心。
【难度系数】
0.7
解题首先要准确理解题目给出的新定义$[a,b,x]$的含义，它对应的就是一元一次方程$ax+b=0$。我们按三步解题：第一步，将两个新定义形式的方程转化为常规一元一次方程，分别求出两个方程的解（第二个方程的解用含$m$的式子表示）；第二步，根据“第一个方程的解比第二个方程的解大1”的等量关系，列出关于$m$的一元一次方程；第三步，解这个方程求出$m$的值即可。
【解析】
解：根据新定义$[a,b,x]$对应方程$ax+b=0$：
1. 求方程$[2,7,x]$的解：
对应方程为$2x + 7 = 0$，
移项得$2x = -7$，
系数化为1得$x = -\frac{7}{2}$。
2. 求方程$[-3,m,x]$的解：
对应方程为$-3x + m = 0$，
移项得$-3x = -m$，
系数化为1得$x = \frac{m}{3}$。
3. 根据题意列方程求解$m$：
已知$[2,7,x]$的解比$[-3,m,x]$的解大1，可得：
$-\frac{7}{2} = \frac{m}{3} + 1$
移项得：$\frac{m}{3} = -\frac{7}{2} - 1$
计算等号右侧：$\frac{m}{3} = -\frac{7}{2} - \frac{2}{2} = -\frac{9}{2}$
两边同时乘3得：$m = -\frac{9}{2} × 3 = -\frac{27}{2}$
【答案】
$-\dfrac{27}{2}$
【知识点】
定义新运算，解一元一次方程，一元一次方程的解
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的相关知识，解题核心是正确理解新定义的规则，把陌生的新定义方程转化为熟悉的常规一元一次方程，再根据解的数量关系列式计算，解题时注意移项要变号，分数计算要细心。
【难度系数】
0.7
