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5. 已知$|x-2|+|y-3|=0$.
（1）求$x,y$的值；
（2）已知$|x+y+z|=7$，求$z$的值.
（1）求$x,y$的值；
（2）已知$|x+y+z|=7$，求$z$的值.
答案
5. (1) 由题意,得,$x-2=0,y-3=0$,解得$x=2,y=3$. (2) $\because x=2,y=3,|x+y+z|=7,\therefore |2+3+z|=7,\therefore 5+z=\pm7,\therefore z=2$或$-12$.
解析
【分析】
（1）解题核心是利用绝对值的非负性：任意有理数的绝对值都大于等于0，两个非负数相加的和为0时，这两个非负数必须同时为0，据此分别列等式即可求出x、y的值；（2）将第一问求出的x、y代入含z的绝对值等式，根据绝对值的性质，绝对值为正数的数有两个，互为相反数，因此绝对值符号内的式子对应两种情况，分别列方程求解就能得到z的所有取值。
【解析】
（1）根据绝对值的非负性可知$\vert x-2\vert≥0$，$\vert y-3\vert≥0$，
$\because\vert x-2\vert+\vert y-3\vert=0$，
$\therefore x-2=0$，$y-3=0$，
解得$x=2$，$y=3$。
（2）把$x=2$，$y=3$代入$\vert x+y+z\vert=7$，可得：
$\vert2+3+z\vert=7$，即$\vert5+z\vert=7$，
根据绝对值的性质得$5+z=7$或$5+z=-7$，
当$5+z=7$时，$z=7-5=2$；
当$5+z=-7$时，$z=-7-5=-12$。
【答案】
（1）$x=2$，$y=3$；（2）$z=2$或$z=-12$
【知识点】
绝对值的非负性，绝对值的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用题型，重点考查对绝对值非负性的理解，以及含绝对值方程的解法，解题时注意不要漏掉绝对值方程的负向解。
【难度系数】
0.85
（1）解题核心是利用绝对值的非负性：任意有理数的绝对值都大于等于0，两个非负数相加的和为0时，这两个非负数必须同时为0，据此分别列等式即可求出x、y的值；（2）将第一问求出的x、y代入含z的绝对值等式，根据绝对值的性质，绝对值为正数的数有两个，互为相反数，因此绝对值符号内的式子对应两种情况，分别列方程求解就能得到z的所有取值。
【解析】
（1）根据绝对值的非负性可知$\vert x-2\vert≥0$，$\vert y-3\vert≥0$，
$\because\vert x-2\vert+\vert y-3\vert=0$，
$\therefore x-2=0$，$y-3=0$，
解得$x=2$，$y=3$。
（2）把$x=2$，$y=3$代入$\vert x+y+z\vert=7$，可得：
$\vert2+3+z\vert=7$，即$\vert5+z\vert=7$，
根据绝对值的性质得$5+z=7$或$5+z=-7$，
当$5+z=7$时，$z=7-5=2$；
当$5+z=-7$时，$z=-7-5=-12$。
【答案】
（1）$x=2$，$y=3$；（2）$z=2$或$z=-12$
【知识点】
绝对值的非负性，绝对值的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用题型，重点考查对绝对值非负性的理解，以及含绝对值方程的解法，解题时注意不要漏掉绝对值方程的负向解。
【难度系数】
0.85
6.（1）有理数5，-3，0，-2中绝对值最小的数是________；
（2）$|a+1|$一定 （）
A. 大于0
B. 大于等于0
C. 等于0
D. 小于0
（3）已知$|a+1|=0$，则$a=\_\_\_\_\_\_$；
（4）当式子$|a-3|+2$取最小值时，$a$的值是多少？
（2）$|a+1|$一定 （）
A. 大于0
B. 大于等于0
C. 等于0
D. 小于0
（3）已知$|a+1|=0$，则$a=\_\_\_\_\_\_$；
（4）当式子$|a-3|+2$取最小值时，$a$的值是多少？
答案
6. (1) 0 (2) B (3) $-1$ (4) 3
解析
【分析】
解题时围绕绝对值的核心性质展开思考：
（1）先回忆绝对值的定义，即数轴上一个数到原点的距离，分别计算四个数的绝对值后比较大小即可找到最小值；
（2）牢记绝对值的非负性：任意有理数的绝对值都大于等于0，据此判断|a+1|的取值范围；
（3）只有0的绝对值是0，因此令绝对值内的代数式等于0，解方程即可求出a的值；
（4）要让|a-3|+2取最小值，因为常数2固定，所以只需让|a-3|取最小值，结合绝对值非负性可知|a-3|最小为0，此时令绝对值内的式子等于0即可求出a的值。
【解析】
（1）分别计算各数的绝对值：|5|=5，|-3|=3，|0|=0，|-2|=2，比较得0＜2＜3＜5，因此绝对值最小的数是0；
（2）根据绝对值的非负性可知，任意有理数的绝对值均大于等于0，因此|a+1|≥0，故选B；
（3）因为只有0的绝对值为0，所以a+1=0，解得a=-1；
（4）由绝对值的非负性得|a-3|≥0，因此|a-3|+2≥2，当且仅当|a-3|=0时，式子取得最小值2，此时a-3=0，解得a=3。
【答案】
(1) 0 (2) B (3) $-1$ (4) 3
【知识点】
绝对值的性质；绝对值的非负性；含绝对值的简单计算
【点评】
本题围绕绝对值的基础知识点设置题目，侧重考察对绝对值非负性的理解与应用，是绝对值章节的典型基础题型，熟练掌握绝对值的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时围绕绝对值的核心性质展开思考：
（1）先回忆绝对值的定义，即数轴上一个数到原点的距离，分别计算四个数的绝对值后比较大小即可找到最小值；
（2）牢记绝对值的非负性：任意有理数的绝对值都大于等于0，据此判断|a+1|的取值范围；
（3）只有0的绝对值是0，因此令绝对值内的代数式等于0，解方程即可求出a的值；
（4）要让|a-3|+2取最小值，因为常数2固定，所以只需让|a-3|取最小值，结合绝对值非负性可知|a-3|最小为0，此时令绝对值内的式子等于0即可求出a的值。
【解析】
（1）分别计算各数的绝对值：|5|=5，|-3|=3，|0|=0，|-2|=2，比较得0＜2＜3＜5，因此绝对值最小的数是0；
（2）根据绝对值的非负性可知，任意有理数的绝对值均大于等于0，因此|a+1|≥0，故选B；
（3）因为只有0的绝对值为0，所以a+1=0，解得a=-1；
（4）由绝对值的非负性得|a-3|≥0，因此|a-3|+2≥2，当且仅当|a-3|=0时，式子取得最小值2，此时a-3=0，解得a=3。
【答案】
(1) 0 (2) B (3) $-1$ (4) 3
【知识点】
绝对值的性质；绝对值的非负性；含绝对值的简单计算
【点评】
本题围绕绝对值的基础知识点设置题目，侧重考察对绝对值非负性的理解与应用，是绝对值章节的典型基础题型，熟练掌握绝对值的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7. 若$|a|=4$，$|b|=2$，且$a＞b$，求$a+b$的值.
答案
7. 6或2
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质，确定a、b所有可能的取值；再结合题干给出的a＞b的限制条件，筛选出符合要求的a、b的组合；最后分别计算每种有效组合下a+b的数值即可。
【解析】
解：
∵|a|=4，
∴a的取值为4或-4；
∵|b|=2，
∴b的取值为2或-2；
已知a＞b，分情况讨论：
①当a=4，b=2时，4＞2，符合条件，此时a+b=4+2=6；
②当a=4，b=-2时，4＞-2，符合条件，此时a+b=4+(-2)=2；
③当a=-4，b=2时，-4＜2，不符合a＞b的要求，舍去；
④当a=-4，b=-2时，-4＜-2，不符合a＞b的要求，舍去；
综上，a+b的值为6或2。
【答案】
6或2
【知识点】
绝对值的性质、有理数大小比较、有理数加法
【点评】
本题是绝对值的基础应用题型，易错点是容易遗漏取值情况，或者未结合a＞b的条件排除无效组合，解题时要养成分类讨论的习惯，核对所有可能的取值后再得出最终结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据绝对值的性质，确定a、b所有可能的取值；再结合题干给出的a＞b的限制条件，筛选出符合要求的a、b的组合；最后分别计算每种有效组合下a+b的数值即可。
【解析】
解：
∵|a|=4，
∴a的取值为4或-4；
∵|b|=2，
∴b的取值为2或-2；
已知a＞b，分情况讨论：
①当a=4，b=2时，4＞2，符合条件，此时a+b=4+2=6；
②当a=4，b=-2时，4＞-2，符合条件，此时a+b=4+(-2)=2；
③当a=-4，b=2时，-4＜2，不符合a＞b的要求，舍去；
④当a=-4，b=-2时，-4＜-2，不符合a＞b的要求，舍去；
综上，a+b的值为6或2。
【答案】
6或2
【知识点】
绝对值的性质、有理数大小比较、有理数加法
【点评】
本题是绝对值的基础应用题型，易错点是容易遗漏取值情况，或者未结合a＞b的条件排除无效组合，解题时要养成分类讨论的习惯，核对所有可能的取值后再得出最终结果。
【难度系数】
0.7
8. 送餐机器人在一条东西走向的走道上为客人服务，从取餐点A处出发，先向东移动4 m到达3号桌B处，然后向西移动7 m到达2号桌C处，再返回取餐点.
（1）以取餐点为原点，向东方向为正方向，画出数轴，并在数轴上表示出A，B，C三处的位置；
（2）C处离A处有多远？
（3）机器人一共移动了多少米？
（1）以取餐点为原点，向东方向为正方向，画出数轴，并在数轴上表示出A，B，C三处的位置；
（2）C处离A处有多远？
（3）机器人一共移动了多少米？
答案
8. (1) 如图所示：
(2) C处离A处有$|-3|=3$ m.
(3) 由(1)中数轴可知,机器人一共移动的路程为$4+7+3=14$(m).
解析
【分析】
解题思路：（1）第一问根据题干要求，以取餐点A为原点、向东为正方向，取1m为单位长度绘制数轴，A对应数字0，向东移动4m的B点对应+4，从B向西移动7m的C点对应$4-7=-3$，即可标注三个点的位置。（2）求C到A的距离，利用数轴上两点距离的计算方法：两点对应数的差的绝对值即可求解。（3）求总移动路程时，路程是移动路径的总长度，和方向无关，只需将三次移动的长度相加即可。
【解析】
（1）按要求构建数轴：原点为A点对应数0，正方向向东，1单位长度代表1m，B点在原点东侧4个单位处对应数4，C点在原点西侧3个单位处对应数-3，数轴表示如下：
（2）A对应数轴上的数为0，C对应数轴上的数为-3，两点间距离为$\left|-3-0\right|=\left|-3\right|=3$，因此C处离A处3m。
（3）机器人三次移动的长度分别为：A到B移动4m，B到C移动7m，C返回A移动3m，总路程为三次移动长度之和：$4+7+3=14$（m）。
【答案】
(1) 如图所示：
(2) C处离A处有$3$ m.
(3) 机器人一共移动了$14$ m.
【知识点】
数轴的应用，绝对值的意义，有理数加法运算
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了数轴表示位置、利用绝对值求两点距离以及路程求和的相关知识，解题时需注意路程仅与移动的长度有关，与方向无关，不要混淆距离和位移的概念。
【难度系数】
0.8
解题思路：（1）第一问根据题干要求，以取餐点A为原点、向东为正方向，取1m为单位长度绘制数轴，A对应数字0，向东移动4m的B点对应+4，从B向西移动7m的C点对应$4-7=-3$，即可标注三个点的位置。（2）求C到A的距离，利用数轴上两点距离的计算方法：两点对应数的差的绝对值即可求解。（3）求总移动路程时，路程是移动路径的总长度，和方向无关，只需将三次移动的长度相加即可。
【解析】
（1）按要求构建数轴：原点为A点对应数0，正方向向东，1单位长度代表1m，B点在原点东侧4个单位处对应数4，C点在原点西侧3个单位处对应数-3，数轴表示如下：
（2）A对应数轴上的数为0，C对应数轴上的数为-3，两点间距离为$\left|-3-0\right|=\left|-3\right|=3$，因此C处离A处3m。
（3）机器人三次移动的长度分别为：A到B移动4m，B到C移动7m，C返回A移动3m，总路程为三次移动长度之和：$4+7+3=14$（m）。
【答案】
(1) 如图所示：
(2) C处离A处有$3$ m.
(3) 机器人一共移动了$14$ m.
【知识点】
数轴的应用，绝对值的意义，有理数加法运算
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了数轴表示位置、利用绝对值求两点距离以及路程求和的相关知识，解题时需注意路程仅与移动的长度有关，与方向无关，不要混淆距离和位移的概念。
【难度系数】
0.8
9. 学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，即当 $ a ≥ 0 $ 时，$ |a|=a $；负数的绝对值等于它的相反数，即当 $ a＜0 $ 时，$ |a|=-a $。根据以上内容，解答下列问题：
问题：
（1）$ |2-3|= $
（2）$ |3.14-π|= $
（3）如果有理数 $ a＜b $，那么 $ |a-b|= $
（4）请利用你探究的结论计算式子：$ \left| \frac{1}{2} -1 \right| + \left| \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right| + \left| \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right| + \dots + \left| \frac{1}{2021} - \frac{1}{2020} \right| + $
。
问题：
（1）$ |2-3|= $
$1$
；（2）$ |3.14-π|= $
$π-3.14$
；（3）如果有理数 $ a＜b $，那么 $ |a-b|= $
$b-a$
；（4）请利用你探究的结论计算式子：$ \left| \frac{1}{2} -1 \right| + \left| \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right| + \left| \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right| + \dots + \left| \frac{1}{2021} - \frac{1}{2020} \right| + $
。答案
9. (1) 1 (2) $π-3.14$ (3) $b-a$ (4) $\dfrac{2\ 022}{2\ 023}$
解析
【分析】
解题时先回顾绝对值的性质：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。前3小问先判断绝对值内式子的正负，再根据性质去绝对值即可。第（4）小问先观察每个绝对值内分数的大小，判断差的正负，去掉绝对值后会发现相邻项可以相互抵消，简化计算即可得到结果。
【解析】
（1）计算绝对值内的结果：$2-3=-1＜0$，根据负数的绝对值是它的相反数，可得$|2-3|=-(2-3)=1$；
（2）因为$π\approx3.14159＞3.14$，所以$3.14-π＜0$，因此$|3.14-π|=-(3.14-π)=π-3.14$；
（3）已知$a＜b$，所以$a-b＜0$，因此$|a-b|=-(a-b)=b-a$；
（4）先判断每个绝对值内式子的正负：$1＞\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}＞\frac{1}{4}$，……，$\frac{1}{2022}＞\frac{1}{2023}$，所有绝对值内的差都是负数，去绝对值后得：
$\begin{split}原式&=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{2020}-\frac{1}{2021})+(\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022})+(\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023})\\&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2020}-\frac{1}{2021}+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023}\\&=1-\frac{1}{2023}\\&=\frac{2022}{2023}\end{split}$
【答案】
(1) $1$；(2) $π-3.14$；(3) $b-a$；(4) $\dfrac{2022}{2023}$
【知识点】
绝对值的化简；有理数大小比较；分数简便运算
【点评】
本题围绕绝对值的性质设计，核心考查学生对绝对值化简规则的掌握，解题关键是先判断绝对值内代数式的正负，再正确去绝对值。第（4）小问需要学生具备一定的观察能力，发现抵消规律即可简化计算，整体侧重基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时先回顾绝对值的性质：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。前3小问先判断绝对值内式子的正负，再根据性质去绝对值即可。第（4）小问先观察每个绝对值内分数的大小，判断差的正负，去掉绝对值后会发现相邻项可以相互抵消，简化计算即可得到结果。
【解析】
（1）计算绝对值内的结果：$2-3=-1＜0$，根据负数的绝对值是它的相反数，可得$|2-3|=-(2-3)=1$；
（2）因为$π\approx3.14159＞3.14$，所以$3.14-π＜0$，因此$|3.14-π|=-(3.14-π)=π-3.14$；
（3）已知$a＜b$，所以$a-b＜0$，因此$|a-b|=-(a-b)=b-a$；
（4）先判断每个绝对值内式子的正负：$1＞\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}＞\frac{1}{4}$，……，$\frac{1}{2022}＞\frac{1}{2023}$，所有绝对值内的差都是负数，去绝对值后得：
$\begin{split}原式&=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{2020}-\frac{1}{2021})+(\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022})+(\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023})\\&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2020}-\frac{1}{2021}+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023}\\&=1-\frac{1}{2023}\\&=\frac{2022}{2023}\end{split}$
【答案】
(1) $1$；(2) $π-3.14$；(3) $b-a$；(4) $\dfrac{2022}{2023}$
【知识点】
绝对值的化简；有理数大小比较；分数简便运算
【点评】
本题围绕绝对值的性质设计，核心考查学生对绝对值化简规则的掌握，解题关键是先判断绝对值内代数式的正负，再正确去绝对值。第（4）小问需要学生具备一定的观察能力，发现抵消规律即可简化计算，整体侧重基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
