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9.(武汉市中考改编)如图,一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴的交点坐标为$(2,0)$,则下列说法:①$y$随$x$的增大而减小;②$k＜0,b＜0$;③当$x＞2$时,$y＜0$;④关于$x$的方程$kx+b=0$的解为$x=2$,正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
9.C
解析
【分析】
解题时先结合一次函数图象的走向判断斜率k的符号，再根据图象与y轴的交点位置判断截距b的符号，随后结合图象与x轴的交点坐标(2,0)，逐一分析4个说法的正误，最终统计正确说法的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析四个说法：
1. 观察图象，一次函数图象从左上向右下倾斜，即从左到右下降，说明$k＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，故①正确；
2. 图象与$y$轴的交点在$y$轴正半轴，说明$b＞0$，因此②中“$b＜0$”的描述错误，故②错误；
3. 图象与$x$轴交于点$(2,0)$，当$x＞2$时，函数图象位于$x$轴下方，对应的函数值$y＜0$，故③正确；
4. 关于$x$的方程$kx+b=0$的解，对应一次函数$y=kx+b$图象与$x$轴交点的横坐标，已知交点横坐标为2，因此方程$kx+b=0$的解为$x=2$，故④正确。
综上，①③④共3个说法正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数与一元一次方程；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题结合图象考查一次函数的相关性质，以及一次函数和方程、不等式的对应关系，解题时需利用数形结合思想分析图象特征，熟练掌握一次函数的性质是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时先结合一次函数图象的走向判断斜率k的符号，再根据图象与y轴的交点位置判断截距b的符号，随后结合图象与x轴的交点坐标(2,0)，逐一分析4个说法的正误，最终统计正确说法的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析四个说法：
1. 观察图象，一次函数图象从左上向右下倾斜，即从左到右下降，说明$k＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，故①正确；
2. 图象与$y$轴的交点在$y$轴正半轴，说明$b＞0$，因此②中“$b＜0$”的描述错误，故②错误；
3. 图象与$x$轴交于点$(2,0)$，当$x＞2$时，函数图象位于$x$轴下方，对应的函数值$y＜0$，故③正确；
4. 关于$x$的方程$kx+b=0$的解，对应一次函数$y=kx+b$图象与$x$轴交点的横坐标，已知交点横坐标为2，因此方程$kx+b=0$的解为$x=2$，故④正确。
综上，①③④共3个说法正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数与一元一次方程；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题结合图象考查一次函数的相关性质，以及一次函数和方程、不等式的对应关系，解题时需利用数形结合思想分析图象特征，熟练掌握一次函数的性质是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.7
10.将一次函数$y=kx+m$图象向左平移3个单位长度，得到一次函数$y=kx+1$，若不等式$kx+m＞4$的解集是$x＜2$，则$k+m=$
7
。答案
10.7
解析
【分析】
解题思路分为三个步骤：首先利用一次函数图象“左加右减”的平移规律，写出平移后的函数解析式，和已知平移后的解析式对比，得到k与m的第一个等量关系；其次解不等式$kx+m＞4$，结合给出的解集$x＜2$，根据不等号方向改变判断k的符号，得到k与m的第二个等量关系；最后联立两个等量关系求出k和m的值，计算$k+m$即可。
【解析】
1. 根据一次函数平移“左加右减”的规律，将$y=kx+m$向左平移3个单位后，解析式为：
$y = k(x+3) + m = kx + 3k + m$
已知平移后解析式为$y=kx+1$，常数项对应相等，可得：
$3k + m = 1$ ---①
2. 解不等式$kx + m ＞ 4$，移项得：$kx ＞ 4 - m$
已知不等式解集为$x＜2$，不等号方向改变，说明$k＜0$，两边同时除以k时不等号变向，因此解集为：
$x ＜ \frac{4 - m}{k}$
对应解集$x＜2$，可得：$\frac{4 - m}{k}=2$，整理得：
$2k + m = 4$ ---②
3. 联立①②组成方程组：
$\begin{cases}3k + m = 1 \\ 2k + m = 4 \end{cases}$
用①-②消去m，得$k=-3$，将$k=-3$代入②，得$2×(-3)+m=4$，解得$m=10$。
4. 计算得$k+m=-3+10=7$。
【答案】
7
【知识点】
一次函数平移规律，一次函数与一元一次不等式，二元一次方程组解法
【点评】
本题是一次函数和不等式的综合题，核心是熟练掌握平移规则和不等式解集与系数的关系，解题时需特别注意不等式两边除以负数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.6
解题思路分为三个步骤：首先利用一次函数图象“左加右减”的平移规律，写出平移后的函数解析式，和已知平移后的解析式对比，得到k与m的第一个等量关系；其次解不等式$kx+m＞4$，结合给出的解集$x＜2$，根据不等号方向改变判断k的符号，得到k与m的第二个等量关系；最后联立两个等量关系求出k和m的值，计算$k+m$即可。
【解析】
1. 根据一次函数平移“左加右减”的规律，将$y=kx+m$向左平移3个单位后，解析式为：
$y = k(x+3) + m = kx + 3k + m$
已知平移后解析式为$y=kx+1$，常数项对应相等，可得：
$3k + m = 1$ ---①
2. 解不等式$kx + m ＞ 4$，移项得：$kx ＞ 4 - m$
已知不等式解集为$x＜2$，不等号方向改变，说明$k＜0$，两边同时除以k时不等号变向，因此解集为：
$x ＜ \frac{4 - m}{k}$
对应解集$x＜2$，可得：$\frac{4 - m}{k}=2$，整理得：
$2k + m = 4$ ---②
3. 联立①②组成方程组：
$\begin{cases}3k + m = 1 \\ 2k + m = 4 \end{cases}$
用①-②消去m，得$k=-3$，将$k=-3$代入②，得$2×(-3)+m=4$，解得$m=10$。
4. 计算得$k+m=-3+10=7$。
【答案】
7
【知识点】
一次函数平移规律，一次函数与一元一次不等式，二元一次方程组解法
【点评】
本题是一次函数和不等式的综合题，核心是熟练掌握平移规则和不等式解集与系数的关系，解题时需特别注意不等式两边除以负数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.6
11.(合肥五十中单元卷)如图,已知函数$y_1=2x+b$和$y_2=ax-3$的图象交于点$P(-2,-5)$,这两个函数的图象与$x$轴分别交于点$A,B$.
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)求三角形$ABP$的面积；
(3)根据图象直接写出不等式$2x+b＜ax-3$的解集.
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)求三角形$ABP$的面积；
(3)根据图象直接写出不等式$2x+b＜ax-3$的解集.
答案
11. (1)解:将点 $P(-2,-5)$ 代入 $y_1=2x+b$,得 $-5=2×(-2)+b$,解得 $b=-1$;将点 $P(-2,-5)$ 代入 $y_2=ax-3$,得 $-5=a×(-2)-3$,解得 $a=1$,$\therefore$ 这两个函数的解析式分别为 $y_1=2x-1$ 和 $y_2=x-3$.
(2)在 $y_1=2x-1$ 中,令 $y_1=0$,得 $x=\frac{1}{2}$,$\therefore A(\frac{1}{2},0)$. 在 $y_2=x-3$ 中,令 $y_2=0$,得 $x=3$,$\therefore B(3,0)$.
$\therefore S_{\mathrm{三角形}ABP}=\frac{1}{2}AB×5=\frac{1}{2}×(3-\frac{1}{2})×5=\frac{25}{4}$.
(3)由函数图象可知,不等式 $2x+b＜ax-3$ 的解集为 $x＜-2$.
(2)在 $y_1=2x-1$ 中,令 $y_1=0$,得 $x=\frac{1}{2}$,$\therefore A(\frac{1}{2},0)$. 在 $y_2=x-3$ 中,令 $y_2=0$,得 $x=3$,$\therefore B(3,0)$.
$\therefore S_{\mathrm{三角形}ABP}=\frac{1}{2}AB×5=\frac{1}{2}×(3-\frac{1}{2})×5=\frac{25}{4}$.
(3)由函数图象可知,不等式 $2x+b＜ax-3$ 的解集为 $x＜-2$.
解析
【分析】
(1) 求一次函数解析式可使用待定系数法，已知两个函数图象都经过点$P(-2,-5)$，将$P$点坐标分别代入两个函数表达式，求解未知参数$a$和$b$即可得到解析式。
(2) 求$△ ABP$的面积，首先$A、B$是函数与$x$轴的交点，令函数值$y=0$可求出$A、B$的横坐标，得到两点坐标后算出$AB$的长度；$△ ABP$的高为点$P$到$x$轴的距离，即$P$点纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可求解。
(3) 不等式$2x+b＜ax-3$的几何意义是$y_1$的图象位于$y_2$图象下方时对应的$x$取值范围，结合两函数交点的横坐标，直接读取对应$x$的范围即可。
【解析】
(1) 将点$P(-2,-5)$代入$y_1=2x+b$，得：
$-5=2×(-2)+b$，解得$b=-1$；
将点$P(-2,-5)$代入$y_2=ax-3$，得：
$-5=a×(-2)-3$，解得$a=1$；
∴两个函数的解析式分别为$y_1=2x-1$，$y_2=x-3$。
(2) 在$y_1=2x-1$中，令$y_1=0$，即$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，
∴$A(\frac{1}{2},0)$；
在$y_2=x-3$中，令$y_2=0$，即$x-3=0$，解得$x=3$，
∴$B(3,0)$；
$AB$的长度为$3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，点$P$到$x$轴的距离为$|-5|=5$，
∴$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×AB×5=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×5=\frac{25}{4}$。
(3) 观察图象可知，当$x＜-2$时，$y_1=2x+b$的图象在$y_2=ax-3$的图象下方，即此时$2x+b＜ax-3$，
∴不等式的解集为$x＜-2$。
【答案】
(1) $y_1=2x-1$，$y_2=x-3$
(2) $\frac{25}{4}$
(3) $x＜-2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，一次函数与不等式关系
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，核心考查待定系数法的应用，结合数形结合思想利用图象几何意义求解面积和不等式解集，是一次函数章节的高频考点。
【难度系数】
0.7
(1) 求一次函数解析式可使用待定系数法，已知两个函数图象都经过点$P(-2,-5)$，将$P$点坐标分别代入两个函数表达式，求解未知参数$a$和$b$即可得到解析式。
(2) 求$△ ABP$的面积，首先$A、B$是函数与$x$轴的交点，令函数值$y=0$可求出$A、B$的横坐标，得到两点坐标后算出$AB$的长度；$△ ABP$的高为点$P$到$x$轴的距离，即$P$点纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可求解。
(3) 不等式$2x+b＜ax-3$的几何意义是$y_1$的图象位于$y_2$图象下方时对应的$x$取值范围，结合两函数交点的横坐标，直接读取对应$x$的范围即可。
【解析】
(1) 将点$P(-2,-5)$代入$y_1=2x+b$，得：
$-5=2×(-2)+b$，解得$b=-1$；
将点$P(-2,-5)$代入$y_2=ax-3$，得：
$-5=a×(-2)-3$，解得$a=1$；
∴两个函数的解析式分别为$y_1=2x-1$，$y_2=x-3$。
(2) 在$y_1=2x-1$中，令$y_1=0$，即$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，
∴$A(\frac{1}{2},0)$；
在$y_2=x-3$中，令$y_2=0$，即$x-3=0$，解得$x=3$，
∴$B(3,0)$；
$AB$的长度为$3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，点$P$到$x$轴的距离为$|-5|=5$，
∴$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×AB×5=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×5=\frac{25}{4}$。
(3) 观察图象可知，当$x＜-2$时，$y_1=2x+b$的图象在$y_2=ax-3$的图象下方，即此时$2x+b＜ax-3$，
∴不等式的解集为$x＜-2$。
【答案】
(1) $y_1=2x-1$，$y_2=x-3$
(2) $\frac{25}{4}$
(3) $x＜-2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，一次函数与不等式关系
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，核心考查待定系数法的应用，结合数形结合思想利用图象几何意义求解面积和不等式解集，是一次函数章节的高频考点。
【难度系数】
0.7
12.【核心素养·模型观念】在平面直角坐标系$xOy$中，点$A(-3,-2),B(1,-1),C(0,-4)$.
(1)描出$A,B,C$三点并求直线$AB$的解析式；
(2)已知一次函数$y=ax+3a-2(a$为常数$)$.
①求证:一次函数$y=ax+3a-2$的图象一定经过点$A$；
②若一次函数$y=ax+3a-2$的图象与线段$BC$有交点,直接写出$a$的取值范围.
(1)描出$A,B,C$三点并求直线$AB$的解析式；
(2)已知一次函数$y=ax+3a-2(a$为常数$)$.
①求证:一次函数$y=ax+3a-2$的图象一定经过点$A$；
②若一次函数$y=ax+3a-2$的图象与线段$BC$有交点,直接写出$a$的取值范围.
答案
12. (1)解:如图
,设过 $AB$ 的直线的解析式为 $y=kx+b(k≠0)$, $\because A(-3,-2),B(1,-1)$, $\therefore \begin{cases}-3k+b=-2,\\k+b=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\frac{1}{4},\\b=-\frac{5}{4}.\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $AB$ 的解析式为 $y=\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}$.(2)①证明:把 $x=-3$ 代入 $y=ax+3a-2$,得 $y=-2$. $\therefore$ 一次函数 $y=ax+3a-2$ 的图象必经过点 $A(-3,-2)$.
②解:$-\frac{2}{3}≤ a≤\frac{1}{4}$ 且 $a≠0$. 解析:一次函数 $y=ax+3a-2$ 的图象与线段 $BC$ 有交点,把 $B(1,-1)$ 代入 $y=ax+3a-2$ 得 $-1=a+3a-2$,解得 $a=\frac{1}{4}$;把 $C(0,-4)$ 代入 $y=ax+3a-2$ 得 $-4=3a-2$,解得 $a=-\frac{2}{3}$;当 $a=0$ 时, $y=ax+3a-2$ 不是一次函数. 综上所述,$a$ 的取值范围为 $-\frac{2}{3}≤ a≤\frac{1}{4}$ 且 $a≠0$.
解析
【分析】
(1) 求直线解析式可采用待定系数法，已知直线上A、B两点的坐标，设一次函数一般式$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，解出参数即可得到解析式，再按坐标在坐标系中描出三个点即可。
(2)①要证明函数图象过定点A，只需将A点的横坐标代入函数表达式，若计算得到的纵坐标与A点纵坐标一致，即可说明A点在函数图象上，即函数图象过点A。
②该一次函数已过定点A，图象为绕A点旋转的直线，要与线段BC有交点，先求边界情况：直线过B点、过C点时对应的a值，再结合一次函数定义（一次项系数不为0），即可确定a的取值范围。
【解析】
(1) 首先在平面直角坐标系中描出A(-3,-2)、B(1,-1)、C(0,-4)三点，如图。
设过A、B的直线解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$A(-3,-2)$、$B(1,-1)$代入解析式得：
$\begin{cases}-3k+b=-2\\k+b=-1\end{cases}$
两式相减得$4k=1$，解得$k=\frac{1}{4}$，将$k=\frac{1}{4}$代入$k+b=-1$，解得$b=-\frac{5}{4}$。
(2)①证明：把$x=-3$代入$y=ax+3a-2$，
得$y=-3a+3a-2=-2$，结果与点A的纵坐标一致，因此该一次函数图象必经过点A(-3,-2)。
②解：当函数图象过点B(1,-1)时，代入得$-1=a+3a-2$，解得$a=\frac{1}{4}$；
当函数图象过点C(0,-4)时，代入得$-4=3a-2$，解得$a=-\frac{2}{3}$；
又因为$y=ax+3a-2$是一次函数，因此$a≠0$。
综上可得a的取值范围。
【答案】
(1) 如图，直线AB的解析式为$y=\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}$；
(2)①一次函数$y=ax+3a-2$的图象必经过点$A(-3,-2)$；②$-\frac{2}{3}≤ a≤\frac{1}{4}$且$a≠0$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数点坐标特征，一次函数的定义
【点评】
本题侧重考察一次函数的基础应用，涵盖了解析式求解、定点证明、交点范围求解三类常见题型，解题时需注意一次函数一次项系数不为0的隐含条件，避免漏写限制条件出错。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线解析式可采用待定系数法，已知直线上A、B两点的坐标，设一次函数一般式$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，解出参数即可得到解析式，再按坐标在坐标系中描出三个点即可。
(2)①要证明函数图象过定点A，只需将A点的横坐标代入函数表达式，若计算得到的纵坐标与A点纵坐标一致，即可说明A点在函数图象上，即函数图象过点A。
②该一次函数已过定点A，图象为绕A点旋转的直线，要与线段BC有交点，先求边界情况：直线过B点、过C点时对应的a值，再结合一次函数定义（一次项系数不为0），即可确定a的取值范围。
【解析】
(1) 首先在平面直角坐标系中描出A(-3,-2)、B(1,-1)、C(0,-4)三点，如图
。设过A、B的直线解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$A(-3,-2)$、$B(1,-1)$代入解析式得：
$\begin{cases}-3k+b=-2\\k+b=-1\end{cases}$
两式相减得$4k=1$，解得$k=\frac{1}{4}$，将$k=\frac{1}{4}$代入$k+b=-1$，解得$b=-\frac{5}{4}$。
(2)①证明：把$x=-3$代入$y=ax+3a-2$，
得$y=-3a+3a-2=-2$，结果与点A的纵坐标一致，因此该一次函数图象必经过点A(-3,-2)。
②解：当函数图象过点B(1,-1)时，代入得$-1=a+3a-2$，解得$a=\frac{1}{4}$；
当函数图象过点C(0,-4)时，代入得$-4=3a-2$，解得$a=-\frac{2}{3}$；
又因为$y=ax+3a-2$是一次函数，因此$a≠0$。
综上可得a的取值范围。
【答案】
(1) 如图
，直线AB的解析式为$y=\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}$；(2)①一次函数$y=ax+3a-2$的图象必经过点$A(-3,-2)$；②$-\frac{2}{3}≤ a≤\frac{1}{4}$且$a≠0$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数点坐标特征，一次函数的定义
【点评】
本题侧重考察一次函数的基础应用，涵盖了解析式求解、定点证明、交点范围求解三类常见题型，解题时需注意一次函数一次项系数不为0的隐含条件，避免漏写限制条件出错。
【难度系数】
0.7
