一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)
名师微课
1.已知一个几何体如图所示,则该几何体的俯视图是（）

1.B

【分析】
要判断该几何体的俯视图，首先明确俯视图的定义：从几何体的正上方向下观察得到的平面图形。解题时可分步判断：第一步先确定下方长方体的俯视图特征，第二步确定上方直三棱柱的俯视图特征，再结合选项排除不符合的即可。首先，下方长方体从正上方看是大矩形，因此可先排除属于主视图范畴的C、D选项；再看上方的直三棱柱，从上往下观察时，能看到两个相邻的矩形面，中间有公共棱的投影（竖实线），据此排除只有单个小矩形的A选项，就能得到正确答案。
【解析】
俯视图是从几何体正上方观察得到的平面图形：
1. 观察下方的长方体，从正上方看投影为一个大矩形，选项C、D是从正面观察几何体得到的图形，不符合俯视图要求，排除C、D；
2. 观察上方的直三棱柱，从正上方观察时，可看到两个相邻的矩形，中间有竖实线分隔，选项A只有1个小矩形，不符合特征，排除A；
因此只有选项B符合该几何体的俯视图特征。
【答案】
B
【知识点】
1. 俯视图的定义
2. 组合体三视图判断
【点评】
本题考查三视图中俯视图的识别，解题核心是明确观察方向，注意可见的棱需要用实线绘制，属于三视图部分的基础常规题，重点考查学生的空间想象能力。
【难度系数】
0.8

2.若点$A(-1,y_1)$、$B(-2,y_2)$、$C(m,y_3)$在抛物线$y=a(x-1)^2+c$上，且$y_1＜y_2＜y_3$，则$m$的值不可能是（）

A.5
B.$-3$
C.3
D.$-5$

2.C

【分析】
首先根据抛物线顶点式确定对称轴，再计算已知点A、B到对称轴的距离，结合两点函数值的大小关系判断抛物线开口方向；根据开口向上时“点到对称轴距离越远，函数值越大”的性质，结合$y_3＞y_2$的条件推导点C到对称轴的距离要求，解不等式得到m的取值范围，最后对比选项选出不可能的取值。
【解析】
1. 确定抛物线对称轴：抛物线$y=a(x-1)^2+c$的对称轴为直线$x=1$。
2. 计算A、B到对称轴的距离：
点$A(-1,y_1)$到$x=1$的距离为$|-1-1|=2$，点$B(-2,y_2)$到$x=1$的距离为$|-2-1|=3$。
已知$y_1＜y_2$，即距离对称轴更近的点函数值更小，说明抛物线开口向上，开口向上时抛物线上的点到对称轴距离越远，对应函数值越大。
3. 推导m的取值范围：
由$y_2＜y_3$可得，点$C(m,y_3)$到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离3，即$|m-1|＞3$。
解绝对值不等式：
当$m-1＞0$时，$m-1＞3$，得$m＞4$；
当$m-1＜0$时，$-(m-1)＞3$，得$m＜-2$。
因此m的取值范围为$m＞4$或$m＜-2$。
4. 对比选项：
A选项$5＞4$符合，B选项$-3＜-2$符合，C选项3不在取值范围内，D选项$-5＜-2$符合，故m不可能为3。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质，绝对值不等式，二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数图像与性质的应用，解题核心是利用抛物线的对称性，通过点到对称轴的距离判断函数值大小，无需代入计算即可快速推导参数范围。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,D 是边 AB 上一点,过 D 作 $DF⊥ AB$ 交边 BC 于点 E,交 AC 的延长线于点 F,连接 AE.如果 $\tan∠ EAC=\frac{1}{3}$,$S_{△ CEF}=1$,那么 $S_{△ ABC}$ 的值是（）

A.3
B.6
C.9
D.12

3.C

【分析】
首先结合已知的多个直角，通过同角的余角相等推导对应角相等，证明△ABC与△EFC相似；再利用正切的定义求出两个相似三角形的相似比；最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知△CEF的面积计算出△ABC的面积。
【解析】
1. 证明△ABC∽△EFC：
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=∠ACB=90°，可得∠F+∠CEF=90°
∵DF⊥AB，
∴∠BDE=90°，可得∠B+∠BED=90°
又
∵∠BED=∠CEF（对顶角相等）
∴∠B=∠F，结合∠ACB=∠ECF=90°，可证△ABC∽△EFC（AA相似判定）
2. 求相似比：
在Rt△ACE中，∠ACE=90°，$\tan∠EAC=\frac{CE}{AC}=\frac{1}{3}$，即$\frac{AC}{CE}=3$，因此△ABC与△EFC的相似比为3:1
3. 计算$S_{△ABC}$：
相似三角形面积比等于相似比的平方，因此$\frac{S_{△ABC}}{S_{△CEF}}=3^2=9$
已知$S_{△CEF}=1$，代入得$S_{△ABC}=9×1=9$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是通过角的等量关系找到相似三角形，再结合三角函数求出相似比，利用相似三角形面积比的性质即可求解，熟练掌握相关基础知识点就能快速得出答案。
【难度系数】
0.6

4.如图所示为一张矩形纸片$ABCD$，$E$为$AD$的中点，点$F$在边$BC$上，把该纸片沿$EF$折叠，点$A$、$B$的对应点分别为$G$、$H$，$GE$与$BC$交于点$O$，$HG$的延长线过点$C$。若$\frac{BF}{CO}=\frac{2}{3}$，则$\sin∠BCH$的值是（）

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{5}{13}$
C.$\frac{7}{25}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{4}$

4.A

【分析】
这是矩形折叠类的几何计算题，解题思路如下：1. 利用折叠性质得到对应边、对应角相等，结合E是AD中点，推出ED=EG，通过HL证明直角三角形全等得到GC=CD；2. 由AD//BC结合折叠的等角，推出∠OEF=∠OFE，得到OE=OF；3. 设BF=2k，CO=3k，OE=OF=m，用参数表示各边长度；4. 利用△OGC和△FHC相似列方程，求出参数关系，最后在直角三角形FHC中利用三角函数定义求sin∠BCH的值。
【解析】
解：设$BF=2k$，$CO=3k$，$OE=OF=m$。
1. 由折叠性质可得：$BF=FH=2k$，$∠ AEF=∠ GEF$，$∠ A=∠ EGH=∠ B=∠ H=90°$，$AE=EG$，$AB=GH$。
2.
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD// BC$，$AB=CD$，$∠ D=90°$，
∴$∠ AEF=∠ EFO$，即$∠ GEF=∠ EFO$，得$OE=OF=m$。
3.
∵E是AD中点，
∴$AE=ED=EG$，
在$Rt△ EDC$和$Rt△ EGC$中：
$\begin{cases}ED=EG\\EC=EC\end{cases}$
∴$Rt△ EDC≌ Rt△ EGC$（HL），得$GC=CD=AB=GH$，即G为HC中点。
4. $BC=AD=2AE=2(EG)=2(OE+OG)=2(m+OG)$，同时$BC=BF+FO+OC=2k+m+3k=5k+m$，
∴$2(m+OG)=5k+m$，解得$OG=\frac{5k-m}{2}$。
5.
∵$∠ OGC=∠ H=90°$，$∠ OCG=∠ FCH$，
∴$△ OGC∽△ FHC$，
∴$\frac{OG}{FH}=\frac{OC}{FC}$，其中$FC=OC+OF=3k+m$，代入得：
$\frac{\frac{5k-m}{2}}{2k}=\frac{3k}{3k+m}$
交叉相乘化简得：$(5k-m)(3k+m)=12k^2$，
整理得$3k^2+2km-m^2=0$，因式分解得$(3k-m)(k+m)=0$，
∵k、m均为正数，
∴$3k-m=0$，即$m=3k$。
6.
∴$FC=3k+m=6k$，在$Rt△ FHC$中，$∠ H=90°$，
∴$\sin∠ BCH=\frac{FH}{FC}=\frac{2k}{6k}=\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；锐角三角函数
【点评】
本题综合考查了矩形、折叠的性质以及相似三角形、三角函数的应用，解题的关键是合理设参数，利用几何性质找到参数之间的关系，是折叠类典型的综合题型。
【难度系数】
0.6

5 如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD边上两点，$BE=\frac{1}{3}AB$，$AF=\frac{3}{4}AD$，连接AC、EF交于点P。若$△ AEP$的面积为S，则$△ APF$的面积为（）

A.$\frac{3}{2}S$
B.$\frac{7}{5}S$
C.$\frac{9}{8}S$
D.$\frac{6}{7}S$

5.C

【分析】
要求△APF的面积，先观察到△AEP和△APF共顶点A，底边在同一条直线EF上，因此两个三角形的高相等，面积比等于底边长EP与PF的比，故问题转化为求EP:PF的比值。接下来利用平行四边形的性质构造相似三角形：过E作EG//AD交AC于G，先通过△AEG∽△ABC求出EG与AD的比例关系，再通过△EGP∽△FAP得到EP与PF的比值，最后结合已知△AEP的面积为S，即可求出△APF的面积。
【解析】
解：过点E作EG//AD，交AC于点G。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，故EG//BC。
∴△AEG∽△ABC，相似比为$\frac{AE}{AB}$。
∵$BE=\frac{1}{3}AB$，
∴$AE=AB-BE=\frac{2}{3}AB$，即$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{3}$。
∴$\frac{EG}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{3}$，又BC=AD，因此$EG=\frac{2}{3}AD$。
∵$AF=\frac{3}{4}AD$，
∴$\frac{EG}{AF}=\frac{\frac{2}{3}AD}{\frac{3}{4}AD}=\frac{8}{9}$。
∵EG//AD即EG//AF，
∴△EGP∽△FAP，得$\frac{EP}{PF}=\frac{EG}{AF}=\frac{8}{9}$。
∵△AEP和△APF共顶点A，底边EP、PF在同一直线EF上，两三角形高相等，面积比等于底之比，即$\frac{S_{△ AEP}}{S_{△ APF}}=\frac{EP}{PF}=\frac{8}{9}$。
将$S_{△ AEP}=S$代入得$\frac{S}{S_{△ APF}}=\frac{8}{9}$，解得$S_{△ APF}=\frac{9}{8}S$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积比
【点评】
本题是几何比例类面积的典型考题，解题核心是利用共高三角形面积比等于底之比的性质，将面积求解转化为线段比例求解，再通过构造平行线得到相似三角形求出线段比例，解题思路清晰，方法具有通用性。
【难度系数】
0.6