登录
▲6.如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（
A.到CD的距离保持不变
B.位置不变
C.等分$\overset{\frown}{BD}$
D.随C点的移动而移动
（第6题）
B
）A.到CD的距离保持不变
B.位置不变
C.等分$\overset{\frown}{BD}$
D.随C点的移动而移动
（第6题）答案
6.B
解析
【分析】
要判断点P的位置变化情况，我们可以通过作辅助线连接OP，结合圆的性质、角平分线定义逐步推导角的关系，进而得到OP与AB的位置关系：
1. 首先利用圆的半径相等，可得∠OCP=∠OPC；
2. 结合CP是∠OCD的平分线，可推出∠OPC=∠DCP，进而得到OP与CD平行；
3. 再根据CD⊥AB的条件，可推出OP⊥AB，因为AB是固定直径，O为定点，因此过O垂直AB的直线固定，即可判断点P的位置不变。
【解析】
解：连接OP，
∵OC和OP都是⊙O的半径，
∴OC=OP，
∴∠OCP=∠OPC（等边对等角），
∵CP平分∠OCD，
∴∠OCP=∠DCP，
∴∠OPC=∠DCP（等量代换），
∴OP//CD（内错角相等，两直线平行），
又
∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∵AB是⊙O的固定直径，点O是定点，
∴过O且垂直于AB的直线是固定的，该直线与⊙O的交点P的位置固定不变。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质；角平分线的定义；平行线的判定与性质
【点评】
本题是圆与平行线性质结合的常考题型，解题的关键是正确作出辅助线OP，通过角的等量转化得到OP与AB的垂直关系，考察学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要判断点P的位置变化情况，我们可以通过作辅助线连接OP，结合圆的性质、角平分线定义逐步推导角的关系，进而得到OP与AB的位置关系：
1. 首先利用圆的半径相等，可得∠OCP=∠OPC；
2. 结合CP是∠OCD的平分线，可推出∠OPC=∠DCP，进而得到OP与CD平行；
3. 再根据CD⊥AB的条件，可推出OP⊥AB，因为AB是固定直径，O为定点，因此过O垂直AB的直线固定，即可判断点P的位置不变。
【解析】
解：连接OP，
∵OC和OP都是⊙O的半径，
∴OC=OP，
∴∠OCP=∠OPC（等边对等角），
∵CP平分∠OCD，
∴∠OCP=∠DCP，
∴∠OPC=∠DCP（等量代换），
∴OP//CD（内错角相等，两直线平行），
又
∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∵AB是⊙O的固定直径，点O是定点，
∴过O且垂直于AB的直线是固定的，该直线与⊙O的交点P的位置固定不变。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质；角平分线的定义；平行线的判定与性质
【点评】
本题是圆与平行线性质结合的常考题型，解题的关键是正确作出辅助线OP，通过角的等量转化得到OP与AB的垂直关系，考察学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
7.如图，$\odot O$的两条弦$AF$，$BE$的延长线交于$C$点，$∠ ACB$的平分线$CD$过点$O$，请直接写出图中一对相等的线段：
AF=BE 答案不唯一
答案
7.AF=BE 答案不唯一
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：CD是∠ACB的平分线且过圆心O，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们可以过圆心O分别向两条弦AF、BE作垂线，得到两条弦的弦心距，可证这两个弦心距相等；再结合同圆中弦心距与弦的对应关系：同圆内弦心距相等则对应的弦长度相等，即可推出相等的线段，也可进一步推导得到其他相等线段，答案不唯一。
【解析】
过点O作OM⊥AF于点M，ON⊥BE于点N。
∵ CD平分∠ACB，OM⊥AC，ON⊥BC，
∴ 根据角平分线的性质可得OM=ON。
∵ 在同圆$\odot O$中，若两条弦的弦心距相等，则这两条弦的长度相等，
∴ AF=BE。
（也可推导得出AC=BC、CF=CE等，均为正确答案）
【答案】
AF=BE（答案不唯一）
【知识点】
角平分线的性质；弦与弦心距的关系
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，将角平分线的性质和圆中弦长的判定相结合，解题的突破口是作两条弦的弦心距，搭建已知条件和待求结论之间的桥梁，解题时注意答案不唯一，写出符合要求的一对相等线段即可。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：CD是∠ACB的平分线且过圆心O，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们可以过圆心O分别向两条弦AF、BE作垂线，得到两条弦的弦心距，可证这两个弦心距相等；再结合同圆中弦心距与弦的对应关系：同圆内弦心距相等则对应的弦长度相等，即可推出相等的线段，也可进一步推导得到其他相等线段，答案不唯一。
【解析】
过点O作OM⊥AF于点M，ON⊥BE于点N。
∵ CD平分∠ACB，OM⊥AC，ON⊥BC，
∴ 根据角平分线的性质可得OM=ON。
∵ 在同圆$\odot O$中，若两条弦的弦心距相等，则这两条弦的长度相等，
∴ AF=BE。
（也可推导得出AC=BC、CF=CE等，均为正确答案）
【答案】
AF=BE（答案不唯一）
【知识点】
角平分线的性质；弦与弦心距的关系
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，将角平分线的性质和圆中弦长的判定相结合，解题的突破口是作两条弦的弦心距，搭建已知条件和待求结论之间的桥梁，解题时注意答案不唯一，写出符合要求的一对相等线段即可。
【难度系数】
0.8
8.如图，已知$\odot O$的弦$AB$，$E,F$是$\overset{\frown}{AB}$上两点，且$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$，$OE,OF$分别交$AB$于点$C,D$。求证：$AC=BD$。
答案
证明：连接OA，OB。
∵ OA=OB，
∴ ∠A = ∠B。
∵ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$，
∴ ∠AOC = ∠BOD。
在△OAC和△OBD中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠B \\OA=OB \\∠AOC=∠BOD\end{array} $
∴ △OAC ≌ △OBD（ASA）
∴ AC=BD。
∵ OA=OB，
∴ ∠A = ∠B。
∵ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$，
∴ ∠AOC = ∠BOD。
在△OAC和△OBD中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠B \\OA=OB \\∠AOC=∠BOD\end{array} $
∴ △OAC ≌ △OBD（ASA）
∴ AC=BD。
解析
【分析】
要证明$AC=BD$，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先连接$OA$、$OB$，利用圆的半径相等可得$OA=OB$，推出等腰三角形底角$∠ A=∠ B$；再根据同圆中相等的弧对应相等的圆心角，由$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$得到$∠ AOC=∠ BOD$，即可通过ASA判定$△ OAC$和$△ OBD$全等，进而得到对应边相等。
【解析】
证明：连接$OA$，$OB$。
∵ $OA$、$OB$均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠ A = ∠ B$。
∵ 同圆中相等的弧所对的圆心角相等，且$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOD$。
在$△ OAC$和$△ OBD$中，
$\begin{cases}∠A=∠B \\OA=OB \\∠AOC=∠BOD\end{cases}$
∴ $△ OAC ≌ △ OBD$（ASA）
∴ $AC=BD$。
【答案】
$AC=BD$，证明过程如上。
【知识点】
圆心角与弧的关系；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基本性质与三角形全等结合的基础题，解题的关键是通过连接半径构造等腰三角形和全等三角形，熟练掌握同圆中弧与圆心角的对应关系是解题的前提。
【难度系数】
0.8
要证明$AC=BD$，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先连接$OA$、$OB$，利用圆的半径相等可得$OA=OB$，推出等腰三角形底角$∠ A=∠ B$；再根据同圆中相等的弧对应相等的圆心角，由$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$得到$∠ AOC=∠ BOD$，即可通过ASA判定$△ OAC$和$△ OBD$全等，进而得到对应边相等。
【解析】
证明：连接$OA$，$OB$。
∵ $OA$、$OB$均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠ A = ∠ B$。
∵ 同圆中相等的弧所对的圆心角相等，且$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOD$。
在$△ OAC$和$△ OBD$中，
$\begin{cases}∠A=∠B \\OA=OB \\∠AOC=∠BOD\end{cases}$
∴ $△ OAC ≌ △ OBD$（ASA）
∴ $AC=BD$。
【答案】
$AC=BD$，证明过程如上。
【知识点】
圆心角与弧的关系；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基本性质与三角形全等结合的基础题，解题的关键是通过连接半径构造等腰三角形和全等三角形，熟练掌握同圆中弧与圆心角的对应关系是解题的前提。
【难度系数】
0.8
▲9.如图，A，B，C是$\odot O$上三点，$∠ AOB=120°$，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由.
答案
9.四边形OACB 为菱形，证明略
解析
【分析】要判断四边形OACB的形状，可从边的数量关系入手分析：首先同圆的半径相等，可得OA=OB=OC；再结合C是弧AB的中点，根据弧与圆心角的对应关系，可推出∠AOC=∠BOC，结合已知∠AOB=120°，得到两个60°的圆心角，进而证明△AOC和△BOC都是等边三角形，最终得到四边形四条边相等，即可判断形状。
【解析】四边形OACB是菱形，理由如下：
连接OC，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ AOC=∠ BOC$（等弧所对的圆心角相等），
∵$∠ AOB=120°$，
∴$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，
又
∵OA、OC、OB都是$\odot O$的半径，
∴OA=OC=OB，
∴$△ AOC$和$△ BOC$都是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴OA=AC，OB=BC，
∴OA=AC=BC=OB，
∴四边形OACB是菱形（四条边相等的四边形是菱形）。
【答案】四边形OACB是菱形
【知识点】圆心角定理；等边三角形判定；菱形判定
【点评】本题是圆的性质与特殊四边形判定的综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线OC，利用弧中点的性质得到等角，进而通过等边三角形得到四边相等的结论。
【难度系数】0.7
【解析】四边形OACB是菱形，理由如下：
连接OC，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ AOC=∠ BOC$（等弧所对的圆心角相等），
∵$∠ AOB=120°$，
∴$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，
又
∵OA、OC、OB都是$\odot O$的半径，
∴OA=OC=OB，
∴$△ AOC$和$△ BOC$都是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴OA=AC，OB=BC，
∴OA=AC=BC=OB，
∴四边形OACB是菱形（四条边相等的四边形是菱形）。
【答案】四边形OACB是菱形
【知识点】圆心角定理；等边三角形判定；菱形判定
【点评】本题是圆的性质与特殊四边形判定的综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线OC，利用弧中点的性质得到等角，进而通过等边三角形得到四边相等的结论。
【难度系数】0.7
