1. （2026·杭州月考）如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形。
(1)观察发现:如图①,若点B,C,E在同一条直线上,P为线段AE,BD的交点,则线段AE与BD之间的数量关系为;∠APB=.
(2)如图②,若点B,C,E在同一条直线上,F为线段BD,AC的交点,H为线段AE,CD的交点,连结FH,猜想FH与BE的位置关系,并证明.
(3)深入探究:如图③,若点B,C,E不在同一条直线上,P为线段AE,BD的交点.(1)中的结论仍成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(4)在(3)的基础上连结CP,求证:PC平分∠BPE.

1. (1)AE=BD 60° 解析:
∵ △ABC 和△DCE 都是等边三角形,
∴ AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.
∵ ∠ACB+∠ACD=∠DCE+ ∠ACD,
∴ ∠BCD = ∠ACE. 在 △ACE 和 △BCD 中,
$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ACE=∠BCD,\\ CE=CD, \end{cases}$
∴ △ACE≌△BCD(SAS),
∴ AE=BD,∠EAC=∠DBC,
∴ ∠APB = 180°-∠BAP-∠ABP = 180°-∠BAC-∠CAE-∠ABP=180°-∠BAC-∠CBD-∠ABP=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°.
(2)FH//BE.证明如下:
∵ △ABC 和△DCE 都是等边三角形,
∴ AC = BC, CD = CE, ∠ACB = ∠DCE = ∠ACD = 60°.
∵ ∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
∴ ∠BCD=∠ACE.在△ACE 和△BCD中,$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ACE=∠BCD,\\ CE=CD, \end{cases}$
∴ △ACE ≌ △BCD (SAS),
∴ ∠CAE = ∠CBD.在△CAH 和△CBF 中,$\begin{cases} ∠CAH=∠CBF,\\ AC=BC,\\ ∠ACH=∠BCF=60°, \end{cases}$
∴ △CAH≌△CBF(ASA),
∴ CH=CF.
∵ ∠FCH=60°,
∴ △CFH 为等边三角形,
∴ ∠CHF=60°,
∴ ∠DCE=∠CHF,
∴ FH//BE.
(3)成立.设 BD 与 AC 交于点 O.
∵ △ABC 和△DCE 都是等边三角形,
∴ AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴ ∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△BCD 和△ACE中,$\begin{cases} BC=AC,\\ ∠BCD=∠ACE,\\ CD=CE, \end{cases}$
∴ △BCD≌△ACE(SAS),
∴ BD = AE,∠CBD=∠CAE.
∵ ∠APB=180°-∠CAE-∠AOP,∠ACB=180°-∠CBD-∠BOC,∠AOP=∠BOC,
∴ ∠APB=∠ACB=60°.
(4)连结 CP,过点 C 作 CM ⊥ BD,CN ⊥ AE,垂足分别为 M,N,如图. 由(3)得△BCD ≌ △ACE,
∴ BD = AE, $S_{△BCD}=S_{△ACE}$,
∴ $\frac{1}{2}BD·CM=\frac{1}{2}AE·CN$,
∴ CM=CN,
∴ PC 平分∠BPE.

2. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$BC$上,连结$AD$,以$AD$为直角边向右作$\mathrm{Rt}△ ADE$,$∠ ADE=90°$,$∠ BAC+2∠ DEA=180°$,$AE$与$BC$交于点$F$.
(1)如图①,若$∠ ABC=∠ ACB=45°$,$∠ ADF=∠ AFD$,求$∠ CAD$的度数;
(2)如图②,过点$D$作$DM⊥ AC$于点$M$,点$N$为边$AB$上一点,过点$N$作$NP⊥ AB$交$AE$于点$P$,连结$DP$,若$AM=AN$,求证:$DM+PN=DP$;
(3)如图③,点$G$为边$BC$上一点,点$D$为$CG$的中点,连结$BE$,$GE$,若$AB=AC$,求证:$BE=EG$.

2. (1)
∵ ∠ABC=∠ACB=45°,
∴ ∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°.
∵ ∠BAC+2∠DEA=180°,
∴ ∠DEA=45°.在 Rt△ADE 中,∠ADE=90°,则∠DAE=90°-∠DEA=45°,
∴ ∠ADF=∠AFD=$\frac{180°-∠DAE}{2}$=67.5°,
∴ ∠CAD=∠ADF-∠ACB=22.5°.
(2)延长 DM 至点 H,使得 MH=PN,连结 AH,如图所示. 在 Rt△ADE 中,∠ADE=90°,
∴ ∠DAE+∠DEA=90°.
∵ ∠BAC+2∠DEA=180°,
∴ ∠BAC+2(90°-∠DAE)=180°, 则 ∠BAC = 2∠DAE.
∵ DM ⊥ AC, NP ⊥ AB,
∴ ∠AMH=∠ANP=90°.在△AMH 和△ANP 中,$\begin{cases} AM=AN,\\ ∠AMH=∠ANP=90°,\\ MH=PN, \end{cases}$
∴ △AMH≌△ANP(SAS),
∴ AH=AP,∠PAN=∠HAM.
∵ ∠BAC=2∠DAE=∠DAE+(∠DAM+∠BAE),
∴ ∠DAE=∠DAM+∠BAE=∠DAM+∠HAM=∠DAH.在△ADP 和△ADH 中,$\begin{cases} AP=AH,\\ ∠DAP=∠DAH,\\ AD=AD, \end{cases}$
∴ △ADP≌△ADH(SAS),
∴ DP=DH.
∵ DH=DM+MH,MH=PN,
∴ DM+PN=DP.
(3)延长 ED 至点 R,使得 DR=DE,连结 AR,CR,如图所示.
在 Rt△ADE 中,∠ADE=90°,则∠DAE+∠DEA=90°,且∠ADR=90°,
∵ ∠BAC+2∠DEA=180°,
∴ ∠BAC+2(90°-∠DAE)=180°, 则 ∠BAC = 2 ∠DAE. 在 △ADE 和 △ADR 中,$\begin{cases} AD=AD,\\ ∠ADE=∠ADR=90°,\\ DE=DR, \end{cases}$
∴ △ADE≌△ADR(SAS),
∴ AR=AE,∠DAR=∠DAE.
∵ 点 D 为 CG 的中点,
∴ DC=DG.在△DCR 和△DGE 中,$\begin{cases} DR=DE,\\ ∠CDR=∠GDE,\\ DC=DG, \end{cases}$
∴ △CDR≌△GDE(SAS),
∴ CR=GE.
∵ ∠BAC=2∠DAE=∠DAE+(∠DAC+∠BAE),
∴ ∠DAR=∠DAE=∠DAC+∠BAE.
∵ ∠DAR=∠DAC+∠CAR,
∴ ∠BAE=∠CAR. 在 △ACR 和 △ABE 中,$\begin{cases} AR=AE,\\ ∠RAC=∠EAB,\\ AC=AB, \end{cases}$
∴ △ACR≌△ABE(SAS),
∴ CR=BE.
∵ CR=GE,
∴ BE=EG.