下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是,写出函数表达式,这些函数表达式有哪些共同特征?
(1) 圆的周长$ l $随半径$ r $的变化而变化；
(2) 一种计算成年人标准体重$ G $ kg 的方法是:以厘米为单位量出身高值$ h $,再减常数105,所得差就是$ G $的值；
(3) 某城市的固定电话的月收费用$ y $元包括月租费22元和拨打电话$ x $ min 的计时费(按0.1元/min收取)；
(4) 把一个长为10 cm、宽为5 cm 的长方形的长减少$ x $ cm,宽不变,长方形的面积$ y $ $ \mathrm{cm}^2 $随$ x $的变化而变化。

解：
以上问题中的变量对应关系都是函数关系。
(1) 函数表达式为 $l=2π r\ (r＞0)$
(2) 函数表达式为 $G=h-105\ (h＞105)$
(3) 函数表达式为 $y=0.1x+22\ (x\ge0)$
(4) 变化后的长方形长为$(10-x)\ \mathrm{cm}$，函数表达式为 $y=-5x+50\ (0\le x＜10)$
共同特征：这些函数表达式都是整式，自变量的次数都为1，都可以写成$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne0$）的形式。

【分析】
首先根据函数的定义判断变量对应关系是否为函数：在一个变化过程中，给定一个自变量的确定值，若有唯一的因变量值与之对应，就构成函数关系，本题4个问题均满足该条件，因此都是函数关系。接下来分别推导各题的函数表达式：(1)直接套用圆的周长公式列式；(2)根据题目给出的体重计算规则直接列式；(3)按照“月收费=月租费+计时费”的等量关系列式化简；(4)先表示出长减少后的长度，再套用长方形面积公式列式化简。最后从表达式的类型、自变量的次数、通用表达形式三个角度归纳几个式子的共同特征即可。
【解析】
解：以上问题中的变量对应关系都是函数关系，因为每个问题中给定自变量的一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义。
(1) 根据圆的周长公式，可得函数表达式为 $l=2π r\ (r＞0)$；
(2) 根据题意，标准体重为身高值减去105，可得函数表达式为 $G=h-105\ (h＞105)$；
(3) 月收费=月租费+拨打$x$分钟的计时费，代入数据可得函数表达式为 $y=0.1x+22\ (x≥0)$；
(4) 长减少$x$ cm后长度为$(10-x)\ \mathrm{cm}$，结合长方形面积=长×宽，可得$y=5(10-x)$，化简得函数表达式为 $y=-5x+50\ (0≤ x＜10)$；
共同特征：这些函数表达式都是整式，自变量的次数都为1，都可以写成$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne0$）的形式。
【答案】
以上问题中的变量对应关系都是函数关系。
(1) 函数表达式为 $l=2π r\ (r＞0)$
(2) 函数表达式为 $G=h-105\ (h＞105)$
(3) 函数表达式为 $y=0.1x+22\ (x\ge0)$
(4) 函数表达式为 $y=-5x+50\ (0\le x＜10)$
共同特征：这些函数表达式都是整式，自变量的次数都为1，都可以写成$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne0$）的形式。
【知识点】
1.函数的定义
2.列函数解析式
3.一次函数的特征
【点评】
本题结合多个生活实际场景，既考查了函数关系的判断方法，又锻炼了从实际问题中抽象出数量关系、列写函数表达式的能力，同时能帮助学生直观理解一次函数的基本形式，是巩固函数基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.85

例 如图5-3，$△ ABC$是边长为$x$的等边三角形.
(1) 求边$BC$上的高$h$关于$x$的函数表达式，$h$是$x$的一次函数吗？如果是一次函数，写出相应的$k$和$b$的值.
(2) 当$h=\sqrt{3}$时，求$x$的值.
(3) 求$△ ABC$的面积$S$关于$x$的函数表达式，$S$是$x$的一次函数吗？

解：
(1) 由等边三角形的性质可知，边BC上的高AD平分BC，即$BD=\frac{x}{2}$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$h^2 + (\frac{x}{2})^2 = x^2$
整理得$h^2=\frac{3}{4}x^2$，结合$h＞0$，$x＞0$，可得$h=\frac{\sqrt{3}}{2}x\ (x＞0)$。
$h$是$x$的一次函数，相应的$k=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$b=0$。
(2) 把$h=\sqrt{3}$代入$h=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，得：
$\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$
解得$x=2$。
(3) 由三角形面积公式得$S=\frac{1}{2}· x· h$，将$h=\frac{\sqrt{3}}{2}x$代入，得：
$S=\frac{1}{2}· x· \frac{\sqrt{3}}{2}x=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2\ (x＞0)$。
$S$不是$x$的一次函数。

【分析】
(1) 求解边BC上的高h时，首先利用等边三角形“三线合一”的性质，可得高AD平分BC，得到$BD=\frac{x}{2}$；再在$Rt△ABD$中用勾股定理建立h和x的等量关系，整理得到h的表达式后，对照一次函数$y=kx+b(k≠0)$的定义即可判断并确定k、b的值，注意边长x为正数，要标注自变量取值范围。
(2) 求h=√3时x的值，直接将h的数值代入第一问得到的函数表达式，解一元一次方程即可。
(3) 求面积S关于x的函数式，利用三角形面积公式“$S=\frac{1}{2}×底×高$”，将底BC=x、高h的表达式代入即可得到S的表达式，再根据一次函数的定义（自变量最高次数为1）判断S是否为一次函数。
【解析】
(1)
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，由等边三角形三线合一的性质可知AD平分BC，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{x}{2}$。
在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：$AD^2+BD^2=AB^2$，即$h^2+(\frac{x}{2})^2=x^2$，
整理得$h^2=\frac{3}{4}x^2$，结合$h＞0,x＞0$，可得$h=\frac{\sqrt{3}}{2}x\ (x＞0)$。
该表达式符合一次函数$y=kx+b(k≠0)$的形式，因此h是x的一次函数，其中$k=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$b=0$。
(2) 将$h=\sqrt{3}$代入$h=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，得：
$\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
两边同时除以$\sqrt{3}$得$1=\frac{x}{2}$，解得$x=2$。
(3) 由三角形面积公式得$S=\frac{1}{2}·BC·h$，将$BC=x$，$h=\frac{\sqrt{3}}{2}x$代入得：
$S=\frac{1}{2}·x·\frac{\sqrt{3}}{2}x=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2\ (x＞0)$。
一次函数要求自变量的最高次数为1，该表达式中x的最高次数为2，因此S不是x的一次函数。
【答案】
(1) $h=\frac{\sqrt{3}}{2}x\ (x＞0)$，是一次函数，$k=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$b=0$；
(2) $x=2$；
(3) $S=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2\ (x＞0)$，不是一次函数。
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，一次函数的概念
【点评】
本题是几何与函数的基础综合题，核心是结合几何性质推导函数表达式，再根据一次函数的定义判断函数类型，解题时要注意自变量的实际意义，准确标注取值范围，判断一次函数时需紧扣“自变量最高次数为1、一次项系数不为0”的特征。
【难度系数】
0.8