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2. 如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫作齐次多项式.如：$x^3 + 3xy^2 + 4xyz + 2y^3$是3次齐次多项式.若$a^{x+3}b - 6ab^3c^2$是齐次多项式，则x的值为 （）
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
D
解析
先计算多项式第二项$-6ab^3c^2$的次数：单项式的次数为所有字母的指数之和，可得该项次数为$1+3+2=6$。根据齐次多项式的定义，第一项$a^{x+3}b$的次数也等于6，列方程得：$(x+3)+1=6$，解得$x=2$。
3. 多项式$a^3 + 2ab - 3a -1$是次项式。
答案
三；四
解析
解：
多项式的各项分别为$a^3$、$2ab$、$-3a$、$-1$，共4项；
各项的次数依次为3、2、1、0，次数最高的项的次数为3。
因此该多项式是三次四项式。
多项式的各项分别为$a^3$、$2ab$、$-3a$、$-1$，共4项；
各项的次数依次为3、2、1、0，次数最高的项的次数为3。
因此该多项式是三次四项式。
4. 将多项式 $x^3 - y^2 + 2x^2y - 6xy$ 按字母x降幂排列，结果是。
答案
解：
多项式各项中字母$x$的次数分别为：
$x^3$中$x$的次数为3，
$2x^2y$中$x$的次数为2，
$-6xy$中$x$的次数为1，
$-y^2$中$x$的次数为0，
按字母$x$降幂排列，结果是$x^3 + 2x^2y - 6xy - y^2$。
多项式各项中字母$x$的次数分别为：
$x^3$中$x$的次数为3，
$2x^2y$中$x$的次数为2，
$-6xy$中$x$的次数为1，
$-y^2$中$x$的次数为0，
按字母$x$降幂排列，结果是$x^3 + 2x^2y - 6xy - y^2$。
5. 按要求填表：
| 多项式 | 次数 | 项数 | 最高次项 | 常数项 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $3-2x$ | | | | |
| $x-3x^2-1$ | |
| | |
| $-2a^3b+\frac{1}{3}ab-b^3+5$ | | | | |
| 多项式 | 次数 | 项数 | 最高次项 | 常数项 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $3-2x$ | | | | |
| $x-3x^2-1$ | |
| | || $-2a^3b+\frac{1}{3}ab-b^3+5$ | | | | |
答案
解：
| 多项式 | 次数 | 项数 | 最高次项 | 常数项 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $3-2x$ | 1 | 2 | $-2x$ | $3$ |
| $x-3x^2-1$ | 2 | 3 | $-3x^2$ | $-1$ |
| $-2a^3b+\frac{1}{3}ab-b^3+5$ | 4 | 4 | $-2a^3b$ | $5$ |
| 多项式 | 次数 | 项数 | 最高次项 | 常数项 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $3-2x$ | 1 | 2 | $-2x$ | $3$ |
| $x-3x^2-1$ | 2 | 3 | $-3x^2$ | $-1$ |
| $-2a^3b+\frac{1}{3}ab-b^3+5$ | 4 | 4 | $-2a^3b$ | $5$ |
6. 已知多项式$-\dfrac{1}{2}x^2y+\dfrac{3}{5}x^3y^2+6-x$，请把这个多项式按$x$降幂排列，并指出该多项式是几次几项式，再写出它的三次项、一次项和常数项。
答案
解：
按$x$降幂排列为：$\dfrac{3}{5}x^3y^2 - \dfrac{1}{2}x^2y - x + 6$
该多项式是五次四项式。
它的三次项是$-\dfrac{1}{2}x^2y$，一次项是$-x$，常数项是$6$。
按$x$降幂排列为：$\dfrac{3}{5}x^3y^2 - \dfrac{1}{2}x^2y - x + 6$
该多项式是五次四项式。
它的三次项是$-\dfrac{1}{2}x^2y$，一次项是$-x$，常数项是$6$。
7. 已知多项式$(3+b)x^5 + x^a + x -6$是关于$x$的二次三项式，求$a^2 - b^2$的值.
答案
解：
因为多项式$(3+b)x^5 + x^a + x -6$是关于$x$的二次三项式，
所以五次项的系数为0，且多项式的最高次数为2，可得：
$3 + b = 0$，$a = 2$
解得$b = -3$
将$a=2$，$b=-3$代入$a^2 - b^2$：
$a^2 - b^2 = 2^2 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5$
因为多项式$(3+b)x^5 + x^a + x -6$是关于$x$的二次三项式，
所以五次项的系数为0，且多项式的最高次数为2，可得：
$3 + b = 0$，$a = 2$
解得$b = -3$
将$a=2$，$b=-3$代入$a^2 - b^2$：
$a^2 - b^2 = 2^2 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5$
8. 若代数式$(k-2)x^{|k|}y$是关于$x,y$的3次单项式，求$k$的值.
答案
解：
因为代数式$(k-2)x^{|k|}y$是关于$x,y$的3次单项式，
所以该单项式的系数不为0，且所有字母的指数和为3，
可得：
$\begin{cases}|k| + 1 = 3 \\k - 2 ≠ 0\end{cases}$
由$|k|+1=3$，得$|k|=2$，即$k=\pm2$，
由$k-2≠0$，得$k≠2$，
所以$k=-2$。
因为代数式$(k-2)x^{|k|}y$是关于$x,y$的3次单项式，
所以该单项式的系数不为0，且所有字母的指数和为3，
可得：
$\begin{cases}|k| + 1 = 3 \\k - 2 ≠ 0\end{cases}$
由$|k|+1=3$，得$|k|=2$，即$k=\pm2$，
由$k-2≠0$，得$k≠2$，
所以$k=-2$。
