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已知关于$x$的方程$(x-1)(x-2)-p^2=0$，求证：无论$p$为何值，方程总有两个不相等的实数根。
证明 因为关于$x$的方程$(x-1)(x-2)-p^2=0$，
所以$x^2 -3x +2 -p^2=0$。
所以$\Delta=1+4p^2＞0$。
所以无论$p$为何值，方程总有两个不相等的实数根。
证明 因为关于$x$的方程$(x-1)(x-2)-p^2=0$，
所以$x^2 -3x +2 -p^2=0$。
所以$\Delta=1+4p^2＞0$。
所以无论$p$为何值，方程总有两个不相等的实数根。
答案
证明：
将原方程展开并整理，得
$x^2 - 3x + 2 - p^2 = 0$
这里二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2-p^2$，
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac$
$= (-3)^2 - 4×1×(2-p^2)$
$= 9 - 8 + 4p^2$
$= 1 + 4p^2$
∵ 无论p取何实数，都有$p^2 \ge 0$，
∴ $4p^2 \ge 0$，
∴ $1 + 4p^2 \ge 1 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$恒成立，
∴ 无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根。
将原方程展开并整理，得
$x^2 - 3x + 2 - p^2 = 0$
这里二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2-p^2$，
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac$
$= (-3)^2 - 4×1×(2-p^2)$
$= 9 - 8 + 4p^2$
$= 1 + 4p^2$
∵ 无论p取何实数，都有$p^2 \ge 0$，
∴ $4p^2 \ge 0$，
∴ $1 + 4p^2 \ge 1 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$恒成立，
∴ 无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根。
解析
【分析】
要证明无论p取何值时方程总有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式的性质：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。因此首先将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式，确定各项系数后代入判别式公式计算，再结合平方的非负性判断判别式恒大于0，即可得证。
【解析】
将原方程展开并整理，得
$x^2 - 3x + 2 - p^2 = 0$
这里二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2-p^2$，
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac$
$= (-3)^2 - 4×1×(2-p^2)$
$= 9 - 8 + 4p^2$
$= 1 + 4p^2$
∵ 无论p取何实数，都有$p^2 \ge 0$，
∴ $4p^2 \ge 0$，
∴ $1 + 4p^2 \ge 1 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$恒成立，
∴ 无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
证明：
将原方程展开并整理，得
$x^2 - 3x + 2 - p^2 = 0$
这里二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2-p^2$，
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac$
$= (-3)^2 - 4×1×(2-p^2)$
$= 9 - 8 + 4p^2$
$= 1 + 4p^2$
∵ 无论p取何实数，都有$p^2 \ge 0$，
∴ $4p^2 \ge 0$，
∴ $1 + 4p^2 \ge 1 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$恒成立，
∴ 无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根。
【知识点】
1. 根的判别式
2. 平方的非负性
3. 一元二次方程化简
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的典型应用题型，解题核心是通过计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号，属于常规基础题，掌握判别式与根的对应关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明无论p取何值时方程总有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式的性质：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。因此首先将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式，确定各项系数后代入判别式公式计算，再结合平方的非负性判断判别式恒大于0，即可得证。
【解析】
将原方程展开并整理，得
$x^2 - 3x + 2 - p^2 = 0$
这里二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2-p^2$，
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac$
$= (-3)^2 - 4×1×(2-p^2)$
$= 9 - 8 + 4p^2$
$= 1 + 4p^2$
∵ 无论p取何实数，都有$p^2 \ge 0$，
∴ $4p^2 \ge 0$，
∴ $1 + 4p^2 \ge 1 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$恒成立，
∴ 无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
证明：
将原方程展开并整理，得
$x^2 - 3x + 2 - p^2 = 0$
这里二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2-p^2$，
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac$
$= (-3)^2 - 4×1×(2-p^2)$
$= 9 - 8 + 4p^2$
$= 1 + 4p^2$
∵ 无论p取何实数，都有$p^2 \ge 0$，
∴ $4p^2 \ge 0$，
∴ $1 + 4p^2 \ge 1 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$恒成立，
∴ 无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根。
【知识点】
1. 根的判别式
2. 平方的非负性
3. 一元二次方程化简
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的典型应用题型，解题核心是通过计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号，属于常规基础题，掌握判别式与根的对应关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
3. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + 2mx + m^2 - 2 = 0 $。
（1）求证：无论 $ m $ 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为 1，求 $ 2m^2 + 4m + 525 $ 的值。
（1）求证：无论 $ m $ 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为 1，求 $ 2m^2 + 4m + 525 $ 的值。
答案
(1) 证明 由题意，得 $\Delta = (2m)^2 - 4(m^2 - 2) = 4m^2 - 4m^2 + 8 = 8 ＞ 0$。
所以无论 $m$ 取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解 由条件可知 $1^2 + 2m + m^2 - 2 = 0$。所以 $m^2 + 2m = 1$。所以 $2m^2 + 4m + 525 = 2(m^2 + 2m) + 525 = 2×1 + 525 = 527$。
所以无论 $m$ 取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解 由条件可知 $1^2 + 2m + m^2 - 2 = 0$。所以 $m^2 + 2m = 1$。所以 $2m^2 + 4m + 525 = 2(m^2 + 2m) + 525 = 2×1 + 525 = 527$。
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程无论m取何值都有两个不相等的实数根，核心思路是验证根的判别式Δ恒大于0：先根据一元二次方程的系数写出Δ的表达式，再化简判断Δ的符号即可。（2）已知方程的根，可先将根代入原方程得到关于m的等量关系，观察所求代数式的结构，可通过整体代换的方法计算，无需解出m的具体值，能简化运算。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - 2 = 0$，
根的判别式$\Delta = (2m)^2 - 4×1×(m^2 - 2) = 4m^2 - 4m^2 + 8 = 8$，
∵$8＞0$恒成立，
∴无论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：
∵方程有一个根为1，将$x=1$代入原方程得：
$1^2 + 2m×1 + m^2 - 2 = 0$，
整理得$m^2 + 2m = 1$，
对所求代数式变形可得：
$2m^2 + 4m + 525 = 2(m^2 + 2m) + 525$，
将$m^2 + 2m = 1$代入得：
原式$=2×1 + 525 = 527$。
【答案】
（1）证明成立，无论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）$\boxed{527}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，重点考察核心基础知识点的应用，第二问的整体代入思想是代数求值类问题的常用技巧，熟练掌握可大幅提升解题效率，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.85
（1）要证明一元二次方程无论m取何值都有两个不相等的实数根，核心思路是验证根的判别式Δ恒大于0：先根据一元二次方程的系数写出Δ的表达式，再化简判断Δ的符号即可。（2）已知方程的根，可先将根代入原方程得到关于m的等量关系，观察所求代数式的结构，可通过整体代换的方法计算，无需解出m的具体值，能简化运算。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - 2 = 0$，
根的判别式$\Delta = (2m)^2 - 4×1×(m^2 - 2) = 4m^2 - 4m^2 + 8 = 8$，
∵$8＞0$恒成立，
∴无论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：
∵方程有一个根为1，将$x=1$代入原方程得：
$1^2 + 2m×1 + m^2 - 2 = 0$，
整理得$m^2 + 2m = 1$，
对所求代数式变形可得：
$2m^2 + 4m + 525 = 2(m^2 + 2m) + 525$，
将$m^2 + 2m = 1$代入得：
原式$=2×1 + 525 = 527$。
【答案】
（1）证明成立，无论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）$\boxed{527}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，重点考察核心基础知识点的应用，第二问的整体代入思想是代数求值类问题的常用技巧，熟练掌握可大幅提升解题效率，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.85
若关于$x$的一元二次方程$(m - 3)x^2 + 6x + 3 = 0$有两个实数根，则$m$的取值范围是（）
A.$m＞6$
B.$m≤6$，且$m≠3$
C.$m≥6$
D.$m＜6$，且$m≠3$
解析 由题意，得$\Delta = 36 - 4(m - 3)×3≥0$，且$m - 3≠0$。
所以$m≤6$，且$m≠3$。
答案 B
A.$m＞6$
B.$m≤6$，且$m≠3$
C.$m≥6$
D.$m＜6$，且$m≠3$
解析 由题意，得$\Delta = 36 - 4(m - 3)×3≥0$，且$m - 3≠0$。
所以$m≤6$，且$m≠3$。
答案 B
答案
B
解析
【分析】
解决这道题需要同时考虑两个限制条件：首先题目明确是一元二次方程，因此必须满足一元二次方程的定义，即二次项系数不为0；其次方程有两个实数根，说明根的判别式大于或等于0。分别根据两个条件列出不等式，求解后取公共范围即可得到m的取值。
【解析】
解：
∵ 方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-3≠0$，解得$m≠3$
∵ 方程有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，其中$a=m-3$，$b=6$，$c=3$
代入得：$\Delta = 6^2 - 4×(m-3)×3 ≥0$
计算化简：
$36 - 12(m-3)≥0$
$36 -12m +36≥0$
$72 -12m≥0$
移项得$12m≤72$，解得$m≤6$
综上，m的取值范围是$m≤6$且$m≠3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程参数取值类的基础题型，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅根据判别式求解导致错选。解题时需注意先明确方程的类型，再结合根的情况列不等式求解。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要同时考虑两个限制条件：首先题目明确是一元二次方程，因此必须满足一元二次方程的定义，即二次项系数不为0；其次方程有两个实数根，说明根的判别式大于或等于0。分别根据两个条件列出不等式，求解后取公共范围即可得到m的取值。
【解析】
解：
∵ 方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-3≠0$，解得$m≠3$
∵ 方程有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，其中$a=m-3$，$b=6$，$c=3$
代入得：$\Delta = 6^2 - 4×(m-3)×3 ≥0$
计算化简：
$36 - 12(m-3)≥0$
$36 -12m +36≥0$
$72 -12m≥0$
移项得$12m≤72$，解得$m≤6$
综上，m的取值范围是$m≤6$且$m≠3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程参数取值类的基础题型，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅根据判别式求解导致错选。解题时需注意先明确方程的类型，再结合根的情况列不等式求解。
【难度系数】
0.7
4. 若关于x的一元二次方程$ax^2 + 2x +1=0$有两个相等的实数根，则实数a的值为（
A.$-4$
B.$-1$
C.$1$
D.$4$
C
）A.$-4$
B.$-1$
C.$1$
D.$4$
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先结合一元二次方程的定义，明确二次项系数a不能为0；再根据一元二次方程有两个相等的实数根的判定条件：根的判别式Δ=0，将方程对应系数代入判别式公式列出关于a的方程，求解即可得到a的值，最后验证a是否满足二次项系数不为0的要求即可。
【解析】
∵ 方程$ax^2 + 2x +1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a≠ 0$
∵ 一元二次方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac=0$
在方程$ax^2 + 2x +1=0$中，$b=2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = 2^2 -4× a × 1 = 4-4a=0$
解得$a=1$，符合$a≠ 0$的要求。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础类题型，解题时需要注意一元二次方程的二次项系数不为0是隐含前提，熟练掌握根的判别式对应根的不同情况是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合一元二次方程的定义，明确二次项系数a不能为0；再根据一元二次方程有两个相等的实数根的判定条件：根的判别式Δ=0，将方程对应系数代入判别式公式列出关于a的方程，求解即可得到a的值，最后验证a是否满足二次项系数不为0的要求即可。
【解析】
∵ 方程$ax^2 + 2x +1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a≠ 0$
∵ 一元二次方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac=0$
在方程$ax^2 + 2x +1=0$中，$b=2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = 2^2 -4× a × 1 = 4-4a=0$
解得$a=1$，符合$a≠ 0$的要求。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础类题型，解题时需要注意一元二次方程的二次项系数不为0是隐含前提，熟练掌握根的判别式对应根的不同情况是解题的关键。
【难度系数】
0.8
