登录
若关于$x$的方程$x^2 + mx -6=0$有一个根为2，则另一个根为（）
A.$-2$
B.$2$
C.$4$
D.$-3$
解析 设方程的另一个根为$α$，
根据根与系数的关系，
得$2α = -6$，
所以$α = -3$。
答案 D
A.$-2$
B.$2$
C.$4$
D.$-3$
解析 设方程的另一个根为$α$，
根据根与系数的关系，
得$2α = -6$，
所以$α = -3$。
答案 D
答案
D
解析
【分析】
本题是已知一元二次方程的一个根求另一个根的问题，有两种解题思路：一是将已知根x=2代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根，该方法步骤较多计算量稍大；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，对于形如$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一元二次方程，两根之积等于$\frac{c}{a}$，本题二次项系数$a=1$，常数项$c=-6$，因此两根乘积为$-6$，直接用乘积除以已知根2即可快速得到另一个根，该方法更简便。
【解析】
设方程的另一个根为$α$，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项与二次项系数的商，可得：
$2α = \frac{-6}{1} = -6$
解得$α = -3$
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系；2.一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题，重点考查一元二次方程相关性质的应用，熟练掌握根与系数的关系可简化计算，有效提升解题效率。
【难度系数】
0.85
本题是已知一元二次方程的一个根求另一个根的问题，有两种解题思路：一是将已知根x=2代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根，该方法步骤较多计算量稍大；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，对于形如$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一元二次方程，两根之积等于$\frac{c}{a}$，本题二次项系数$a=1$，常数项$c=-6$，因此两根乘积为$-6$，直接用乘积除以已知根2即可快速得到另一个根，该方法更简便。
【解析】
设方程的另一个根为$α$，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项与二次项系数的商，可得：
$2α = \frac{-6}{1} = -6$
解得$α = -3$
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系；2.一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题，重点考查一元二次方程相关性质的应用，熟练掌握根与系数的关系可简化计算，有效提升解题效率。
【难度系数】
0.85
5. 若关于x的一元二次方程$x^2 -6x +a =0$的一个根为1，则a的值为
5
。答案
5. 5
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根，根据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，我们只需将已知根x=1代入原方程，即可得到只含未知数a的一元一次方程，解该方程就能求出a的值。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$x^2 -6x +a =0$的根
∴将x=1代入方程得：
$\begin{aligned}1^2 -6×1 +a &=0\\1-6+a&=0\\-5+a&=0\\a&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的定义的应用，只需将已知根代入方程转化为一元一次方程求解即可，计算时注意避免符号错误。
【难度系数】
0.9
本题已知一元二次方程的一个根，根据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，我们只需将已知根x=1代入原方程，即可得到只含未知数a的一元一次方程，解该方程就能求出a的值。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$x^2 -6x +a =0$的根
∴将x=1代入方程得：
$\begin{aligned}1^2 -6×1 +a &=0\\1-6+a&=0\\-5+a&=0\\a&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的定义的应用，只需将已知根代入方程转化为一元一次方程求解即可，计算时注意避免符号错误。
【难度系数】
0.9
已知方程$x^2 -2x -5=0$的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，则$(x_1+1)(x_2+1)$的值为.
解析 因为方程$x^2 -2x -5=0$的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，
所以$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$.
所以$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2 +x_1 +x_2 +1=-5+2+1=-2$.
答案 $-2$
解析 因为方程$x^2 -2x -5=0$的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，
所以$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$.
所以$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2 +x_1 +x_2 +1=-5+2+1=-2$.
答案 $-2$
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系求解，无需计算出两根的具体值。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的两根$x_1$、$x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，再将待求式$(x_1+1)(x_2+1)$用多项式乘法展开，整理为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because$方程$x^2 -2x -5=0$的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-5$，
$\therefore$根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-5$。
将$(x_1+1)(x_2+1)$展开得：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2 +x_1 +x_2 +1$
代入$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$可得：
原式$=-5+2+1=-2$。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
根与系数的关系、多项式乘多项式、代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心是利用根与系数的关系结合整体代入思想计算，避免了解方程的复杂运算，能直观考查学生对基础公式的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
本题可利用一元二次方程根与系数的关系求解，无需计算出两根的具体值。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的两根$x_1$、$x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，再将待求式$(x_1+1)(x_2+1)$用多项式乘法展开，整理为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because$方程$x^2 -2x -5=0$的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-5$，
$\therefore$根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-5$。
将$(x_1+1)(x_2+1)$展开得：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2 +x_1 +x_2 +1$
代入$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$可得：
原式$=-5+2+1=-2$。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
根与系数的关系、多项式乘多项式、代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心是利用根与系数的关系结合整体代入思想计算，避免了解方程的复杂运算，能直观考查学生对基础公式的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
6. 若$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 -25x -1=0$的两个实数根，则代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$的值为（
A.26
B.25
C.0
D.-1
A
）A.26
B.25
C.0
D.-1
答案
6. A
解析
【分析】
本题是一元二次方程两根相关的代数式求值问题，解题思路可按三步梳理：第一步，利用一元二次方程根的定义，将根代入原方程得到关于$x_1$的等式，实现对高次项$x_1^2$的降次转化；第二步，将转化后的式子代入待求代数式，化简后会出现两根之和$x_1+x_2$的形式；第三步，利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，整体代入化简后的式子即可算出结果，无需直接求解方程的根，避免复杂运算。
【解析】
解：
∵$x_1$是一元二次方程$x^2 -25x -1=0$的实数根
∴将$x_1$代入方程得：$x_1^2 -25x_1 -1=0$，即$x_1^2=25x_1 +1$
将$x_1^2=25x_1 +1$代入代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$得：
$\begin{aligned}原式&=25x_1 +1 -24x_1 +x_2\\&=x_1 +x_2 +1\end{aligned}$
又
∵$x_1$、$x_2$是方程$x^2 -25x -1=0$的两个实数根，根据根与系数的关系：
$x_1 +x_2 = -\frac{b}{a} = 25$
将$x_1 +x_2=25$代入上式得：原式$=25+1=26$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 代数式化简求值
【点评】
本题解题的核心是利用根的定义降次，结合根与系数的关系整体代入计算，规避了直接求解方程根的繁琐运算，是一元二次方程求值类题型的典型考法。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程两根相关的代数式求值问题，解题思路可按三步梳理：第一步，利用一元二次方程根的定义，将根代入原方程得到关于$x_1$的等式，实现对高次项$x_1^2$的降次转化；第二步，将转化后的式子代入待求代数式，化简后会出现两根之和$x_1+x_2$的形式；第三步，利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，整体代入化简后的式子即可算出结果，无需直接求解方程的根，避免复杂运算。
【解析】
解：
∵$x_1$是一元二次方程$x^2 -25x -1=0$的实数根
∴将$x_1$代入方程得：$x_1^2 -25x_1 -1=0$，即$x_1^2=25x_1 +1$
将$x_1^2=25x_1 +1$代入代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$得：
$\begin{aligned}原式&=25x_1 +1 -24x_1 +x_2\\&=x_1 +x_2 +1\end{aligned}$
又
∵$x_1$、$x_2$是方程$x^2 -25x -1=0$的两个实数根，根据根与系数的关系：
$x_1 +x_2 = -\frac{b}{a} = 25$
将$x_1 +x_2=25$代入上式得：原式$=25+1=26$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 代数式化简求值
【点评】
本题解题的核心是利用根的定义降次，结合根与系数的关系整体代入计算，规避了直接求解方程根的繁琐运算，是一元二次方程求值类题型的典型考法。
【难度系数】
0.7
7. 若一元二次方程 $x(x+2)-3=0$ 的两根之和与两根之积分别为 $m$，$n$，则点 $(m, n)$ 在平面直角坐标系中位于 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
7. C
解析
【分析】
解题时首先要将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别求出两根之和$m$与两根之积$n$，最后根据平面直角坐标系中各象限的点的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限即可。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开$x(x+2)-3=0$得：$x^2+2x-3=0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-3$。
第二步：根据根与系数的关系计算$m$和$n$：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
因此两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
第三步：判断点$(m,n)$所在象限：
点的坐标为$(-2,-3)$，横坐标和纵坐标均为负数，符合第三象限内点的坐标特征，因此该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握一元二次方程一般式的整理方法、韦达定理的内容以及各象限点的坐标符号特点，计算时注意韦达定理中两根之和的符号不要记错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别求出两根之和$m$与两根之积$n$，最后根据平面直角坐标系中各象限的点的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限即可。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开$x(x+2)-3=0$得：$x^2+2x-3=0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-3$。
第二步：根据根与系数的关系计算$m$和$n$：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
因此两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
第三步：判断点$(m,n)$所在象限：
点的坐标为$(-2,-3)$，横坐标和纵坐标均为负数，符合第三象限内点的坐标特征，因此该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握一元二次方程一般式的整理方法、韦达定理的内容以及各象限点的坐标符号特点，计算时注意韦达定理中两根之和的符号不要记错。
【难度系数】
0.8
