登录
1.(4分)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（
A.$ m(a - 2) = am - 2m $
B.$ (x + 3)(x - 3) = x^2 - 9 $
C.$ x^2 + 3x - 5 = x(x + 3) - 5 $
D.$ 4x^2 - 1 = (2x + 1)(2x - 1) $
D
）A.$ m(a - 2) = am - 2m $
B.$ (x + 3)(x - 3) = x^2 - 9 $
C.$ x^2 + 3x - 5 = x(x + 3) - 5 $
D.$ 4x^2 - 1 = (2x + 1)(2x - 1) $
答案
1. D
解析
【分析】
要判断变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：因式分解是把一个多项式转化为几个整式的积的形式，判断时需紧扣两个要点：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式相乘的形式，且变形是恒等的。同时要注意因式分解和整式乘法是互逆的变形，整式乘法是把积转化为和差的形式，和因式分解方向相反。我们可以结合这几点逐一判断每个选项：首先排除方向相反的整式乘法变形，再排除结果不是乘积形式的选项，就能得出正确答案。
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，逐一分析选项：
选项A：$m(a - 2) = am - 2m$是将整式的积转化为多项式的形式，属于整式乘法运算，不是因式分解，不符合要求；
选项B：$(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$是平方差公式的整式乘法运算，变形方向是积化和差，不属于因式分解，不符合要求；
选项C：$x^2 + 3x - 5 = x(x + 3) - 5$，变形后的结果是$x(x+3)$与5的差，不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义，排除；
选项D：$4x^2 - 1 = (2x + 1)(2x - 1)$，将多项式$4x^2-1$转化为两个整式$(2x+1)$和$(2x-1)$的积的形式，符合因式分解的定义，是正确的。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义，整式乘法运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确把握因式分解的变形特征，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免把整式乘法误认为因式分解，同时要确认变形结果必须是纯乘积形式，不能残留加减项。
【难度系数】
0.8
要判断变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：因式分解是把一个多项式转化为几个整式的积的形式，判断时需紧扣两个要点：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式相乘的形式，且变形是恒等的。同时要注意因式分解和整式乘法是互逆的变形，整式乘法是把积转化为和差的形式，和因式分解方向相反。我们可以结合这几点逐一判断每个选项：首先排除方向相反的整式乘法变形，再排除结果不是乘积形式的选项，就能得出正确答案。
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，逐一分析选项：
选项A：$m(a - 2) = am - 2m$是将整式的积转化为多项式的形式，属于整式乘法运算，不是因式分解，不符合要求；
选项B：$(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$是平方差公式的整式乘法运算，变形方向是积化和差，不属于因式分解，不符合要求；
选项C：$x^2 + 3x - 5 = x(x + 3) - 5$，变形后的结果是$x(x+3)$与5的差，不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义，排除；
选项D：$4x^2 - 1 = (2x + 1)(2x - 1)$，将多项式$4x^2-1$转化为两个整式$(2x+1)$和$(2x-1)$的积的形式，符合因式分解的定义，是正确的。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义，整式乘法运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确把握因式分解的变形特征，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免把整式乘法误认为因式分解，同时要确认变形结果必须是纯乘积形式，不能残留加减项。
【难度系数】
0.8
2.（4分）多项式$5x^2 -16x^3$的公因式为（
A.$5x^2$
B.$5x^3$
C.$x^3$
D.$x^2$
D
）A.$5x^2$
B.$5x^3$
C.$x^3$
D.$x^2$
答案
2. D
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需遵循三步法：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是公因式。我们先拆分多项式的两项：$5x^2$和$-16x^3$，分别对应分析系数、字母、次数即可得到结果。
【解析】
确定公因式的步骤如下：
1. 定系数：多项式两项的系数为5和16，二者互质，最大公约数为1；
2. 定字母：两项都含有的相同字母是x；
3. 定指数：x在两项中的次数分别为2和3，取最低次幂2，即$x^2$；
综上，该多项式的公因式为$x^2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题属于基础题，主要考查公因式的确定规则，熟练掌握“定系数、定字母、定指数”的三步法是解题的关键，注意相同字母要取最低次幂，避免混淆最高次幂导致出错。
【难度系数】
0.8
要确定多项式的公因式，需遵循三步法：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是公因式。我们先拆分多项式的两项：$5x^2$和$-16x^3$，分别对应分析系数、字母、次数即可得到结果。
【解析】
确定公因式的步骤如下：
1. 定系数：多项式两项的系数为5和16，二者互质，最大公约数为1；
2. 定字母：两项都含有的相同字母是x；
3. 定指数：x在两项中的次数分别为2和3，取最低次幂2，即$x^2$；
综上，该多项式的公因式为$x^2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题属于基础题，主要考查公因式的确定规则，熟练掌握“定系数、定字母、定指数”的三步法是解题的关键，注意相同字母要取最低次幂，避免混淆最高次幂导致出错。
【难度系数】
0.8
3.(4分)把多项式$x^2 - 3x$分解因式的结果是（
A.$x(x+3)$
B.$x(x-3)$
C.$(x+3)^2$
D.$(x+3)(x-3)$
B
）A.$x(x+3)$
B.$x(x-3)$
C.$(x+3)^2$
D.$(x+3)(x-3)$
答案
3. B
解析
【分析】
要对多项式分解因式，首先观察多项式的两项是否存在公因式：先分别分析两项的因式，$x^2$可写成$x· x$，$-3x$可写成$x·(-3)$，可知两项的公因式为$x$，接下来提取公因式，将多项式写成公因式乘剩余部分的形式，再和选项对比即可得到答案。
【解析】
对多项式$x^2 - 3x$分解因式：
1. 确定公因式：两项共有的因式是$x$；
2. 提取公因式：将$x$提出来，$x^2$提取$x$后剩余$x$，$-3x$提取$x$后剩余$-3$，因此$x^2 - 3x = x(x - 3)$。
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是先判断多项式各项是否存在公因式，准确提取公因式即可得到结果，需注意提取公因式后剩余项的符号不要出错。
【难度系数】
0.9
要对多项式分解因式，首先观察多项式的两项是否存在公因式：先分别分析两项的因式，$x^2$可写成$x· x$，$-3x$可写成$x·(-3)$，可知两项的公因式为$x$，接下来提取公因式，将多项式写成公因式乘剩余部分的形式，再和选项对比即可得到答案。
【解析】
对多项式$x^2 - 3x$分解因式：
1. 确定公因式：两项共有的因式是$x$；
2. 提取公因式：将$x$提出来，$x^2$提取$x$后剩余$x$，$-3x$提取$x$后剩余$-3$，因此$x^2 - 3x = x(x - 3)$。
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是先判断多项式各项是否存在公因式，准确提取公因式即可得到结果，需注意提取公因式后剩余项的符号不要出错。
【难度系数】
0.9
4.(4分)如图是甲、乙两名同学分解因式$-x^2 +x$的结果，下列判断正确的是（
A.甲、乙的结果都正确
B.甲、乙的结果都不正确
C.只有甲的结果正确
D.只有乙的结果正确
A
）A.甲、乙的结果都正确
B.甲、乙的结果都不正确
C.只有甲的结果正确
D.只有乙的结果正确
答案
4. A
解析
【分析】
要判断两名同学分解因式的结果是否正确，核心是验证分解后的式子和原式是否恒等，也可直接对原式用提公因式法分解后对比结果。提公因式时既可以提取带负号的公因式，也可以提取不带负号的公因式：若提取带负号的公因式，括号内各项都要变号；若提取正的公因式，括号内各项符号不变，我们按两种方式分解原式后对比即可。
【解析】
对多项式$-x^2+x$用提公因式法分解：
1. 提取公因式$-x$：
$-x^2+x = -x· x + (-x)×(-1) = -x(x-1)$，与甲同学的结果一致，甲的结果正确。
2. 提取公因式$x$：
$-x^2+x = x·(-x) + x·1 = x(1-x)$，与乙同学的结果一致，乙的结果正确。
因此甲、乙的结果都正确，故选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式，整式恒等变形
【点评】
本题考查因式分解的结果判断，解题关键是掌握提公因式法的操作规则，因式分解的结果形式不唯一，只要与原式恒等、符合因式分解的要求即可，要避免固化思维误认为只有一种形式的结果正确。
【难度系数】
0.85
要判断两名同学分解因式的结果是否正确，核心是验证分解后的式子和原式是否恒等，也可直接对原式用提公因式法分解后对比结果。提公因式时既可以提取带负号的公因式，也可以提取不带负号的公因式：若提取带负号的公因式，括号内各项都要变号；若提取正的公因式，括号内各项符号不变，我们按两种方式分解原式后对比即可。
【解析】
对多项式$-x^2+x$用提公因式法分解：
1. 提取公因式$-x$：
$-x^2+x = -x· x + (-x)×(-1) = -x(x-1)$，与甲同学的结果一致，甲的结果正确。
2. 提取公因式$x$：
$-x^2+x = x·(-x) + x·1 = x(1-x)$，与乙同学的结果一致，乙的结果正确。
因此甲、乙的结果都正确，故选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式，整式恒等变形
【点评】
本题考查因式分解的结果判断，解题关键是掌握提公因式法的操作规则，因式分解的结果形式不唯一，只要与原式恒等、符合因式分解的要求即可，要避免固化思维误认为只有一种形式的结果正确。
【难度系数】
0.85
5.(6分)分解因式：
(1)(镇江中考)$x^2 + 3x =$
(2)(遂宁中考)$ab + 4a =$
(3)(南通中考)$ax - ay =$
(1)(镇江中考)$x^2 + 3x =$
x(x+3)
；(2)(遂宁中考)$ab + 4a =$
a(b+4)
；(3)(南通中考)$ax - ay =$
a(x−y)
。答案
5.(1) x(x+3) (2) a(b+4) (3) a(x−y)
解析
【分析】
这三道题均考查用提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，将多项式写成公因式乘剩余多项式的形式，剩余多项式是原多项式各项除以公因式得到的结果，注意不要漏项。
【解析】
(1) 多项式$x^2+3x$中，各项公因式为$x$，提取公因式$x$后剩余部分为$x+3$，因此$x^2+3x=x(x+3)$；
(2) 多项式$ab+4a$中，各项公因式为$a$，提取公因式$a$后剩余部分为$b+4$，因此$ab+4a=a(b+4)$；
(3) 多项式$ax-ay$中，各项公因式为$a$，提取公因式$a$后剩余部分为$x-y$，因此$ax-ay=a(x-y)$。
【答案】
(1) $x(x+3)$ (2) $a(b+4)$ (3) $a(x-y)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题关键是准确找到各项的公因式，提取公因式后要注意检验剩余项是否有漏项，确保分解彻底。
【难度系数】
0.9
这三道题均考查用提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，将多项式写成公因式乘剩余多项式的形式，剩余多项式是原多项式各项除以公因式得到的结果，注意不要漏项。
【解析】
(1) 多项式$x^2+3x$中，各项公因式为$x$，提取公因式$x$后剩余部分为$x+3$，因此$x^2+3x=x(x+3)$；
(2) 多项式$ab+4a$中，各项公因式为$a$，提取公因式$a$后剩余部分为$b+4$，因此$ab+4a=a(b+4)$；
(3) 多项式$ax-ay$中，各项公因式为$a$，提取公因式$a$后剩余部分为$x-y$，因此$ax-ay=a(x-y)$。
【答案】
(1) $x(x+3)$ (2) $a(b+4)$ (3) $a(x-y)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题关键是准确找到各项的公因式，提取公因式后要注意检验剩余项是否有漏项，确保分解彻底。
【难度系数】
0.9
6.(4分) 半开放性试题 请你写出一个整式A,使得多项式$m^2 + A$能因式分解,这个整式A可以是
mn(答案不唯一)
.答案
6. mn(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先明确题目要求：找到整式A，使得多项式$m^2 + A$可以因式分解。结合当前所学的提公因式法分解因式的思路，要让两项式能提公因式，需要$m^2$和A存在公共的因式，最容易构造的公因式是$m$，因此只要A是含有因式$m$的整式，就可以提取公因式$m$完成分解，答案不唯一。
【解析】
我们可选取$A=mn$，此时多项式为$m^2 + mn$，提取公因式$m$可得：
$m^2 + mn = m(m + n)$
符合多项式能因式分解的要求，除此以外形如$km$（$k$为不为0的整式）的整式都满足要求。
【答案】
mn(答案不唯一)
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的识别
【点评】
本题是半开放性试题，答案不唯一，解题时可以结合已学的因式分解方法灵活构造符合要求的整式，侧重考查对因式分解方法的理解和运用能力。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目要求：找到整式A，使得多项式$m^2 + A$可以因式分解。结合当前所学的提公因式法分解因式的思路，要让两项式能提公因式，需要$m^2$和A存在公共的因式，最容易构造的公因式是$m$，因此只要A是含有因式$m$的整式，就可以提取公因式$m$完成分解，答案不唯一。
【解析】
我们可选取$A=mn$，此时多项式为$m^2 + mn$，提取公因式$m$可得：
$m^2 + mn = m(m + n)$
符合多项式能因式分解的要求，除此以外形如$km$（$k$为不为0的整式）的整式都满足要求。
【答案】
mn(答案不唯一)
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的识别
【点评】
本题是半开放性试题，答案不唯一，解题时可以结合已学的因式分解方法灵活构造符合要求的整式，侧重考查对因式分解方法的理解和运用能力。
【难度系数】
0.9
7.(4分) 学科融合·跨物理（教材P125练习T3变式）如图，把$R_1,R_2,R_3$三个电阻串联起来，电线AB上的电流为I(单位:A)，电压为U(单位:V)，则$U=IR_1+IR_2+IR_3$.当$R_1=19.7\ \Omega,R_2=32.4\ \Omega,R_3=35.9\ \Omega,I=2.5\ A$时，则U的值为
220
V.答案
7. 220
解析
【分析】
本题给出了串联电路电压的代数式，直接代入数值计算需要进行三次乘法和两次加法，运算量较大。观察代数式可以发现每一项都含有公因式I，因此可以利用提公因式法先对代数式变形，将U转化为I与三个电阻之和的乘积，再代入数值计算，能有效简化运算步骤，减少计算错误。
【解析】
首先对公式$U=IR_1+IR_2+IR_3$提取公因式$I$，可得：
$U=I(R_1+R_2+R_3)$
先计算三个电阻的和：
$R_1+R_2+R_3=19.7+32.4+35.9=88\ \Omega$
再将$I=2.5\ \mathrm{A}$，$R_1+R_2+R_3=88\ \Omega$代入变形后的公式：
$U=2.5×88=220\ \mathrm{V}$
【答案】
220
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】
本题结合物理串联电路的电压规律考查代数运算，利用提公因式法对代数式变形后再计算，能够大幅简化运算过程，降低计算失误的概率，体现了因式分解在简便运算中的实用性。
【难度系数】
0.9
本题给出了串联电路电压的代数式，直接代入数值计算需要进行三次乘法和两次加法，运算量较大。观察代数式可以发现每一项都含有公因式I，因此可以利用提公因式法先对代数式变形，将U转化为I与三个电阻之和的乘积，再代入数值计算，能有效简化运算步骤，减少计算错误。
【解析】
首先对公式$U=IR_1+IR_2+IR_3$提取公因式$I$，可得：
$U=I(R_1+R_2+R_3)$
先计算三个电阻的和：
$R_1+R_2+R_3=19.7+32.4+35.9=88\ \Omega$
再将$I=2.5\ \mathrm{A}$，$R_1+R_2+R_3=88\ \Omega$代入变形后的公式：
$U=2.5×88=220\ \mathrm{V}$
【答案】
220
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】
本题结合物理串联电路的电压规律考查代数运算，利用提公因式法对代数式变形后再计算，能够大幅简化运算过程，降低计算失误的概率，体现了因式分解在简便运算中的实用性。
【难度系数】
0.9
8.(10分)分解因式：
(1)$a^2 + ab + 2a$；
(2)$-8m^2 + 16mn -8n$。
(1)$a^2 + ab + 2a$；
(2)$-8m^2 + 16mn -8n$。
答案
解：(1) 原式$=a(a+b+2).$(2) 原式$=-8(m^2-2mn+n).$
解析
【分析】
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂；若多项式首项系数为负数，要优先提取负号，保证括号内首项系数为正。第二步提取公因式，用原多项式的每一项除以公因式，得到的结果作为括号内的剩余因式即可。
【解析】
(1) 观察多项式$a^2 + ab + 2a$，各项的公因式为$a$，提取公因式$a$可得：
原式$=a· a + a· b + a· 2 = a(a + b + 2)$
(2) 观察多项式$-8m^2 + 16mn -8n$，首项系数为负，各项系数的最大公约数为8，因此公因式为$-8$，提取公因式$-8$可得：
原式$=-8· m^2 + (-8)· (-2mn) + (-8)· n = -8(m^2 - 2mn + n)$
【答案】
(1) $a(a+b+2)$；(2) $-8(m^2-2mn+n)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，因式分解符号规则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题时要注意准确识别公因式，提取负公因式时要记得改变原多项式各项的符号，提取后要检查是否存在漏项的情况。
【难度系数】
0.8
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂；若多项式首项系数为负数，要优先提取负号，保证括号内首项系数为正。第二步提取公因式，用原多项式的每一项除以公因式，得到的结果作为括号内的剩余因式即可。
【解析】
(1) 观察多项式$a^2 + ab + 2a$，各项的公因式为$a$，提取公因式$a$可得：
原式$=a· a + a· b + a· 2 = a(a + b + 2)$
(2) 观察多项式$-8m^2 + 16mn -8n$，首项系数为负，各项系数的最大公约数为8，因此公因式为$-8$，提取公因式$-8$可得：
原式$=-8· m^2 + (-8)· (-2mn) + (-8)· n = -8(m^2 - 2mn + n)$
【答案】
(1) $a(a+b+2)$；(2) $-8(m^2-2mn+n)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，因式分解符号规则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题时要注意准确识别公因式，提取负公因式时要记得改变原多项式各项的符号，提取后要检查是否存在漏项的情况。
【难度系数】
0.8
9.(10分)(教材P125练习T3变式题)利用因式分解计算：
(1)$101^2 - 101$；
(2)$3^{2026} - 3^{2025}$。
(1)$101^2 - 101$；
(2)$3^{2026} - 3^{2025}$。
答案
9. 解：(1) 原式$=101×(101-1)=10100.$(2) 原式$=3×3^{2025}-3^{2025}×1=3^{2025}×(3-1)=3^{2025}×2=2×3^{2025}.$
解析
【分析】
这两道题是利用提公因式法因式分解简化运算的典型题目，解题核心是先观察算式结构，提取各项的公因式后再计算，避免直接计算高次幂的繁琐。(1)中两项都含有公因式101，提取公因式后即可简化计算；(2)中两项都是3的正整数次幂，同底数幂的公因式取指数最低的$3^{2025}$，提取后计算剩余部分即可得到结果。
【解析】
(1) 提取公因式101进行计算：
原式$=101×(101-1)$
$=101×100$
$=10100$
(2) 先将$3^{2026}$变形为$3×3^{2025}$，再提取公因式$3^{2025}$计算：
原式$=3×3^{2025}-3^{2025}×1$
$=3^{2025}×(3-1)$
$=3^{2025}×2$
$=2×3^{2025}$
【答案】
(1) $\boxed{10100}$；(2) $\boxed{2× 3^{2025}}$
【知识点】
提公因式法因式分解；同底数幂运算；简便运算
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题目，解题关键是准确找出各项的公因式，通过因式分解将复杂的高次运算转化为简单的四则运算，既提升运算效率也能降低计算出错概率。
【难度系数】
0.85
这两道题是利用提公因式法因式分解简化运算的典型题目，解题核心是先观察算式结构，提取各项的公因式后再计算，避免直接计算高次幂的繁琐。(1)中两项都含有公因式101，提取公因式后即可简化计算；(2)中两项都是3的正整数次幂，同底数幂的公因式取指数最低的$3^{2025}$，提取后计算剩余部分即可得到结果。
【解析】
(1) 提取公因式101进行计算：
原式$=101×(101-1)$
$=101×100$
$=10100$
(2) 先将$3^{2026}$变形为$3×3^{2025}$，再提取公因式$3^{2025}$计算：
原式$=3×3^{2025}-3^{2025}×1$
$=3^{2025}×(3-1)$
$=3^{2025}×2$
$=2×3^{2025}$
【答案】
(1) $\boxed{10100}$；(2) $\boxed{2× 3^{2025}}$
【知识点】
提公因式法因式分解；同底数幂运算；简便运算
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题目，解题关键是准确找出各项的公因式，通过因式分解将复杂的高次运算转化为简单的四则运算，既提升运算效率也能降低计算出错概率。
【难度系数】
0.85
