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5. 已知∠MON，点A，B分别在射线ON，OM上移动（不与点O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，直线AD，BC相交于点C.
(1) 如图1，若∠MON=90°，试猜想∠ACB的度数，并说明理由.
(2) 如图2，若∠MON=α，问：点A，B在射线ON，OM上运动的过程中，∠ACB的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含α的式子表示）；若改变，请说明理由.
(1) 如图1，若∠MON=90°，试猜想∠ACB的度数，并说明理由.
(2) 如图2，若∠MON=α，问：点A，B在射线ON，OM上运动的过程中，∠ACB的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含α的式子表示）；若改变，请说明理由.
答案
(1)$∠ ACB=45°$.理由:$\because ∠ MON=90°$,$\therefore ∠ NAB=∠ AOB+∠ ABO=90°+∠ ABO$,$∠ ABM=∠ AOB+∠ BAO=90°+∠ BAO$,$∠ OAB+∠ ABO=90°$,
$\therefore ∠ NAB+∠ MBA=90°+∠ ABO+90°+∠ BAO=90°+180°=270°$,
$\because AD$平分$∠ BAN$,$BC$平分$∠ ABM$,
$\therefore ∠ CAB+∠ CBA=\frac{1}{2}×270°=135°$,
$\therefore ∠ ACB=180°-(∠ CAB+∠ CBA)=180°-135°=45°$.
(2)$∠ ACB$的度数不改变.
$\because AD$平分$∠ BAN$,$BC$平分$∠ ABM$,
$\therefore ∠ CAB=\frac{1}{2}∠ BAN$,$∠ CBA=\frac{1}{2}∠ ABM$.
$\because ∠ BAO+∠ ABO=180°-∠ AOB=180°-α$,
$\therefore ∠ CAB+∠ CBA=\frac{1}{2}(∠ BAN+∠ ABM)=\frac{1}{2}[360°-(180°-α)]=90°+\frac{1}{2}α$,
$\therefore ∠ ACB=180°-(∠ CAB+∠ CBA)=90°-\frac{1}{2}α$.
$\therefore ∠ NAB+∠ MBA=90°+∠ ABO+90°+∠ BAO=90°+180°=270°$,
$\because AD$平分$∠ BAN$,$BC$平分$∠ ABM$,
$\therefore ∠ CAB+∠ CBA=\frac{1}{2}×270°=135°$,
$\therefore ∠ ACB=180°-(∠ CAB+∠ CBA)=180°-135°=45°$.
(2)$∠ ACB$的度数不改变.
$\because AD$平分$∠ BAN$,$BC$平分$∠ ABM$,
$\therefore ∠ CAB=\frac{1}{2}∠ BAN$,$∠ CBA=\frac{1}{2}∠ ABM$.
$\because ∠ BAO+∠ ABO=180°-∠ AOB=180°-α$,
$\therefore ∠ CAB+∠ CBA=\frac{1}{2}(∠ BAN+∠ ABM)=\frac{1}{2}[360°-(180°-α)]=90°+\frac{1}{2}α$,
$\therefore ∠ ACB=180°-(∠ CAB+∠ CBA)=90°-\frac{1}{2}α$.
6.如图,在△ABC中,BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线,BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分线.
(1)当∠ABC=64°,∠ACB=66°时,∠D=
(2)当∠A=56°时,求∠D,∠P的度数.
(3)当∠A的大小发生变化时,∠D+∠P的值是否发生变化?请说明理由.
(1)当∠ABC=64°,∠ACB=66°时,∠D=
115
°,∠P=65
°.(2)当∠A=56°时,求∠D,∠P的度数.
(3)当∠A的大小发生变化时,∠D+∠P的值是否发生变化?请说明理由.
答案
(1)115;65.
详解:$\because BD,CD$分别是$∠ ABC,∠ ACB$的平分线,$∠ ABC=64°$,$∠ ACB=66°$,
$\therefore ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=32°$,$∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=33°$,
$∠ EBC=116°$,$∠ FCB=114°$,
$\therefore ∠ D=180°-∠ DBC-∠ DCB=115°$.
$\because BP,CP$分别是$∠ EBC,∠ FCB$的平分线,
$\therefore ∠ CBP=\frac{1}{2}∠ EBC=58°$,$∠ BCP=\frac{1}{2}∠ FCB=57°$,
$\therefore ∠ P=180°-∠ CBP-∠ BCP=65°$.
(2)在$△ ABC$中,$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$,
$\because BD,CD$分别是$∠ ABC,∠ ACB$的平分线,
$\therefore ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB$,
$\therefore ∠ D=180°-(∠ DBC+∠ DCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$,
$\because ∠ A=56°$,$\therefore ∠ D=90°+\frac{1}{2}×56°=118°$.
$\because BP,CP$分别是$∠ EBC,∠ FCB$的平分线,
$\therefore ∠ CBP+∠ BCP=\frac{1}{2}∠ EBC+\frac{1}{2}∠ FCB=\frac{1}{2}(∠ EBC+∠ FCB)=\frac{1}{2}(∠ A+∠ ACB+∠ A+∠ ABC)=\frac{1}{2}(180°+∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$,
$\therefore ∠ P=180°-(∠ CBP+∠ BCP)=90°-\frac{1}{2}∠ A=90°-28°=62°$.
(3)$∠ D+∠ P$的值不变.理由如下:
由(2)知$∠ D=90°+\frac{1}{2}∠ A$,$∠ P=90°-\frac{1}{2}∠ A$,
$\therefore ∠ D+∠ P=180°$,
$\therefore$当$∠ A$的大小发生变化时,$∠ D+∠ P$的值不变.
详解:$\because BD,CD$分别是$∠ ABC,∠ ACB$的平分线,$∠ ABC=64°$,$∠ ACB=66°$,
$\therefore ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=32°$,$∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=33°$,
$∠ EBC=116°$,$∠ FCB=114°$,
$\therefore ∠ D=180°-∠ DBC-∠ DCB=115°$.
$\because BP,CP$分别是$∠ EBC,∠ FCB$的平分线,
$\therefore ∠ CBP=\frac{1}{2}∠ EBC=58°$,$∠ BCP=\frac{1}{2}∠ FCB=57°$,
$\therefore ∠ P=180°-∠ CBP-∠ BCP=65°$.
(2)在$△ ABC$中,$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$,
$\because BD,CD$分别是$∠ ABC,∠ ACB$的平分线,
$\therefore ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB$,
$\therefore ∠ D=180°-(∠ DBC+∠ DCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$,
$\because ∠ A=56°$,$\therefore ∠ D=90°+\frac{1}{2}×56°=118°$.
$\because BP,CP$分别是$∠ EBC,∠ FCB$的平分线,
$\therefore ∠ CBP+∠ BCP=\frac{1}{2}∠ EBC+\frac{1}{2}∠ FCB=\frac{1}{2}(∠ EBC+∠ FCB)=\frac{1}{2}(∠ A+∠ ACB+∠ A+∠ ABC)=\frac{1}{2}(180°+∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$,
$\therefore ∠ P=180°-(∠ CBP+∠ BCP)=90°-\frac{1}{2}∠ A=90°-28°=62°$.
(3)$∠ D+∠ P$的值不变.理由如下:
由(2)知$∠ D=90°+\frac{1}{2}∠ A$,$∠ P=90°-\frac{1}{2}∠ A$,
$\therefore ∠ D+∠ P=180°$,
$\therefore$当$∠ A$的大小发生变化时,$∠ D+∠ P$的值不变.
