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1.「2025广西中考」因式分解：$a^2 -1 = ( )$
A.$(a+1)(a-1)$
B.$a(a+1)$
C.$(a+1)^2$
D.$(a-1)^2$
A.$(a+1)(a-1)$
B.$a(a+1)$
C.$(a+1)^2$
D.$(a-1)^2$
答案
1.A
2.「2026贵州铜仁月考」老师在课堂上布置了如下所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，错误的题目是（
A.①
B.②
C.③
D.④
B
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
2.B $-x^2-y^2=-(x^2+y^2)$,它不能利用平方差公式因式分解.故选 B.
3.「2026广西桂林期中」已知$m^2 - n^2 = 20$，$m - n = 5$，则$m + n$等于（
A.-8
B.-4
C.4
D.8
C
）A.-8
B.-4
C.4
D.8
答案
3.C $\because m^2-n^2=20,\therefore (m+n)(m-n)=20$,$\because m-n=5,\therefore m+n=\frac{20}{5}=4$.故选 C.
4.「2026山东烟台期中改编」对于实数a,b,定义新运算“☆”,规定:$a☆b=a^2 - b$.将$x☆16y^2$因式分解的结果是
(x+4y)(x-4y)
.答案
4.答案 $(x+4y)(x-4y)$
解析 由题意得$x☆16y^2=x^2-16y^2=(x+4y)(x-4y)$.
解析 由题意得$x☆16y^2=x^2-16y^2=(x+4y)(x-4y)$.
5.「2026 湖南岳阳期中」已知$x,y$满足方程组$\begin{cases}2x+y=1, \\4x-2y=-4,\end{cases}$则$4x^2 - y^2$的值是 ______ .
答案
5.答案 -2
解析 $\because 4x-2y=-4,\therefore 2x-y=-2,\because 2x+y=1,\therefore 4x^2-y^2=(2x+y)(2x-y)=1×(-2)=-2$.故答案为-2.
解析 $\because 4x-2y=-4,\therefore 2x-y=-2,\because 2x+y=1,\therefore 4x^2-y^2=(2x+y)(2x-y)=1×(-2)=-2$.故答案为-2.
6.把下列各式分解因式:
(1)$1-\frac{1}{4}a^2$.
(2)$49x^2-9y^2$.
(3)$(2x+y)^2-(x-2y)^2$.
(1)$1-\frac{1}{4}a^2$.
(2)$49x^2-9y^2$.
(3)$(2x+y)^2-(x-2y)^2$.
答案
6.解析 (1)$1-\frac{1}{4}a^2=(1+\frac{1}{2}a)(1-\frac{1}{2}a)$.
(2)$49x^2-9y^2=(7x)^2-(3y)^2=(7x+3y)(7x-3y)$.
(3)$(2x+y)^2-(x-2y)^2$
$=[(2x+y)+(x-2y)][(2x+y)-(x-2y)]$
$=(2x+y+x-2y)(2x+y-x+2y)$
$=(3x-y)(x+3y)$.
(2)$49x^2-9y^2=(7x)^2-(3y)^2=(7x+3y)(7x-3y)$.
(3)$(2x+y)^2-(x-2y)^2$
$=[(2x+y)+(x-2y)][(2x+y)-(x-2y)]$
$=(2x+y+x-2y)(2x+y-x+2y)$
$=(3x-y)(x+3y)$.
7.「2026山东济宁月考，★☆」若多项式$mx^2 -4$在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则m的值不可能是（
A.1
B.5
C.9
D.16
B
）A.1
B.5
C.9
D.16
答案
7.B $m=1$时,$x^2-4=(x+2)(x-2)$;
$m=5$时,$5x^2-4$,不能在有理数范围内利用平方差公式进行因式分解;
$m=9$时,$9x^2-4=(3x+2)(3x-2)$;
$m=16$时,$16x^2-4=(4x+2)(4x-2)=4(2x+1)(2x-1)$.
故选 B.
$m=5$时,$5x^2-4$,不能在有理数范围内利用平方差公式进行因式分解;
$m=9$时,$9x^2-4=(3x+2)(3x-2)$;
$m=16$时,$16x^2-4=(4x+2)(4x-2)=4(2x+1)(2x-1)$.
故选 B.
8.聚焦$\frac{中考}{代数推理}$「2026湖南益阳期中，★☆」对于任意整数$n$，多项式$(n+11)^2 - (n+2)^2$都能（
A.被6整除
B.被7整除
C.被8整除
D.被9整除
D
）A.被6整除
B.被7整除
C.被8整除
D.被9整除
答案
8.D $(n+11)^2-(n+2)^2=(n+11+n+2)(n+11-n-2)=9(2n+13),\because n$为整数,$\therefore$ 原式能被9整除.故选 D.
9.「2025湖北武汉期末，★☆」已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足$a^2 - b^2 = ac - bc$，则△ABC的形状是
等腰三角形
。答案
9.答案 等腰三角形
解析 $\because a^2-b^2=ac-bc,\therefore (a+b)(a-b)-c(a-b)=0$.
$\therefore (a-b)(a+b-c)=0.\because$ 在$△ ABC$中,$a+b＞c,\therefore a+b-c＞0.\therefore a-b=0$,即$a=b.\therefore △ ABC$是等腰三角形.故答案为等腰三角形.
解析 $\because a^2-b^2=ac-bc,\therefore (a+b)(a-b)-c(a-b)=0$.
$\therefore (a-b)(a+b-c)=0.\because$ 在$△ ABC$中,$a+b＞c,\therefore a+b-c＞0.\therefore a-b=0$,即$a=b.\therefore △ ABC$是等腰三角形.故答案为等腰三角形.
10.「2026河南鹤壁期中，★★」如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”.例如：$12=4^2-2^2$，$20=6^2-4^2$，$28=8^2-6^2$，则12，20，28这三个数都是完美数.
（1）按照上述规律，将完美数2036表示成两个连续偶数的平方差的形式（直接写出）.
（2）求证：任意一个完美数都能够被4整除.
（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为32，求阴影部分的总面积.
（1）按照上述规律，将完美数2036表示成两个连续偶数的平方差的形式（直接写出）.
（2）求证：任意一个完美数都能够被4整除.
（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为32，求阴影部分的总面积.
答案
10.解析 (1)$2036=510^2-508^2$.
(2)证明:设两个连续的偶数分别为$2n,2(n+1),n$为自然数,则完美数为$[2(n+1)]^2-(2n)^2$,
$\because [2(n+1)]^2-(2n)^2=[2(n+1)-2n][2(n+1)+2n]$
$=4(2n+1),n$为自然数,$\therefore 4(2n+1)$能被4整除,
即任意一个完美数都能够被4整除.
(3)根据题意得阴影部分的总面积为$4^2-2^2+8^2-6^2+\dots+32^2-30^2=(4-2)×(4+2)+(8-6)×(8+6)+\dots+(32-30)×(32+30)=2×(4+2)+2×(8+6)+\dots+2×(32+30)=2×(2+4+6+8+\dots+30+32)=2×\frac{16×(2+32)}{2}=544$.
(2)证明:设两个连续的偶数分别为$2n,2(n+1),n$为自然数,则完美数为$[2(n+1)]^2-(2n)^2$,
$\because [2(n+1)]^2-(2n)^2=[2(n+1)-2n][2(n+1)+2n]$
$=4(2n+1),n$为自然数,$\therefore 4(2n+1)$能被4整除,
即任意一个完美数都能够被4整除.
(3)根据题意得阴影部分的总面积为$4^2-2^2+8^2-6^2+\dots+32^2-30^2=(4-2)×(4+2)+(8-6)×(8+6)+\dots+(32-30)×(32+30)=2×(4+2)+2×(8+6)+\dots+2×(32+30)=2×(2+4+6+8+\dots+30+32)=2×\frac{16×(2+32)}{2}=544$.
