登录
1.在平面直角坐标系中,以二元一次方程$2x - y = 1$的解为坐标的点组成的图象可能是 (
B
) 答案
1.B 二元一次方程$2x-y=1$可化为$y=2x-1$,直线$y=2x-1$经过第一、三、四象限.
故选 B.
故选 B.
2.把方程$x+y=2$的两个解$\begin{cases}x=1, \\ y=1\end{cases}$和$\begin{cases}x=0, \\ y=2\end{cases}$组成有序数对$(1,1),(0,2)$，过以这两对有序数对为坐标的两点画直线$l$，则下列各点不在直线$l$上的是（ ）
A.$(4,-2)$
B.$(2,1)$
C.$(-2,4)$
D.$(-4,6)$
A.$(4,-2)$
B.$(2,1)$
C.$(-2,4)$
D.$(-4,6)$
答案
2.B A.$4+(-2)=2$,所以该点在直线$l$上,故本选项不符合题意;B.$2+1=3$,所以该点不在直线$l$上,故本选项符合题意;C.$-2+4=2$,所以该点在直线$l$上,故本选项不符合题意;D.$-4+6=2$,所以该点在直线$l$上,故本选项不符合题意.
故选 B.
故选 B.
3. 学科特色教材变式「2026四川成都青羊期中」已知直线$l_1:y=x+b$与直线$l_2:y=kx+5$交于点$A(2,-1)$，那么关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=x+b, \\ y=kx+5\end{cases}$的解是( )
A.$\begin{cases} x=5 \\ y=0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=0 \\ y=5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=5 \\ y=0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=0 \\ y=5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases}$
答案
3.D 由二元一次方程组与一次函数的关系可知,二元一次方程组$\begin{cases}y=x+b,\\y=kx+5\end{cases}$的解就是直线$l_1:y=x+b$与直线$l_2:y=kx+5$交点的坐标,因为直线$l_1:y=x+b$与直线$l_2:y=kx+5$交于点$A(2,-1)$,所以关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=x+b,\\y=kx+5\end{cases}$的解是$\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
4.「2026 安徽安庆望江期中」已知方程组$\begin{cases}y - 3x + 3 = 0, \\ 2y + 3x - 6 = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = \dfrac{4}{3}, \\ y = 1,\end{cases}$则直线$y = 3x - 3$与直线$y = -\dfrac{3}{2}x + 3$的交点$P$的坐标是 ______ .
答案
4.答案 $(\dfrac{4}{3},1)$
解析 将方程组$\begin{cases}y-3x+3=0,\\2y+3x-6=0\end{cases}$整理,得$\begin{cases}y=3x-3,\\y=-\dfrac{3}{2}x+3\end{cases}$,由二元一次方程组与一次函数的关系可知,方程组$\begin{cases}y=3x-3,\\y=-\dfrac{3}{2}x+3\end{cases}$的解为直线$y=3x-3$与直线$y=-\dfrac{3}{2}x+3$的交点坐标,
因为方程组$\begin{cases}y=3x-3,\\y=-\dfrac{3}{2}x+3\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=\dfrac{4}{3}, \\ y=1, \end{cases}$所以直线$y=3x-3$与直线$y=-\dfrac{3}{2}x+3$的交点$P$的坐标为$(\dfrac{4}{3},1)$.
解析 将方程组$\begin{cases}y-3x+3=0,\\2y+3x-6=0\end{cases}$整理,得$\begin{cases}y=3x-3,\\y=-\dfrac{3}{2}x+3\end{cases}$,由二元一次方程组与一次函数的关系可知,方程组$\begin{cases}y=3x-3,\\y=-\dfrac{3}{2}x+3\end{cases}$的解为直线$y=3x-3$与直线$y=-\dfrac{3}{2}x+3$的交点坐标,
因为方程组$\begin{cases}y=3x-3,\\y=-\dfrac{3}{2}x+3\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=\dfrac{4}{3}, \\ y=1, \end{cases}$所以直线$y=3x-3$与直线$y=-\dfrac{3}{2}x+3$的交点$P$的坐标为$(\dfrac{4}{3},1)$.
5.「★☆」若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=(3-k)x-2, \\ y=(3k-5)x+5\end{cases}$无解，则一次函数$y=kx-1$的图象不经过第 ______ 象限。
答案
5.答案 二
解析 因为关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=(3-k)x-2,\\y=(3k-5)x+5\end{cases}$无解,所以直线$y=(3-k)x-2$与直线$y=(3k-5)x+5$无交点,即两直线平行,所以$3-k=3k-5$,解得$k=2$,所以一次函数$y=kx-1$的解析式为$y=2x-1$,因为$2＞0,-1＜0$,所以一次函数$y=2x-1$的图象经过第一、三、四象限,不经过第二象限.
解析 因为关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=(3-k)x-2,\\y=(3k-5)x+5\end{cases}$无解,所以直线$y=(3-k)x-2$与直线$y=(3k-5)x+5$无交点,即两直线平行,所以$3-k=3k-5$,解得$k=2$,所以一次函数$y=kx-1$的解析式为$y=2x-1$,因为$2＞0,-1＜0$,所以一次函数$y=2x-1$的图象经过第一、三、四象限,不经过第二象限.
6.「★☆」如图，直线$y=kx(k≠0)$与直线$y=\frac{2}{3}x+4$在第二象限交于点A，直线$y=\frac{2}{3}x+4$与x轴、y轴分别交于点B，C。若$S_{△ ABO}:S_{△ ACO}=1:2$，则方程组$\begin{cases}kx-y=0, \\2x-3y+12=0\end{cases}$的解为 ______ 。
答案
6.答案 $\begin{cases} x=-4 \\ y=\dfrac{4}{3} \end{cases}$
解析 设点$A$的坐标为$(a,b)$,在直线$y=\dfrac{2}{3}x+4$上,当$x=0$时,$y=4$,则$C(0,4)$,当$y=0$时,$x=-6$,则$B(-6,0)$,方程$kx-y=0$可变形为$y=kx$,$2x-3y+12=0$可变形为$y=\dfrac{2}{3}x+4$.
因为$S_{△ ABO}:S_{△ ACO}=1:2$,
所以$\dfrac{1}{2}×6b=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×4×(-a)$,
所以$a=-3b$,则$A(-3b,b)$,将$(-3b,b)$代入$y=\dfrac{2}{3}x+4$,解得$b=\dfrac{4}{3}$,则$A(-4,\dfrac{4}{3})$,
所以方程组$\begin{cases}kx-y=0,\\2x-3y+12=0\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=-4, \\ y=\dfrac{4}{3}. \end{cases}$
解析 设点$A$的坐标为$(a,b)$,在直线$y=\dfrac{2}{3}x+4$上,当$x=0$时,$y=4$,则$C(0,4)$,当$y=0$时,$x=-6$,则$B(-6,0)$,方程$kx-y=0$可变形为$y=kx$,$2x-3y+12=0$可变形为$y=\dfrac{2}{3}x+4$.
因为$S_{△ ABO}:S_{△ ACO}=1:2$,
所以$\dfrac{1}{2}×6b=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×4×(-a)$,
所以$a=-3b$,则$A(-3b,b)$,将$(-3b,b)$代入$y=\dfrac{2}{3}x+4$,解得$b=\dfrac{4}{3}$,则$A(-4,\dfrac{4}{3})$,
所以方程组$\begin{cases}kx-y=0,\\2x-3y+12=0\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=-4, \\ y=\dfrac{4}{3}. \end{cases}$
7.「2026山东烟台期末，★☆」如图，一次函数$y=-\frac{1}{2}x+b$的图象与$y$轴交于点$A$，与$x$轴交于点$B$，与正比例函数$y=3x$的图象交于点$C(1,a)$。
(1)求$a,b$的值。
(2)方程组$\begin{cases}3x-y=0,\\\frac{1}{2}x+y=b\end{cases}$的解为 ______ 。
(3)在函数$y=3x$的图象上是否存在点$P$，使得$△ BOP$的面积比$△ AOB$的面积少$\frac{21}{4}$？若存在，请求出符合条件的点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
(1)求$a,b$的值。
(2)方程组$\begin{cases}3x-y=0,\\\frac{1}{2}x+y=b\end{cases}$的解为 ______ 。
(3)在函数$y=3x$的图象上是否存在点$P$，使得$△ BOP$的面积比$△ AOB$的面积少$\frac{21}{4}$？若存在，请求出符合条件的点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
7.解析 (1)因为点$C(1,a)$在正比例函数$y=3x$的图象上,所以$a=1×3=3$,所以点$C$的坐标为$(1,3)$,因为点$C(1,3)$在一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+b$的图象上,所以$3=-\dfrac{1}{2}+b$,解得$b=3.5$,所以$a=3,b=3.5$.
(2)将方程组$\begin{cases}3x-y=0,\\\dfrac{1}{2}x+y=b\end{cases}$整理,得$\begin{cases}y=3x,\\y=-\dfrac{1}{2}x+b\end{cases}$,由二元一次方程组与一次函数的关系可知,方程组$\begin{cases}y=3x,\\y=-\dfrac{1}{2}x+b\end{cases}$的解为直线$y=3x$与直线$y=-\dfrac{1}{2}x+b$的交点$C$的坐标,
故方程组$\begin{cases}3x-y=0,\\\dfrac{1}{2}x+y=b\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=3. \end{cases}$
(3)存在.因为点$P$在函数$y=3x$的图象上,所以设点$P$的坐标为$(x,3x)$,由一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+3.5$可知,点$A$的坐标为$(0,3.5)$,点$B$的坐标为$(7,0)$,所以$OA=3.5$,$OB=7$,所以$△ BOP$的面积为$\dfrac{1}{2}×7×|3x|$,$△ AOB$的面积为$\dfrac{1}{2}×7×3.5=\dfrac{49}{4}$,因为$△ BOP$的面积比$△ AOB$的面积少$\dfrac{21}{4}$,所以$\dfrac{1}{2}×7×|3x|=\dfrac{49}{4}-\dfrac{21}{4}$,解得$x=\pm\dfrac{2}{3}$,所以点$P$的坐标为$(\dfrac{2}{3},2)$或$(-\dfrac{2}{3},-2)$.
(2)将方程组$\begin{cases}3x-y=0,\\\dfrac{1}{2}x+y=b\end{cases}$整理,得$\begin{cases}y=3x,\\y=-\dfrac{1}{2}x+b\end{cases}$,由二元一次方程组与一次函数的关系可知,方程组$\begin{cases}y=3x,\\y=-\dfrac{1}{2}x+b\end{cases}$的解为直线$y=3x$与直线$y=-\dfrac{1}{2}x+b$的交点$C$的坐标,
故方程组$\begin{cases}3x-y=0,\\\dfrac{1}{2}x+y=b\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=3. \end{cases}$
(3)存在.因为点$P$在函数$y=3x$的图象上,所以设点$P$的坐标为$(x,3x)$,由一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+3.5$可知,点$A$的坐标为$(0,3.5)$,点$B$的坐标为$(7,0)$,所以$OA=3.5$,$OB=7$,所以$△ BOP$的面积为$\dfrac{1}{2}×7×|3x|$,$△ AOB$的面积为$\dfrac{1}{2}×7×3.5=\dfrac{49}{4}$,因为$△ BOP$的面积比$△ AOB$的面积少$\dfrac{21}{4}$,所以$\dfrac{1}{2}×7×|3x|=\dfrac{49}{4}-\dfrac{21}{4}$,解得$x=\pm\dfrac{2}{3}$,所以点$P$的坐标为$(\dfrac{2}{3},2)$或$(-\dfrac{2}{3},-2)$.
