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11.「2025陕西咸阳期中，★☆」某小型工厂生产碗团和大黄米两种产品，每天合计生产1200袋，两种产品的成本和售价如下表，设每天生产碗团x袋.
(1)用含x的整式表示每天的生产成本和每天获得的利润，并化简(利润=售价-成本).
(2)当x=400时，求每天的生产成本与每天获得的利润.
(1)用含x的整式表示每天的生产成本和每天获得的利润，并化简(利润=售价-成本).
(2)当x=400时，求每天的生产成本与每天获得的利润.
答案
(1)由题意可知,每天生产大黄米$(1200-x)$袋,则每天的生产成本为$35x+11(1200-x)=(24x+13200)$元,每天获得的利润为$(40-35)x+(13-11)×(1200-x)=(3x+2400)$元.
(2)当$x=400$时,每天的生产成本为$24×400+13200=22800$(元),每天获得的利润为$3×400+2400=3600$(元).
(2)当$x=400$时,每天的生产成本为$24×400+13200=22800$(元),每天获得的利润为$3×400+2400=3600$(元).
解析
【分析】
解题思路：(1)首先根据两种产品总生产数量为1200袋，碗团生产x袋，先得出大黄米的生产数量为(1200-x)袋。计算生产成本时，分别用碗团、大黄米的单位成本乘各自的生产数量，再求和即可得到总生产成本，最后化简整式。计算利润时，先算出每袋碗团和每袋大黄米的单位利润，再分别乘各自的生产数量，求和后化简得到总利润。(2)第二问属于代数式求值，直接把x=400代入第一问得到的生产成本和利润的代数式中，计算出结果即可。
【解析】
(1) 已知每天生产碗团x袋，两种产品每天共生产1200袋，因此每天生产大黄米$(1200-x)$袋。
计算每天的生产成本：
$\begin{aligned}\mathrm{生产成本}&= \mathrm{碗团总成本}+\mathrm{大黄米总成本}\\&=35x + 11(1200-x)\\&=35x +13200 -11x\\&=(24x+13200)\mathrm{元}\end{aligned}$
计算每天的利润：
每袋碗团利润为$40-35=5$元，每袋大黄米利润为$13-11=2$元
$\begin{aligned}\mathrm{总利润}&= \mathrm{碗团总利润}+\mathrm{大黄米总利润}\\&=5x + 2(1200-x)\\&=5x +2400 -2x\\&=(3x+2400)\mathrm{元}\end{aligned}$
(2)当$x=400$时，
每天的生产成本：$24×400 +13200 =9600+13200=22800$元
每天获得的利润：$3×400 +2400=1200+2400=3600$元
【答案】
(1)每天的生产成本为$(24x+13200)$元，每天获得的利润为$(3x+2400)$元；
(2)当$x=400$时，每天的生产成本为22800元，每天获得的利润为3600元。
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题是常见的实际应用类题目，核心是梳理清楚数量、单位成本、单位利润、总成本、总利润之间的对应关系，正确列出代数式后按规则化简、代入计算即可。
【难度系数】
0.8
解题思路：(1)首先根据两种产品总生产数量为1200袋，碗团生产x袋，先得出大黄米的生产数量为(1200-x)袋。计算生产成本时，分别用碗团、大黄米的单位成本乘各自的生产数量，再求和即可得到总生产成本，最后化简整式。计算利润时，先算出每袋碗团和每袋大黄米的单位利润，再分别乘各自的生产数量，求和后化简得到总利润。(2)第二问属于代数式求值，直接把x=400代入第一问得到的生产成本和利润的代数式中，计算出结果即可。
【解析】
(1) 已知每天生产碗团x袋，两种产品每天共生产1200袋，因此每天生产大黄米$(1200-x)$袋。
计算每天的生产成本：
$\begin{aligned}\mathrm{生产成本}&= \mathrm{碗团总成本}+\mathrm{大黄米总成本}\\&=35x + 11(1200-x)\\&=35x +13200 -11x\\&=(24x+13200)\mathrm{元}\end{aligned}$
计算每天的利润：
每袋碗团利润为$40-35=5$元，每袋大黄米利润为$13-11=2$元
$\begin{aligned}\mathrm{总利润}&= \mathrm{碗团总利润}+\mathrm{大黄米总利润}\\&=5x + 2(1200-x)\\&=5x +2400 -2x\\&=(3x+2400)\mathrm{元}\end{aligned}$
(2)当$x=400$时，
每天的生产成本：$24×400 +13200 =9600+13200=22800$元
每天获得的利润：$3×400 +2400=1200+2400=3600$元
【答案】
(1)每天的生产成本为$(24x+13200)$元，每天获得的利润为$(3x+2400)$元；
(2)当$x=400$时，每天的生产成本为22800元，每天获得的利润为3600元。
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题是常见的实际应用类题目，核心是梳理清楚数量、单位成本、单位利润、总成本、总利润之间的对应关系，正确列出代数式后按规则化简、代入计算即可。
【难度系数】
0.8
12.核心素养 运算能力 阅读材料：“整体思想”是中学数学解题的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把$(a+b)$看成一个整体，则$4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b)$。
（1）尝试应用：把$(a-b)^2$看成一个整体，合并$3(a-b)^2 -5(a-b)^2 +7(a-b)^2$的结果是
（2）拓展探索：已知$xy+x=-1$，$y-xy=-2$，求代数式$2[x+(xy-y)^2]-3[(xy+x)^2 -xy]-xy$的值。
（1）尝试应用：把$(a-b)^2$看成一个整体，合并$3(a-b)^2 -5(a-b)^2 +7(a-b)^2$的结果是
$5(a-b)^2$
。（2）拓展探索：已知$xy+x=-1$，$y-xy=-2$，求代数式$2[x+(xy-y)^2]-3[(xy+x)^2 -xy]-xy$的值。
答案
(1)$5(a-b)^2$.
(2)因为$xy+x=-1$,$y-xy=-2$,
所以原式$=2[x+(y-xy)^2]-3[(xy+x)^2-xy]-xy$
$=2[x+(-2)^2]-3[(-1)^2-xy]-xy$
$=2(x+4)-3(1-xy)-xy$
$=2x+8-3+3xy-xy$
$=2xy+2x+5$
$=2(xy+x)+5$
$=2×(-1)+5=3$.
(2)因为$xy+x=-1$,$y-xy=-2$,
所以原式$=2[x+(y-xy)^2]-3[(xy+x)^2-xy]-xy$
$=2[x+(-2)^2]-3[(-1)^2-xy]-xy$
$=2(x+4)-3(1-xy)-xy$
$=2x+8-3+3xy-xy$
$=2xy+2x+5$
$=2(xy+x)+5$
$=2×(-1)+5=3$.
解析
【分析】
（1）第（1）问运用整体思想，将$(a-b)^2$看作一类同类项，按照合并同类项“系数相加减，字母和字母的指数不变”的规则，只需计算系数$3-5+7$的结果，再乘$(a-b)^2$即可得到答案。
（2）第（2）问先观察已知条件和待求代数式的结构：已知$xy+x=-1$，$y-xy=-2$，待求式中$(xy-y)^2=(y-xy)^2$，$(xy+x)^2$可直接代入已知值，先把两个整体的值代入原式，再通过去括号、合并同类项化简，最后将化简结果整理为含$xy+x$的形式，再次整体代入求值即可，无需单独求解x、y的具体值。
【解析】
（1）把$(a-b)^2$看成一个整体，合并同类项得：
$3(a-b)^2 -5(a-b)^2 +7(a-b)^2=(3-5+7)(a-b)^2=5(a-b)^2$
（2）已知$xy+x=-1$，$y-xy=-2$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2[x+(y-xy)^2]-3[(xy+x)^2 -xy]-xy\\&=2[x+(-2)^2]-3[(-1)^2-xy]-xy\\&=2(x+4)-3(1-xy)-xy\\&=2x+8-3+3xy-xy\\&=2x+2xy+5\\&=2(xy+x)+5\end{aligned}$
再将$xy+x=-1$代入上式，得：$2×(-1)+5=3$
【答案】
（1）$5(a-b)^2$；（2）$3$
【知识点】
整体代入思想；整式的化简求值；合并同类项
【点评】
本题围绕整式加减的常用技巧设计，既考查了基础的合并同类项、去括号运算能力，又考查了对代数式结构的观察分析能力，掌握整体代换的技巧能大幅简化求值类题目的计算过程，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.7
（1）第（1）问运用整体思想，将$(a-b)^2$看作一类同类项，按照合并同类项“系数相加减，字母和字母的指数不变”的规则，只需计算系数$3-5+7$的结果，再乘$(a-b)^2$即可得到答案。
（2）第（2）问先观察已知条件和待求代数式的结构：已知$xy+x=-1$，$y-xy=-2$，待求式中$(xy-y)^2=(y-xy)^2$，$(xy+x)^2$可直接代入已知值，先把两个整体的值代入原式，再通过去括号、合并同类项化简，最后将化简结果整理为含$xy+x$的形式，再次整体代入求值即可，无需单独求解x、y的具体值。
【解析】
（1）把$(a-b)^2$看成一个整体，合并同类项得：
$3(a-b)^2 -5(a-b)^2 +7(a-b)^2=(3-5+7)(a-b)^2=5(a-b)^2$
（2）已知$xy+x=-1$，$y-xy=-2$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2[x+(y-xy)^2]-3[(xy+x)^2 -xy]-xy\\&=2[x+(-2)^2]-3[(-1)^2-xy]-xy\\&=2(x+4)-3(1-xy)-xy\\&=2x+8-3+3xy-xy\\&=2x+2xy+5\\&=2(xy+x)+5\end{aligned}$
再将$xy+x=-1$代入上式，得：$2×(-1)+5=3$
【答案】
（1）$5(a-b)^2$；（2）$3$
【知识点】
整体代入思想；整式的化简求值；合并同类项
【点评】
本题围绕整式加减的常用技巧设计，既考查了基础的合并同类项、去括号运算能力，又考查了对代数式结构的观察分析能力，掌握整体代换的技巧能大幅简化求值类题目的计算过程，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.7
1.「2026浙江金华东阳期中」关于$d+c$与$d-c$的大小关系,下列说法正确的是 (
A.仅与$c$有关
B.仅与$d$有关
C.与$d,c$都有关
D.与$d,c$都无关
2.「2026江苏盐城盐都期中」若$M=a^2+a+4$,$N=a-1$,则$M,N$的大小关系为(
A.$M＜N$
B.$M＞N$
C.$M=N$
D.$M≥N$
A
)A.仅与$c$有关
B.仅与$d$有关
C.与$d,c$都有关
D.与$d,c$都无关
2.「2026江苏盐城盐都期中」若$M=a^2+a+4$,$N=a-1$,则$M,N$的大小关系为(
B
)A.$M＜N$
B.$M＞N$
C.$M=N$
D.$M≥N$
答案
1.$(d+c)-(d-c)=d+c-d+c=2c$.
若$c＞0$,即$2c＞0$,则$d+c＞d-c$,
若$c=0$,即$2c=0$,则$d+c=d-c$,
若$c＜0$,即$2c＜0$,则$d+c＜d-c$,
所以$d+c$与$d-c$的大小关系仅与$c$有关.
故选A.
2. 因为$M=a^2+a+4$,$N=a-1$,
所以$M-N=a^2+a+4-(a-1)=a^2+a+4-a+1=a^2+5＞0$,
所以$M＞N$.故选B.
若$c＞0$,即$2c＞0$,则$d+c＞d-c$,
若$c=0$,即$2c=0$,则$d+c=d-c$,
若$c＜0$,即$2c＜0$,则$d+c＜d-c$,
所以$d+c$与$d-c$的大小关系仅与$c$有关.
故选A.
2. 因为$M=a^2+a+4$,$N=a-1$,
所以$M-N=a^2+a+4-(a-1)=a^2+a+4-a+1=a^2+5＞0$,
所以$M＞N$.故选B.
解析
【分析】
比较两个整式的大小常用作差法，解题步骤为：作差→化简差→判断差的正负→得出大小关系。
第1题：先对$d+c$和$d-c$作差，化简后观察结果中含有的字母，即可判断大小关系和哪个变量相关；
第2题：对$M$和$N$作差，化简后结合平方数的非负性判断差的正负，即可得到$M$和$N$的大小关系。
【解析】
1. 采用作差法比较$d+c$与$d-c$的大小：
$(d+c)-(d-c)=d+c-d+c=2c$
若$c＞0$，则$2c＞0$，可得$d+c＞d-c$；
若$c=0$，则$2c=0$，可得$d+c=d-c$；
若$c＜0$，则$2c＜0$，可得$d+c＜d-c$；
因此$d+c$与$d-c$的大小关系仅与$c$有关。
2. 采用作差法比较$M$和$N$的大小：
已知$M=a^2+a+4$，$N=a-1$，则
$M-N=a^2+a+4-(a-1)=a^2+a+4-a+1=a^2+5$
因为任意数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，所以$a^2+5≥5＞0$，即$M-N＞0$，因此$M＞N$。
【答案】
1. A；2. B
【知识点】
作差法比较大小、整式的加减运算、平方的非负性
【点评】
这两道题是比较整式大小的基础题型，核心考察作差法的应用，只要掌握“作差、化简、判正负”的步骤，结合整式加减运算法则和非负数的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
比较两个整式的大小常用作差法，解题步骤为：作差→化简差→判断差的正负→得出大小关系。
第1题：先对$d+c$和$d-c$作差，化简后观察结果中含有的字母，即可判断大小关系和哪个变量相关；
第2题：对$M$和$N$作差，化简后结合平方数的非负性判断差的正负，即可得到$M$和$N$的大小关系。
【解析】
1. 采用作差法比较$d+c$与$d-c$的大小：
$(d+c)-(d-c)=d+c-d+c=2c$
若$c＞0$，则$2c＞0$，可得$d+c＞d-c$；
若$c=0$，则$2c=0$，可得$d+c=d-c$；
若$c＜0$，则$2c＜0$，可得$d+c＜d-c$；
因此$d+c$与$d-c$的大小关系仅与$c$有关。
2. 采用作差法比较$M$和$N$的大小：
已知$M=a^2+a+4$，$N=a-1$，则
$M-N=a^2+a+4-(a-1)=a^2+a+4-a+1=a^2+5$
因为任意数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，所以$a^2+5≥5＞0$，即$M-N＞0$，因此$M＞N$。
【答案】
1. A；2. B
【知识点】
作差法比较大小、整式的加减运算、平方的非负性
【点评】
这两道题是比较整式大小的基础题型，核心考察作差法的应用，只要掌握“作差、化简、判正负”的步骤，结合整式加减运算法则和非负数的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 学科 特色 分类讨论思想 对于有理数$ m,n $,定义一种新运算“△”,规定$ m△n=3m-4n $.若$ P=x△(-2) $, $ Q=\frac{8}{3}△x $,试比较$ P $与$ Q $的大小.
答案
因为$P=x△(-2)$,$Q=\frac{8}{3}△x$,
所以$P=3x-4×(-2)=3x+8$,$Q=3×\frac{8}{3}-4x=8-4x$,
所以$P-Q=3x+8-(8-4x)=7x$.
分情况讨论:当$x＞0$时,$7x＞0$,则$P＞Q$;
当$x=0$时,$7x=0$,则$P=Q$;
当$x＜0$时,$7x＜0$,则$P＜Q$.
所以$P=3x-4×(-2)=3x+8$,$Q=3×\frac{8}{3}-4x=8-4x$,
所以$P-Q=3x+8-(8-4x)=7x$.
分情况讨论:当$x＞0$时,$7x＞0$,则$P＞Q$;
当$x=0$时,$7x=0$,则$P=Q$;
当$x＜0$时,$7x＜0$,则$P＜Q$.
解析
【分析】
解题时首先要准确理解新定义运算的规则，先将P、Q按照新运算的要求转化为含x的整式；接下来比较两个代数式大小常用作差法，计算P与Q的差，通过判断差的正负确定P、Q的大小关系；由于差的结果含未知数x，x的正负性不确定，因此需要分x＞0、x=0、x＜0三种情况分类讨论，最终得出不同情况下P和Q的大小关系。
【解析】
根据新运算规则$m△n=3m-4n$，分别计算P、Q：
$P=x△(-2)=3x - 4×(-2)=3x+8$
$Q=\frac{8}{3}△x=3×\frac{8}{3} - 4x=8-4x$
计算$P-Q$得：
$P-Q=(3x+8)-(8-4x)=3x+8-8+4x=7x$
分三种情况讨论：
1. 当$x＞0$时，$7x＞0$，即$P-Q＞0$，因此$P＞Q$；
2. 当$x=0$时，$7x=0$，即$P-Q=0$，因此$P=Q$；
3. 当$x＜0$时，$7x＜0$，即$P-Q＜0$，因此$P＜Q$。
【答案】
当$x＞0$时，$P＞Q$；当$x=0$时，$P=Q$；当$x＜0$时，$P＜Q$
【知识点】
新定义运算、作差法比较大小、分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义运算考查整式的加减运算，解题核心是正确根据新规则转化代数式，掌握作差法比较大小的逻辑，需注意对未知数的取值情况分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解新定义运算的规则，先将P、Q按照新运算的要求转化为含x的整式；接下来比较两个代数式大小常用作差法，计算P与Q的差，通过判断差的正负确定P、Q的大小关系；由于差的结果含未知数x，x的正负性不确定，因此需要分x＞0、x=0、x＜0三种情况分类讨论，最终得出不同情况下P和Q的大小关系。
【解析】
根据新运算规则$m△n=3m-4n$，分别计算P、Q：
$P=x△(-2)=3x - 4×(-2)=3x+8$
$Q=\frac{8}{3}△x=3×\frac{8}{3} - 4x=8-4x$
计算$P-Q$得：
$P-Q=(3x+8)-(8-4x)=3x+8-8+4x=7x$
分三种情况讨论：
1. 当$x＞0$时，$7x＞0$，即$P-Q＞0$，因此$P＞Q$；
2. 当$x=0$时，$7x=0$，即$P-Q=0$，因此$P=Q$；
3. 当$x＜0$时，$7x＜0$，即$P-Q＜0$，因此$P＜Q$。
【答案】
当$x＞0$时，$P＞Q$；当$x=0$时，$P=Q$；当$x＜0$时，$P＜Q$
【知识点】
新定义运算、作差法比较大小、分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义运算考查整式的加减运算，解题核心是正确根据新规则转化代数式，掌握作差法比较大小的逻辑，需注意对未知数的取值情况分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
