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1. 方程组$\begin{cases}x+2y=0 \\ 3x+4y=6\end{cases}$的解是( )
A.$\begin{cases} x=6 \\ y=-3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=5 \\ y=-4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=4 \\ y=-5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=3 \\ y=-6 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=6 \\ y=-3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=5 \\ y=-4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=4 \\ y=-5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=3 \\ y=-6 \end{cases}$
答案
1.A
解析
【分析】
这是二元一次方程组求解的基础题，核心思路是通过消元把二元方程转化为已学的一元一次方程求解。观察第一个方程$x+2y=0$，很容易用含$y$的式子表示$x$，选择代入消元法计算更简便，求出两个未知数的取值后匹配选项即可，也可直接将选项代入方程组验证是否同时满足两个方程。
【解析】
先给方程组标注序号：
$\begin{cases}x+2y=0 ① \\ 3x+4y=6 ②\end{cases}$
用代入消元法求解：
由①式移项可得：$x=-2y$ ③
将③代入②式，替换式中的$x$：
$3×(-2y)+4y=6$
化简计算得：$-6y+4y=6$，即$-2y=6$，解得$y=-3$
把$y=-3$代入③式，得$x=-2×(-3)=6$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=6 \\ y=-3 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组求解，代入消元法
【点评】
本题是方程组求解的基础题型，重点考查消元思想，掌握代入消元、加减消元两种常规解法即可快速解题，也可通过代入选项验证的方法提升做题效率。
【难度系数】
0.8
这是二元一次方程组求解的基础题，核心思路是通过消元把二元方程转化为已学的一元一次方程求解。观察第一个方程$x+2y=0$，很容易用含$y$的式子表示$x$，选择代入消元法计算更简便，求出两个未知数的取值后匹配选项即可，也可直接将选项代入方程组验证是否同时满足两个方程。
【解析】
先给方程组标注序号：
$\begin{cases}x+2y=0 ① \\ 3x+4y=6 ②\end{cases}$
用代入消元法求解：
由①式移项可得：$x=-2y$ ③
将③代入②式，替换式中的$x$：
$3×(-2y)+4y=6$
化简计算得：$-6y+4y=6$，即$-2y=6$，解得$y=-3$
把$y=-3$代入③式，得$x=-2×(-3)=6$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=6 \\ y=-3 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组求解，代入消元法
【点评】
本题是方程组求解的基础题型，重点考查消元思想，掌握代入消元、加减消元两种常规解法即可快速解题，也可通过代入选项验证的方法提升做题效率。
【难度系数】
0.8
2. 有长短两条绳子,长绳是短绳的两倍,它们一共长5 m,则长绳和短绳的长分别为(
A.3 m,2 m
B.$\frac{7}{2}$ m,$\frac{3}{2}$ m
C.$\frac{15}{3}$ m,$\frac{10}{3}$ m
D.$\frac{10}{3}$ m,$\frac{5}{3}$ m
D
)A.3 m,2 m
B.$\frac{7}{2}$ m,$\frac{3}{2}$ m
C.$\frac{15}{3}$ m,$\frac{10}{3}$ m
D.$\frac{10}{3}$ m,$\frac{5}{3}$ m
答案
2.D
解析
【分析】
这是一道典型的和倍问题，我们可以用七年级刚学的一元一次方程来求解：首先设短绳的长度为未知数，根据长绳是短绳的2倍表示出长绳的长度；再依据“两条绳子总长5m”的等量关系列出方程；最后解方程算出短绳长度，再推导长绳长度，匹配对应选项即可。
【解析】
设短绳的长度为$ x $ m，已知长绳是短绳的两倍，则长绳的长度为$ 2x $ m。
根据两条绳子总长度为5m，可列方程：
$ x + 2x = 5 $
合并同类项得：$ 3x = 5 $
解得：$ x = \frac{5}{3} $
则长绳长度为$ 2x = 2×\frac{5}{3} = \frac{10}{3} $ m
因此长绳长$\frac{10}{3}$ m，短绳长$\frac{5}{3}$ m，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；和倍问题计算
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查对数量间倍数关系、和的关系的理解，用方程法或者份数分配法都可快速求解，掌握基础等量关系是解题的核心。
【难度系数】
0.9
这是一道典型的和倍问题，我们可以用七年级刚学的一元一次方程来求解：首先设短绳的长度为未知数，根据长绳是短绳的2倍表示出长绳的长度；再依据“两条绳子总长5m”的等量关系列出方程；最后解方程算出短绳长度，再推导长绳长度，匹配对应选项即可。
【解析】
设短绳的长度为$ x $ m，已知长绳是短绳的两倍，则长绳的长度为$ 2x $ m。
根据两条绳子总长度为5m，可列方程：
$ x + 2x = 5 $
合并同类项得：$ 3x = 5 $
解得：$ x = \frac{5}{3} $
则长绳长度为$ 2x = 2×\frac{5}{3} = \frac{10}{3} $ m
因此长绳长$\frac{10}{3}$ m，短绳长$\frac{5}{3}$ m，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；和倍问题计算
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查对数量间倍数关系、和的关系的理解，用方程法或者份数分配法都可快速求解，掌握基础等量关系是解题的核心。
【难度系数】
0.9
二、知识应用
1. 甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步，相向而行，每隔2分钟两人相遇一次；同向而行，每隔6分钟相遇一次。已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分钟各跑多少圈？
如果设甲每分钟跑$x$圈，乙每分钟跑$y$圈，根据题意可得方程组$\begin{cases} $
$ \end{cases}$。
1. 甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步，相向而行，每隔2分钟两人相遇一次；同向而行，每隔6分钟相遇一次。已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分钟各跑多少圈？
如果设甲每分钟跑$x$圈，乙每分钟跑$y$圈，根据题意可得方程组$\begin{cases} $
$ \end{cases}$。答案
1.$\begin{cases} 2x+2y=1 \\ 6x-6y=1 \end{cases}$
解析
【分析】
要列出符合题意的方程组，需要分别分析两种运动场景下的等量关系：首先是相向而行的相遇场景，两人相遇时共同跑完的总路程为1圈；其次是同向而行的追及场景，因为甲速度更快，相遇时甲比乙多跑的路程为1圈，结合设出的未知数，分别根据两个等量关系列方程即可。
【解析】
1. 分析相向而行的情况：
甲每分钟跑$x$圈，2分钟跑$2x$圈；乙每分钟跑$y$圈，2分钟跑$2y$圈。两人2分钟相遇时总路程为1圈，因此列方程：$2x+2y=1$。
2. 分析同向而行的情况：
甲6分钟跑$6x$圈，乙6分钟跑$6y$圈。甲比乙快，6分钟相遇时甲比乙多跑1圈，因此列方程：$6x-6y=1$。
将两个方程联立，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} 2x+2y=1 \\ 6x-6y=1 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组应用，环形行程问题
【点评】
本题是典型的行程类方程建模题，关键是区分相向、同向运动时对应的路程和、路程差的规律，掌握相遇、追及问题的核心等量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.7
要列出符合题意的方程组，需要分别分析两种运动场景下的等量关系：首先是相向而行的相遇场景，两人相遇时共同跑完的总路程为1圈；其次是同向而行的追及场景，因为甲速度更快，相遇时甲比乙多跑的路程为1圈，结合设出的未知数，分别根据两个等量关系列方程即可。
【解析】
1. 分析相向而行的情况：
甲每分钟跑$x$圈，2分钟跑$2x$圈；乙每分钟跑$y$圈，2分钟跑$2y$圈。两人2分钟相遇时总路程为1圈，因此列方程：$2x+2y=1$。
2. 分析同向而行的情况：
甲6分钟跑$6x$圈，乙6分钟跑$6y$圈。甲比乙快，6分钟相遇时甲比乙多跑1圈，因此列方程：$6x-6y=1$。
将两个方程联立，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} 2x+2y=1 \\ 6x-6y=1 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组应用，环形行程问题
【点评】
本题是典型的行程类方程建模题，关键是区分相向、同向运动时对应的路程和、路程差的规律，掌握相遇、追及问题的核心等量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.7
2. 甲、乙两人同时做一种零件，工作1小时，可做6个；工作3小时，甲比乙多做6个，则甲每小时做
4
个，乙每小时做2
个。答案
2.4,2
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先梳理题目中的两个等量关系：①甲1小时做的零件数+乙1小时做的零件数=6个；②甲3小时做的零件数-乙3小时做的零件数=6个。我们可以通过设未知数列方程组的方法求解，也可以先算出甲乙的效率和与效率差，用和差规律直接计算，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一（方程法）：
设甲每小时做$x$个零件，乙每小时做$y$个零件。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 6 \\3x - 3y = 6\end{cases}$
化简第二个方程，两边同时除以3得：$x - y = 2$
将两个方程相加消去$y$：$(x + y)+(x - y)=6+2$，即$2x=8$，解得$x=4$
把$x=4$代入$x + y = 6$，得$4+y=6$，解得$y=2$
方法二（和差法）：
已知甲乙1小时共做6个，即两人效率和为6个/小时；
3小时甲比乙多做6个，那么每小时甲比乙多做$6÷3=2$个，即两人效率差为2个/小时，且甲效率更高。
根据和差公式：较大数=（和+差）÷2，较小数=（和-差）÷2
甲每小时做：$(6+2)÷2=4$（个）
乙每小时做：$(6-2)÷2=2$（个）
【答案】
4，2
【知识点】
二元一次方程组应用，工程问题，和差问题
【点评】
本题属于基础的工程类应用题，解题核心是找准题目中的等量关系，两种解题方法都较为简便，主要考察学生把实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要先梳理题目中的两个等量关系：①甲1小时做的零件数+乙1小时做的零件数=6个；②甲3小时做的零件数-乙3小时做的零件数=6个。我们可以通过设未知数列方程组的方法求解，也可以先算出甲乙的效率和与效率差，用和差规律直接计算，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一（方程法）：
设甲每小时做$x$个零件，乙每小时做$y$个零件。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 6 \\3x - 3y = 6\end{cases}$
化简第二个方程，两边同时除以3得：$x - y = 2$
将两个方程相加消去$y$：$(x + y)+(x - y)=6+2$，即$2x=8$，解得$x=4$
把$x=4$代入$x + y = 6$，得$4+y=6$，解得$y=2$
方法二（和差法）：
已知甲乙1小时共做6个，即两人效率和为6个/小时；
3小时甲比乙多做6个，那么每小时甲比乙多做$6÷3=2$个，即两人效率差为2个/小时，且甲效率更高。
根据和差公式：较大数=（和+差）÷2，较小数=（和-差）÷2
甲每小时做：$(6+2)÷2=4$（个）
乙每小时做：$(6-2)÷2=2$（个）
【答案】
4，2
【知识点】
二元一次方程组应用，工程问题，和差问题
【点评】
本题属于基础的工程类应用题，解题核心是找准题目中的等量关系，两种解题方法都较为简便，主要考察学生把实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
3. 用一根绳子环绕一棵大树,若环绕大树3周,则绳子还多4尺;若环绕大树4周,则绳子少3尺,这根绳子长
25
尺.答案
3.25
解析
【分析】
这道题是一元一次方程的实际应用题，解题核心是抓住不变量：绳子的总长度固定不变。我们可以先设大树一周的长度为未知数，分别用两种环绕情况表示绳子总长，根据总长相等列方程，先求出大树的周长，再代入计算就能得到绳子的长度。
【解析】
解：设环绕大树1周需要$ x $尺。
根据绳子总长度不变，可列方程：
$ 3x + 4 = 4x - 3 $
移项计算得：
$ 4 + 3 = 4x - 3x $
解得$ x = 7 $
将$ x=7 $代入$ 3x+4 $，得绳子长度为：
$ 3×7 + 4 = 25 $（尺）
【答案】
25
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系建立
【点评】
本题属于典型的盈亏类实际应用题，解题关键是从题目中找到不变的量建立等式，考察将实际问题转化为数学方程的能力，用方程法解决此类问题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
这道题是一元一次方程的实际应用题，解题核心是抓住不变量：绳子的总长度固定不变。我们可以先设大树一周的长度为未知数，分别用两种环绕情况表示绳子总长，根据总长相等列方程，先求出大树的周长，再代入计算就能得到绳子的长度。
【解析】
解：设环绕大树1周需要$ x $尺。
根据绳子总长度不变，可列方程：
$ 3x + 4 = 4x - 3 $
移项计算得：
$ 4 + 3 = 4x - 3x $
解得$ x = 7 $
将$ x=7 $代入$ 3x+4 $，得绳子长度为：
$ 3×7 + 4 = 25 $（尺）
【答案】
25
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系建立
【点评】
本题属于典型的盈亏类实际应用题，解题关键是从题目中找到不变的量建立等式，考察将实际问题转化为数学方程的能力，用方程法解决此类问题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
