11.[数形结合]如图，抛物线$y=ax^2+c$经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）


A.－1
B.－2
C.－3
D.－4

11.B

12.将抛物线$y=2x^2$的图象向下平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为。

12.$y=2x^2-1$

13.[新考向·新定义试题]若抛物线$y=ax^2+c$与$x$轴交于点$A(m,0),B(n,0)$,与$y$轴交于点$C(0,c)$,则称$△ ABC$为“抛物三角形”.特别地,当$mnc＜0$时,称$△ ABC$为“正抛物三角形”;当$mnc＞0$时,称$△ ABC$为“倒抛物三角形”,那么,当$△ ABC$为“倒抛物三角形”时,$a,c$应分别满足的条件是.

13.$a＞0,c＜0$
[解析]
∵抛物线$y=ax^2 +c$的对称轴是y轴，
∴$A(m,0),B(n,0)$关于y轴对称，
∴$mn＜0.$又
∵$mnc＞0$，
∴$c＜0.$又
∵抛物线$y=ax^2 +c$与x轴交于两点，
∴函数图象开口向上，
∴$a＞0.$

14.抛物线 $y=2x^2 + n$ 与直线 $y=2x - 1$ 交于点 $M(m,3)$。
(1)求 $m$ 和 $n$ 的值；
(2)求抛物线 $y=2x^2 + n$ 的顶点坐标和对称轴；
(3)对于二次函数 $y=2x^2 + n$，当 $x$ 在什么范围时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小？

14.解:(1)
∵抛物线 $y=2x^2 +n$ 与直线 $y=2x -1$ 交于点 $M(m,3)$,
∴将点 $M(m,3)$ 代入 $y=2x -1$,得 $3=2m -1$,解得 $m=2$,
∴将$(2,3)$代入 $y=2x^2 +n$,得 $3=8+n$,解得 $n=-5.$
(2)根据(1)得出 $y=2x^2 -5$,顶点坐标为$(0,-5)$,对称轴为y轴.
(3)
∵抛物线开口向上,
∴当 $x＜0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小.

15.若二次函数 $ y = ax^2 + b $ 的最大值为4，且该函数的图象经过点 $ A(1,3) $。
(1)求 $ a,b $ 的值以及顶点 $ D $ 的坐标；
(2)直接写出这个函数图象关于 $ x $ 轴对称的图象所对应的函数表达式；
(3)在该函数图象上是否存在点 $ B $，使得 $ S_{△ DOB} = 2S_{△ AOD} $？若存在，请求出点 $ B $ 的坐标；若不存在，请说明理由。

15.解:(1)由二次函数 $y=ax^2 +b$ 的最大值为4 可知 $b=4.$
∵该函数的图象经过点 $A(1,3),∴3=a+4$,解得 $a=-1.$故该二次函数的表达式为 $y=-x^2 +4$,
∴顶点 $D$ 的坐标为$(0,4).$
(2)$y=x^2 -4.$
(3)存在.假设存在点 $B(x,y).∵S_{△DOB}=2S_{△AOD},∴\frac{1}{2}OD×|x|=2×\frac{1}{2}OD×1$,解得 $x=±2.$当 $x=2$ 时,$y=-x^2 +4=0$;当 $x=-2$ 时,$y=-x^2 +4=0$,
∴在该函数图象上存在满足条件的点 $B$,它的坐标为$(2,0)$或$(-2,0).$

16.[推理能力]在平面直角坐标系中，已知顶点为$P(0,2)$的二次函数图象与$x$轴交于$A,B$两点，点$A$的坐标为$(2,0)$。
(1)求该二次函数的表达式，并写出点$B$的坐标；
(2)若点$C$在该二次函数的图象上，当$△ ABC$的面积为12时，求点$C$的坐标。

16.解:(1)设二次函数的表达式为 $y=ax^2 +2.$把点$(2,0)$代入表达式,得 $a=-\frac{1}{2}$,
∴该二次函数的表达式为 $y=-\frac{1}{2}x^2 +2$,点 $B$ 的坐标为$(-2,0).$
(2)分两种情况:①当点 $C$ 在 $x$ 轴上方时,$∵S_{△PAB}=\frac{1}{2}×4×2=4＜12,$
∴这种情况不存在.②当点 $C$ 在 $x$ 轴下方时,过点 $C$ 作 $CH⊥x$ 轴于点 $H$.设点 $C$ 的横坐标为 $m$,
∴$CH=\frac{1}{2}m^2 -2$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×(\frac{1}{2}m^2 -2)=12$,解得 $m=±4.$综上所述,点 $C$ 的坐标为$(4,-6)$或$(-4,-6).$