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1[2026山东济南期中]如图所示的三个三角形中，相似的是（
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
A
）A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
1. A 【解析】①180°−65°−71°=44°,所以三个内角分别为71°,65°,44°. ②180°−71°−44°=65°,所以三个内角分别为71°,65°,44°. ③180°−71°−67°=42°,所以三个内角分别为71°,67°,42°,只有①②的内角对应相等，因此①②相似。
解析
【分析】
要判断哪两个三角形相似，依据相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。首先需要利用三角形内角和为180°，分别计算出三个三角形的未知内角度数，再对比各三角形的内角度数，找到有两组角对应相等的三角形即为相似三角形。
【解析】
首先计算三个三角形的第三个内角：
对于三角形①：第三个角的度数为$180° - 71° - 65° = 44°$，因此三角形①的三个内角分别为$71°、65°、44°$；
对于三角形②：第三个角的度数为$180° - 71° - 44° = 65°$，因此三角形②的三个内角分别为$71°、44°、65°$；
对于三角形③：第三个角的度数为$180° - 71° - 67° = 42°$，因此三角形③的三个内角分别为$71°、67°、42°$。
根据相似三角形判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似，可知①和②有两组角对应相等，因此①和②相似，③和其余两个三角形没有两组对应相等的角，不相似。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 相似三角形的判定（两角法）
【点评】
本题属于基础题型，核心是对相似三角形判定定理的应用，解题时先通过内角和求出未知角，再对比角的相等关系即可得出结论，需要注意计算角度时不要出现运算错误。
【难度系数】
0.8
要判断哪两个三角形相似，依据相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。首先需要利用三角形内角和为180°，分别计算出三个三角形的未知内角度数，再对比各三角形的内角度数，找到有两组角对应相等的三角形即为相似三角形。
【解析】
首先计算三个三角形的第三个内角：
对于三角形①：第三个角的度数为$180° - 71° - 65° = 44°$，因此三角形①的三个内角分别为$71°、65°、44°$；
对于三角形②：第三个角的度数为$180° - 71° - 44° = 65°$，因此三角形②的三个内角分别为$71°、44°、65°$；
对于三角形③：第三个角的度数为$180° - 71° - 67° = 42°$，因此三角形③的三个内角分别为$71°、67°、42°$。
根据相似三角形判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似，可知①和②有两组角对应相等，因此①和②相似，③和其余两个三角形没有两组对应相等的角，不相似。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 相似三角形的判定（两角法）
【点评】
本题属于基础题型，核心是对相似三角形判定定理的应用，解题时先通过内角和求出未知角，再对比角的相等关系即可得出结论，需要注意计算角度时不要出现运算错误。
【难度系数】
0.8
2 如图，$△ ABC$中，点D在AB边上，点E在AC边上，且$∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$，则与$△ ADE$相似的三角形的个数为（）
A.4
B.3
C.2
D.1
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
C
解析
【分析】
要找出与△ADE相似的三角形，可利用相似三角形的判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似），结合已知∠1=∠2=∠3的条件逐步推导：首先利用∠1=∠2判断直线平行，推导角相等得到第一组相似三角形；再利用公共角∠A和∠1=∠3的条件，推导得到第二组相似三角形，统计符合要求的三角形个数即可。
【解析】
1. 证明△ADE∽△ABC：
已知∠1=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”可得DE//BC，因此∠AED=∠ACB。
又
∵∠A是△ADE和△ABC的公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ADE∽△ABC。
2. 证明△ADE∽△ACD：
已知∠1=∠3，且∠A是△ADE和△ACD的公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ADE∽△ACD。
综上，共有2个三角形与△ADE相似。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的判定与性质
【点评】
本题核心是运用两角相等判定三角形相似，解题时要注意挖掘公共角、等角、平行线推导的等角这些隐含条件，避免漏判相似三角形。
【难度系数】
0.7
要找出与△ADE相似的三角形，可利用相似三角形的判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似），结合已知∠1=∠2=∠3的条件逐步推导：首先利用∠1=∠2判断直线平行，推导角相等得到第一组相似三角形；再利用公共角∠A和∠1=∠3的条件，推导得到第二组相似三角形，统计符合要求的三角形个数即可。
【解析】
1. 证明△ADE∽△ABC：
已知∠1=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”可得DE//BC，因此∠AED=∠ACB。
又
∵∠A是△ADE和△ABC的公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ADE∽△ABC。
2. 证明△ADE∽△ACD：
已知∠1=∠3，且∠A是△ADE和△ACD的公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ADE∽△ACD。
综上，共有2个三角形与△ADE相似。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的判定与性质
【点评】
本题核心是运用两角相等判定三角形相似，解题时要注意挖掘公共角、等角、平行线推导的等角这些隐含条件，避免漏判相似三角形。
【难度系数】
0.7
3[2026安徽芜湖质检]如图,在$Rt△ ABC$中,$AC=6$,$BC=10$,点$D$在$BC$的延长线上,且$∠ BAD - ∠ B = 90°$,则$AD + CD$的值为 ()
A.20
B.30
C.40
D.16
A.20
B.30
C.40
D.16
答案
B
解析
【分析】
首先利用直角三角形的直角条件和已知的角的差的关系，推导得到相等的角$∠ CAD=∠ B$，结合公共角$∠ D$，可判定$△ DCA$与$△ DAB$相似；再用勾股定理算出$Rt△ ABC$中$AB$的长度，利用相似三角形对应边成比例得到各边的比例关系，最后通过整体代换求出$AD+CD$的值，无需单独求解未知数。
【解析】
1. 计算$AB$的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AC=6$，$BC=10$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
2. 证明三角形相似：
$\because ∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=90°+∠ CAD$，
已知$∠ BAD-∠ B=90°$，即$∠ BAD=90°+∠ B$，
$\therefore ∠ CAD=∠ B$。
又$\because ∠ D$是$△ DCA$和$△ DAB$的公共角，
$\therefore △ DCA ∽ △ DAB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. 利用相似性质推导边的关系：
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{DC}{DA}=\frac{DA}{DB}=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
设$CD=3k$，则$AD=4k$，$BD=BC+CD=10+3k$，代入$\frac{DA}{DB}=\frac{3}{4}$得：
$\frac{4k}{10+3k}=\frac{3}{4}$，
交叉相乘得：$16k=30+9k$，整理得$7k=30$。
4. 计算$AD+CD$：
$AD+CD=4k+3k=7k=30$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题的核心突破口是通过角的等量转换得到相似三角形，利用相似的边比例关系，采用整体代换的方式计算目标式，避免了单独求解未知数，简化了计算过程。
【难度系数】
0.6
首先利用直角三角形的直角条件和已知的角的差的关系，推导得到相等的角$∠ CAD=∠ B$，结合公共角$∠ D$，可判定$△ DCA$与$△ DAB$相似；再用勾股定理算出$Rt△ ABC$中$AB$的长度，利用相似三角形对应边成比例得到各边的比例关系，最后通过整体代换求出$AD+CD$的值，无需单独求解未知数。
【解析】
1. 计算$AB$的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AC=6$，$BC=10$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
2. 证明三角形相似：
$\because ∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=90°+∠ CAD$，
已知$∠ BAD-∠ B=90°$，即$∠ BAD=90°+∠ B$，
$\therefore ∠ CAD=∠ B$。
又$\because ∠ D$是$△ DCA$和$△ DAB$的公共角，
$\therefore △ DCA ∽ △ DAB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. 利用相似性质推导边的关系：
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{DC}{DA}=\frac{DA}{DB}=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
设$CD=3k$，则$AD=4k$，$BD=BC+CD=10+3k$，代入$\frac{DA}{DB}=\frac{3}{4}$得：
$\frac{4k}{10+3k}=\frac{3}{4}$，
交叉相乘得：$16k=30+9k$，整理得$7k=30$。
4. 计算$AD+CD$：
$AD+CD=4k+3k=7k=30$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题的核心突破口是通过角的等量转换得到相似三角形，利用相似的边比例关系，采用整体代换的方式计算目标式，避免了单独求解未知数，简化了计算过程。
【难度系数】
0.6
4[2026安徽六安校级期末]如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B=∠ACD,AB=6,AD=3,则AC的长为.
答案
$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$
解析
【分析】
首先根据AC平分∠BAD可得到一组相等的角，结合已知的∠B=∠ACD，可依据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC与△ACD相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出关于AC的比例式，代入已知边长即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC = ∠CAD，
又
∵∠B = ∠ACD，
∴△ABC ∽ △ACD（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD}$，
将AB=6，AD=3代入得：$\frac{6}{AC} = \frac{AC}{3}$，
∴$AC^2 = 6 × 3 = 18$，
∵AC为线段长度，取正值，
∴$AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
角平分线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是通过已知角的关系证明三角形相似，再借助相似的性质建立比例式求解未知线段，需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质。
【难度系数】
0.7
首先根据AC平分∠BAD可得到一组相等的角，结合已知的∠B=∠ACD，可依据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC与△ACD相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出关于AC的比例式，代入已知边长即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC = ∠CAD，
又
∵∠B = ∠ACD，
∴△ABC ∽ △ACD（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD}$，
将AB=6，AD=3代入得：$\frac{6}{AC} = \frac{AC}{3}$，
∴$AC^2 = 6 × 3 = 18$，
∵AC为线段长度，取正值，
∴$AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
角平分线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是通过已知角的关系证明三角形相似，再借助相似的性质建立比例式求解未知线段，需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质。
【难度系数】
0.7
5[2025安徽六安期中]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,D为边AB上一点,且$CD=CA$,过点D作$DE⊥ AB$,交BC于点E.求证:$△ CDE∽△ CBD$. 
答案
证明：
∵ CD = CA，
∴ ∠A = ∠CDA。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°。
∵ DE ⊥ AB，
∴ ∠EDB = 90°，即 ∠CDA + ∠CDE = 90°。
∴ ∠CDE = ∠B。
又∵ ∠DCE = ∠BCD，
∴ △CDE ∽ △CBD（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵ CD = CA，
∴ ∠A = ∠CDA。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°。
∵ DE ⊥ AB，
∴ ∠EDB = 90°，即 ∠CDA + ∠CDE = 90°。
∴ ∠CDE = ∠B。
又∵ ∠DCE = ∠BCD，
∴ △CDE ∽ △CBD（两角分别相等的两个三角形相似）。
解析
【分析】
要证明△CDE∽△CBD，可优先使用两角分别相等的相似三角形判定定理，因此我们需要推导两组对应相等的角：首先利用等腰三角形等边对等角的性质，由CD=CA得到∠A=∠CDA；再结合∠ACB=90°和DE⊥AB的直角条件，根据直角三角形两锐角互余，可得∠A+∠B=90°、∠CDA+∠CDE=90°，利用同角的余角相等即可推出∠CDE=∠B；最后两个三角形存在公共角∠DCE=∠BCD，满足两组对应角相等的相似判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ CD = CA，
∴ ∠A = ∠CDA。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°。
∵ DE ⊥ AB，
∴ ∠EDB = 90°，即 ∠CDA + ∠CDE = 90°。
∴ ∠CDE = ∠B。
又
∵ ∠DCE = ∠BCD，
∴ △CDE ∽ △CBD（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
∵ CD = CA，
∴ ∠A = ∠CDA。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°。
∵ DE ⊥ AB，
∴ ∠EDB = 90°，即 ∠CDA + ∠CDE = 90°。
∴ ∠CDE = ∠B。
又
∵ ∠DCE = ∠BCD，
∴ △CDE ∽ △CBD（两角分别相等的两个三角形相似）。
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；相似三角形的AA判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是通过等腰性质和余角的性质推导对应角相等，熟练掌握两角判定相似的方法可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.75
要证明△CDE∽△CBD，可优先使用两角分别相等的相似三角形判定定理，因此我们需要推导两组对应相等的角：首先利用等腰三角形等边对等角的性质，由CD=CA得到∠A=∠CDA；再结合∠ACB=90°和DE⊥AB的直角条件，根据直角三角形两锐角互余，可得∠A+∠B=90°、∠CDA+∠CDE=90°，利用同角的余角相等即可推出∠CDE=∠B；最后两个三角形存在公共角∠DCE=∠BCD，满足两组对应角相等的相似判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ CD = CA，
∴ ∠A = ∠CDA。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°。
∵ DE ⊥ AB，
∴ ∠EDB = 90°，即 ∠CDA + ∠CDE = 90°。
∴ ∠CDE = ∠B。
又
∵ ∠DCE = ∠BCD，
∴ △CDE ∽ △CBD（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
∵ CD = CA，
∴ ∠A = ∠CDA。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°。
∵ DE ⊥ AB，
∴ ∠EDB = 90°，即 ∠CDA + ∠CDE = 90°。
∴ ∠CDE = ∠B。
又
∵ ∠DCE = ∠BCD，
∴ △CDE ∽ △CBD（两角分别相等的两个三角形相似）。
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；相似三角形的AA判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是通过等腰性质和余角的性质推导对应角相等，熟练掌握两角判定相似的方法可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.75
6[2025安徽宁国期末]如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于点E,交BA的延长线于点F.求证:△APE∽△FPA. 
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CD=AD，∠CDP=∠ADP，CD//AB，
又∵ DP=DP，
∴ △CDP ≌ △ADP（SAS），
∴ ∠DCP = ∠DAP。
∵ CD//AB，
∴ ∠DCP = ∠F，
∴ ∠DAP = ∠F，即∠PAE = ∠F。
又∵ ∠APE = ∠FPA（公共角），
∴ △APE ∽ △FPA（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CD=AD，∠CDP=∠ADP，CD//AB，
又∵ DP=DP，
∴ △CDP ≌ △ADP（SAS），
∴ ∠DCP = ∠DAP。
∵ CD//AB，
∴ ∠DCP = ∠F，
∴ ∠DAP = ∠F，即∠PAE = ∠F。
又∵ ∠APE = ∠FPA（公共角），
∴ △APE ∽ △FPA（两角分别相等的两个三角形相似）。
解析
【分析】
要证明△APE∽△FPA，首先观察两个三角形的角的关系：二者有公共角∠APE=∠FPA，根据相似三角形的判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似），只需再证明一组对应角相等即可。结合菱形的性质推导等角：首先利用菱形边相等、对角线平分内角的性质，证明△CDP≌△ADP，得到∠DCP=∠DAP；再利用菱形对边平行的性质，得∠DCP=∠F，等量代换即可得到∠PAE=∠F，结合公共角即可完成相似证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CD=AD，∠CDP=∠ADP，CD//AB，
又
∵ DP=DP，
∴ △CDP ≌ △ADP（SAS），
∴ ∠DCP = ∠DAP。
∵ CD//AB，
∴ ∠DCP = ∠F，
∴ ∠DAP = ∠F，即∠PAE = ∠F。
又
∵ ∠APE = ∠FPA（公共角），
∴ △APE ∽ △FPA（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CD=AD，∠CDP=∠ADP，CD//AB，
又
∵ DP=DP，
∴ △CDP ≌ △ADP（SAS），
∴ ∠DCP = ∠DAP。
∵ CD//AB，
∴ ∠DCP = ∠F，
∴ ∠DAP = ∠F，即∠PAE = ∠F。
又
∵ ∠APE = ∠FPA（公共角），
∴ △APE ∽ △FPA（两角分别相等的两个三角形相似）。
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，将菱形、全等三角形、相似三角形的考点相结合考查，解题时可从结论倒推所需条件，再结合图形性质正向推导等角关系，即可顺利完成证明，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要证明△APE∽△FPA，首先观察两个三角形的角的关系：二者有公共角∠APE=∠FPA，根据相似三角形的判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似），只需再证明一组对应角相等即可。结合菱形的性质推导等角：首先利用菱形边相等、对角线平分内角的性质，证明△CDP≌△ADP，得到∠DCP=∠DAP；再利用菱形对边平行的性质，得∠DCP=∠F，等量代换即可得到∠PAE=∠F，结合公共角即可完成相似证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CD=AD，∠CDP=∠ADP，CD//AB，
又
∵ DP=DP，
∴ △CDP ≌ △ADP（SAS），
∴ ∠DCP = ∠DAP。
∵ CD//AB，
∴ ∠DCP = ∠F，
∴ ∠DAP = ∠F，即∠PAE = ∠F。
又
∵ ∠APE = ∠FPA（公共角），
∴ △APE ∽ △FPA（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CD=AD，∠CDP=∠ADP，CD//AB，
又
∵ DP=DP，
∴ △CDP ≌ △ADP（SAS），
∴ ∠DCP = ∠DAP。
∵ CD//AB，
∴ ∠DCP = ∠F，
∴ ∠DAP = ∠F，即∠PAE = ∠F。
又
∵ ∠APE = ∠FPA（公共角），
∴ △APE ∽ △FPA（两角分别相等的两个三角形相似）。
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，将菱形、全等三角形、相似三角形的考点相结合考查，解题时可从结论倒推所需条件，再结合图形性质正向推导等角关系，即可顺利完成证明，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
7[2025河北衡水冀州区期中]如图,在△ABC中,∠B=2∠C,利用尺规作图法在AC上求作一点D,连接BD,使得△ABD∽△ACB.(保留作图痕迹)
答案
解：
1. 以点B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
3. 作射线BP，交AC于点D，点D即为所求作的点。
验证：
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，
又∵∠B=2∠C，∴∠ABD=∠C，
又∵∠A=∠A，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ABD∽△ACB，符合要求。
（作图保留尺规作角平分线的所有圆弧痕迹，连接BD即可）
1. 以点B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
3. 作射线BP，交AC于点D，点D即为所求作的点。
验证：
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，
又∵∠B=2∠C，∴∠ABD=∠C，
又∵∠A=∠A，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ABD∽△ACB，符合要求。
（作图保留尺规作角平分线的所有圆弧痕迹，连接BD即可）
解析
【分析】
要使△ABD∽△ACB，首先观察到两个三角形有公共角∠A，根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，只需再构造一组对应角相等，即∠ABD=∠C即可。结合已知条件∠ABC=2∠C，可得∠ABD需要等于∠ABC的一半，因此只需作出∠ABC的角平分线，该角平分线与AC的交点即为所求的点D。
【解析】
作图步骤：
1. 以点B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
3. 作射线BP，交AC于点D，点D即为所求作的点。
验证：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，
又
∵∠B=2∠C，
∴∠ABD=∠C，
又
∵∠A是△ABD和△ACB的公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ABD∽△ACB，符合要求。
（作图需保留尺规作角平分线的所有圆弧痕迹）
【答案】
作∠ABC的角平分线BD交AC于点D，作图痕迹保留所有作角平分线的圆弧即可，具体作图步骤为：1. 以点B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N；2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；3. 作射线BP，交AC于点D，点D即为所求。
【知识点】
相似三角形的判定、尺规作角平分线、角平分线的定义
【点评】
本题将相似三角形的判定与尺规作图结合考查，需要先根据已知条件和相似的判定要求推导得出作图目标，再运用基本尺规作图完成操作，既考查了逻辑推导能力，也考查了作图实践能力，需要熟练掌握相关基础知识。
【难度系数】
0.6
要使△ABD∽△ACB，首先观察到两个三角形有公共角∠A，根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，只需再构造一组对应角相等，即∠ABD=∠C即可。结合已知条件∠ABC=2∠C，可得∠ABD需要等于∠ABC的一半，因此只需作出∠ABC的角平分线，该角平分线与AC的交点即为所求的点D。
【解析】
作图步骤：
1. 以点B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
3. 作射线BP，交AC于点D，点D即为所求作的点。
验证：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，
又
∵∠B=2∠C，
∴∠ABD=∠C，
又
∵∠A是△ABD和△ACB的公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ABD∽△ACB，符合要求。
（作图需保留尺规作角平分线的所有圆弧痕迹）
【答案】
作∠ABC的角平分线BD交AC于点D，作图痕迹保留所有作角平分线的圆弧即可，具体作图步骤为：1. 以点B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N；2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；3. 作射线BP，交AC于点D，点D即为所求。
【知识点】
相似三角形的判定、尺规作角平分线、角平分线的定义
【点评】
本题将相似三角形的判定与尺规作图结合考查，需要先根据已知条件和相似的判定要求推导得出作图目标，再运用基本尺规作图完成操作，既考查了逻辑推导能力，也考查了作图实践能力，需要熟练掌握相关基础知识。
【难度系数】
0.6
