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1[2026山东潍坊质检]若实数b,c满足$c - b + 2 = 0$,则关于x的方程$x^2 + bx + c = 0$根的情况是
（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
（
B
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案
∵ 实数b,c满足c−b+2=0,
∴ c=b−2,
∴ Δ=b²−4c=b²−4(b−2)=(b−2)²+4＞0,
∴ 方程有两个不相等的实数根,故选B.
2[2026广西南宁期中]如果关于$x$的方程$kx^2 - 2x + 1 = 0$有实数根，那么$k$的取值范围是（
A.$k ≤ 1$
B.$k ≤ 1$且$k ≠ 0$
C.$k ≥ 1$
D.$k ≥ 1$或$k = 0$
A
）A.$k ≤ 1$
B.$k ≤ 1$且$k ≠ 0$
C.$k ≥ 1$
D.$k ≥ 1$或$k = 0$
答案
当k=0时,方程为一元一次方程,且方程的根为$x=\frac{1}{2}$;当k≠0时,方程为一元二次方程.
∵ 一元二次方程$kx^2−2x+1=0$有实数根,
∴ $b^2−4ac=(−2)^2−4k×1=4−4k≥0$,解得k≤1.综上,k≤1.故选A.
∵ 一元二次方程$kx^2−2x+1=0$有实数根,
∴ $b^2−4ac=(−2)^2−4k×1=4−4k≥0$,解得k≤1.综上,k≤1.故选A.
3[2026 四川宜宾质检]嘉淇在解关于x的方程$x^2 + 4x + c = 0$时，解出其中一个根是$x = -1$。他核对时发现所抄的c比原方程的c值小1，则原方程的根的情况是
有两个相等的实数根
。答案
∵ 关于x的方程$x^2+4x+c=0$的一个根是x=−1,
∴ $(−1)^2+4×(−1)+c=0$,解得c=3.
∵ 他核对时发现所抄的c比原方程的c值小1,
∴ 原方程的c值为3+1=4,那么原方程为$x^2+4x+4=0$,
∴ $Δ=b^2−4ac=4^2−4×1×4=16−16=0$,
∴ 原方程有两个相等的实数根.故答案为有两个相等的实数根.
4 新考向开放性试题 [2025 河南郑州质检]请写出一个关于x的一元二次方程,并满足以下两个条件:①二次项系数为$k(k≠0)$;②方程必须有两个不相等的实数根,这个一元二次方程可以是
$kx^2+4kx−k=0(k≠0)$(答案不唯一)
.答案
∵ 方程必须有两个不相等的实数根,
∴ Δ＞0.又
∵ 二次项系数为k,
∴ 不妨设b=4k,c=−k,此时$Δ=(4k)^2−4k(−k)=20k^2＞0$,
∴ 满足条件的一元二次方程可以是$kx^2+4kx−k=0(k≠0)$.故答案为$kx^2+4kx−k=0(k≠0)$(答案不唯一).
5[2025 福建厦门期中]关于$x$的一元二次方程$ax^2 - bx + c = 0(a ≠ 0, b^2 - 4ac ＞ 0)$的根是 (
A.$x = \dfrac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
B.$x = \dfrac{b^2 \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
C.$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2}$
D.$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
A
)A.$x = \dfrac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
B.$x = \dfrac{b^2 \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
C.$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2}$
D.$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
答案
∵ $Δ=(−b)^2−4ac=b^2−4ac＞0$,
∴ 方程的根是$x=\frac{b±\sqrt{b^2−4ac}}{2a}$,故选A.
6[2025河南信阳校级质检]用公式法解关于x的一元二次方程，得$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2 -4×4×1}}{2×4}$，则该一元二次方程是
$4x^2+6x+1=0$
。答案
设一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$,则$x=\frac{−b±\sqrt{b^2−4ac}}{2a}$,与$x=\frac{−6±\sqrt{6^2−4×4×1}}{2×4}$对比,得a=4,b=6,c=1,
∴ 该一元二次方程为$4x^2+6x+1=0$.故答案为$4x^2+6x+1=0$.
∴ 该一元二次方程为$4x^2+6x+1=0$.故答案为$4x^2+6x+1=0$.
7[2025河北张家口期末]利用公式法解一元二次方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$，可得两根为$a,b$，若$a ＞ b$，则$a$的值为（
A.$\dfrac{2+\sqrt{6}}{2}$
B.$\dfrac{2-\sqrt{6}}{2}$
C.$\dfrac{-2+\sqrt{6}}{2}$
D.$\dfrac{-2-\sqrt{6}}{2}$
A
）A.$\dfrac{2+\sqrt{6}}{2}$
B.$\dfrac{2-\sqrt{6}}{2}$
C.$\dfrac{-2+\sqrt{6}}{2}$
D.$\dfrac{-2-\sqrt{6}}{2}$
答案
∵ $2x^2−4x−1=0$,
∴ a=2,b=−4,c=−1,
∴ $Δ=(−4)^2−4×2×(−1)=24＞0$,
∴ $x=\frac{4±\sqrt{24}}{2×2}=\frac{2±\sqrt{6}}{2}$.
∵ 一元二次方程$2x^2−4x−1=0$的两根为a,b,a＞b,
∴ a的值为$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$.故选A.
8[2025吉林长春质检]用公式法解一元二次方程：
(1)$x^2+3x-1=0$；(2)$\frac{1}{2}x^2-4x+2=0$
刷易错 ............小心有坑~
(1)$x^2+3x-1=0$；(2)$\frac{1}{2}x^2-4x+2=0$
刷易错 ............小心有坑~
答案
(1)
∵ $x^2+3x−1=0$,
∴ a=1,b=3,c=−1,
∴ $Δ=b^2−4ac=3^2−4×1×(−1)=13＞0$,该方程有两个不相等的实数根,
∴ $x=\frac{−3±\sqrt{13}}{2×1}=\frac{−3±\sqrt{13}}{2}$,
∴ $x_1=\frac{−3+\sqrt{13}}{2}$,$x_2=\frac{−3−\sqrt{13}}{2}$.
(2)$\frac{1}{2}x^2−4x+2=0$,二次项系数化为1得$x^2−8x+4=0$,
∴ a=1,b=−8,c=4,
∴ $Δ=b^2−4ac=(−8)^2−4×1×4=48＞0$,该方程有两个不相等的实数根,
∴ $x=\frac{8±\sqrt{48}}{2×1}=\frac{8±4\sqrt{3}}{2}=4±2\sqrt{3}$,
∴ $x_1=4+2\sqrt{3}$,$x_2=4−2\sqrt{3}$.
∵ $x^2+3x−1=0$,
∴ a=1,b=3,c=−1,
∴ $Δ=b^2−4ac=3^2−4×1×(−1)=13＞0$,该方程有两个不相等的实数根,
∴ $x=\frac{−3±\sqrt{13}}{2×1}=\frac{−3±\sqrt{13}}{2}$,
∴ $x_1=\frac{−3+\sqrt{13}}{2}$,$x_2=\frac{−3−\sqrt{13}}{2}$.
(2)$\frac{1}{2}x^2−4x+2=0$,二次项系数化为1得$x^2−8x+4=0$,
∴ a=1,b=−8,c=4,
∴ $Δ=b^2−4ac=(−8)^2−4×1×4=48＞0$,该方程有两个不相等的实数根,
∴ $x=\frac{8±\sqrt{48}}{2×1}=\frac{8±4\sqrt{3}}{2}=4±2\sqrt{3}$,
∴ $x_1=4+2\sqrt{3}$,$x_2=4−2\sqrt{3}$.
9 小明在解方程$x^2 -5x=1$时出现了错误,解答过程如下:
$\because a=1,b=-5,c=1$,(第一步)
$\therefore b^2 -4ac=(-5)^2 -4×1×1=21$,(第二步)
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$,(第三步)
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$.(第四步)
(1)小明解答过程是从第
(2)写出此题正确的解答过程.
$\because a=1,b=-5,c=1$,(第一步)
$\therefore b^2 -4ac=(-5)^2 -4×1×1=21$,(第二步)
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$,(第三步)
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$.(第四步)
(1)小明解答过程是从第
一
步开始出错的,其错误原因是原方程没有化成一般形式
.(2)写出此题正确的解答过程.
答案
(1)一 原方程没有化成一般形式
(2)【解】原方程化成一般形式为$x^2−5x−1=0$.
∵ a=1,b=−5,c=−1,
∴ $b^2−4ac=(−5)^2−4×1×(−1)=29$,
∴ $x=\frac{5±\sqrt{29}}{2}$,
∴ $x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$,$x_2=\frac{5−\sqrt{29}}{2}$.
(2)【解】原方程化成一般形式为$x^2−5x−1=0$.
∵ a=1,b=−5,c=−1,
∴ $b^2−4ac=(−5)^2−4×1×(−1)=29$,
∴ $x=\frac{5±\sqrt{29}}{2}$,
∴ $x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$,$x_2=\frac{5−\sqrt{29}}{2}$.
