1[2026辽宁大连质检,中]欧几里得在《几何原本》中记载了一种通过几何图形解方程$x^2+ax=b^2$的方法.因此,我们可以用折纸的方法求方程$x^2+4x=16$的一个正根.如图,,一张边长为4的正方形纸片ABCD,先折出AB,CD的中点E,F,连接BF,再折叠∠A,使AB落在线段BF上,得到点A的新位置点N,连接MN,MF.此时,在下列四个选项中,有一条线段的长度恰好是方程$x^2+4x=16$的一个正根,则这条线段是 ()

A.线段MF
B.线段DF
C.线段DM
D.线段AM

$x^2+4x=16$,$x^2+4x+4=16+4$,$(x+2)^2=20$,$x+2=\pm2\sqrt5$,$x=-2\pm2\sqrt5$,则方程$x^2+4x=16$的一个正根为$x=2\sqrt5-2$. $\because$正方形ABCD的边长为4,$\therefore AB=BC=CD=AD=4$,$∠ A=∠ C=∠ D=90°$. 由题意可知,$DF=CF=\frac12CD=2$,则选项B不符合题意;$BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=2\sqrt5$. 设$AM=m(0＜m＜4)$,则$DM=AD-AM=4-m$,$\therefore MF^2=DM^2+DF^2=(4-m)^2+2^2=m^2-8m+20$. 由折叠的性质可知,$MN=AM=m$,$BN=AB=4$,$∠ BNM=∠ A=90°$,$\therefore NF=BF-BN=2\sqrt5-4$,$∠ MNF=90°$,$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ MNF$中,$MN^2+NF^2=MF^2$,即$m^2+(2\sqrt5-4)^2=m^2-8m+20$,解得$m=2\sqrt5-2$,$\therefore AM=2\sqrt5-2$,则选项D符合题意;$DM=4-(2\sqrt5-2)=6-2\sqrt5$,则选项C不符合题意;$\because$在$\mathrm{Rt}△ MNF$中,$MF＞MN$,$\therefore MF＞AM=2\sqrt5-2$,则选项A不符合题意. 故选D.

2 判断代数式的正负 [2025 山东泰安期末,中]
不论$x$取何实数,代数式$-4x^2 + 4x - 13$的值总是
（）

A.非负数
B.正数
C.负数
D.非正数

$-4x^2+4x-13=-(4x^2-4x+1)+1-13=-(2x-1)^2-12$. $\because -(2x-1)^2≤0$,$\therefore -(2x-1)^2-12＜0$,即不论x取何实数,代数式$-4x^2+4x-13$的值总是负数,故选C.

3 比较大小 [2025 黑龙江哈尔滨期中，中]已知$M=\frac{7}{5}t -2$，$N=t^2 - \frac{3}{5}t$（t为任意实数），利用配方法判断M，N的大小关系为（）

A.$M＞N$
B.$M＜N$
C.$M=N$
D.与t的值有关

$\because N-M=(t^2-\frac35t)-(\frac75t-2)=t^2-2t+2=(t-1)^2+1＞0$,$\therefore M＜N$,故选B.

4 判断三角形形状 [2025广东揭阳期中,中]若$a,b,c$分别为$△ ABC$的三边长,且满足$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$,则$△ ABC$的形状是.

$\because a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$,$\therefore 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0$,$\therefore (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0$,$\therefore (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$,$\therefore a-b=0$,$b-c=0$,$c-a=0$,$\therefore a=b=c$,$\therefore △ ABC$是等边三角形.

5 求最值 [2025山西吕梁质检,中]阅读材料:
配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程,还能用来解决最大值、最小值问题,例如:求代数式$2x^2 - x + 2 + y^2$的最小值.过程如下:
原式$=2(x^2 - \frac{1}{2}x) + 2 + y^2 = 2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} - \frac{1}{16}) + 2 + y^2 = 2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}) - \frac{1}{8} + 2 + y^2 = 2(x - \frac{1}{4})^2 + y^2 + \frac{15}{8}$.
$\because 2(x - \frac{1}{4})^2 ≥ 0, y^2 ≥ 0, \therefore 2(x - \frac{1}{4})^2 + y^2 + \frac{15}{8} ≥ \frac{15}{8}, \therefore 2x^2 - x + 2 + y^2$的最小值是$\frac{15}{8}$.
根据材料,解答下列问题.
(1)$-x^2 + 4x - 1$的最大值为;
(2)$m^2 + n^2 + 6m - 4n + 15$的最小值为.
刷素养 走向重高

(1)$-x^2+4x-1=-(x^2-4x)-1=-(x^2-4x+4-4)-1=-(x-2)^2+4-1=-(x-2)^2+3$. $\because -(x-2)^2≤0$,$\therefore -(x-2)^2+3≤3$,$\therefore -(x-2)^2+3$的最大值为3,即$-x^2+4x-1$的最大值为3. 故答案为3.
(2)$m^2+n^2+6m-4n+15=m^2+6m+9+n^2-4n+4+2=(m+3)^2+(n-2)^2+2$. $\because (m+3)^2≥0$,$(n-2)^2≥0$,$\therefore (m+3)^2+(n-2)^2+2≥2$,$\therefore (m+3)^2+(n-2)^2+2$的最小值为2,即$m^2+n^2+6m-4n+15$的最小值为2.

6 核心素养 推理能力 [2026江苏盐城质检,中]
【初步理解】
用配方法解一元二次方程$x^2+2x-24=0(x＞0)$，配方的过程可以看成将一个长为$x+2$、宽为$x$、面积为24的矩形割补成一个正方形，如图(1)。

图(1)
回答下列问题：
【综合应用】(1)如图(2)，从面积为8的正方形中剪去一个边长为$a$的小正方形，类比以上配方的方法，你能猜出这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程有正整数解，请求$a$的值。

图(2)
【迁移应用】(2)用拼图的方法将式子$x^2+4x$表示成$(x+h)^2+k$的形式(其中$h,k$为常数)。

(1)这是对方程$x(x+2a)=8-a^2$进行配方. 由题图(2)可得$x^2+2ax=8-a^2$,$\therefore x^2+2ax+a^2=8$,$\therefore (x+a)^2=8$,$\therefore$正数解为$x=2\sqrt2-a$. 由题意知$a＞0$,要使$2\sqrt2-a$为正整数,则$a=2\sqrt2-1$或$2\sqrt2-2$.
(2)拼图方式如下：

$\therefore x^2+4x=(x+2)^2-2^2=(x+2)^2-4$.