登录
12 有下列各数：$+8, +\frac{3}{4}, -7.5\%, \frac{22}{7}, 9.\dot{8}, -2\frac{1}{5}, 1, 0.275.$ 其中，整数共有$a$个，负数共有$b$个，正数共有$c$个，则$a - b + c$的值为
6
.答案
12. 6
解析
【分析】
解题首先要明确整数、负数、正数的定义，先对题干给出的所有数逐一分类，分别统计出整数的个数$a$、负数的个数$b$、正数的个数$c$，最后代入代数式$a-b+c$计算即可得到结果。
【解析】
1. 统计整数个数：整数包括正整数、0、负整数，题干中属于整数的有$+8$、$1$，共2个，因此$a=2$；
2. 统计负数个数：小于0的数为负数，题干中属于负数的有$-7.5\%$、$-2\frac{1}{5}$，共2个，因此$b=2$；
3. 统计正数个数：大于0的数为正数，题干中属于正数的有$+8$、$+\frac{3}{4}$、$\frac{22}{7}$、$9.\dot{8}$、$1$、$0.275$，共6个，因此$c=6$；
4. 代入计算：$a-b+c=2-2+6=6$。
【答案】
6
【知识点】
有理数的分类；正负数的定义；整数的定义
【点评】
本题重点考查有理数的分类判断，解题时要注意百分数、无限循环小数、带分数都属于分数范畴，分类时不要漏数或误判，准确统计各类数的个数是解题关键。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确整数、负数、正数的定义，先对题干给出的所有数逐一分类，分别统计出整数的个数$a$、负数的个数$b$、正数的个数$c$，最后代入代数式$a-b+c$计算即可得到结果。
【解析】
1. 统计整数个数：整数包括正整数、0、负整数，题干中属于整数的有$+8$、$1$，共2个，因此$a=2$；
2. 统计负数个数：小于0的数为负数，题干中属于负数的有$-7.5\%$、$-2\frac{1}{5}$，共2个，因此$b=2$；
3. 统计正数个数：大于0的数为正数，题干中属于正数的有$+8$、$+\frac{3}{4}$、$\frac{22}{7}$、$9.\dot{8}$、$1$、$0.275$，共6个，因此$c=6$；
4. 代入计算：$a-b+c=2-2+6=6$。
【答案】
6
【知识点】
有理数的分类；正负数的定义；整数的定义
【点评】
本题重点考查有理数的分类判断，解题时要注意百分数、无限循环小数、带分数都属于分数范畴，分类时不要漏数或误判，准确统计各类数的个数是解题关键。
【难度系数】
0.8
13 先找规律,再填数:$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$,$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{30}$,$\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{1}{56}$,$···$,则$\frac{1}{2025}+\frac{1}{2026}-\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2025×2026}$.
答案
13. $\dfrac{1}{1013}$ 【解析】通过观察可知,每个等式左边前面的两个分数的分母为两个连续的正整数,第三个分数为第二个分数的2倍,等式右边为等式左边前面两个分数的乘积. 由此可知,$\dfrac{1}{2025}+\dfrac{1}{2026}-\dfrac{1}{1013}=\dfrac{1}{2025×2026}$.
解析
【分析】
解决这类规律探究题，首先可以给已知等式按顺序标序号，再分别观察每个位置上的数和序号的对应关系：先看等式左侧第一个分数的分母、第二个分数的分母、第三个分数的分母，以及右侧分数的分母分别和序号n有什么联系，总结出通用规律后，再根据题目给出的已知数求出对应序号，就能算出要填的数。
【解析】
我们给给出的等式依次标注为第n个（n为正整数）：
当n=1时：$\frac{1}{2×1-1}+\frac{1}{2×1}-\frac{1}{1}=\frac{1}{(2×1-1)×2×1}$，对应$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}$；
当n=2时：$\frac{1}{2×2-1}+\frac{1}{2×2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{(2×2-1)×2×2}$，对应$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$；
当n=3时：$\frac{1}{2×3-1}+\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{(2×3-1)×2×3}$，对应$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{30}$；
……
由此可总结出第n个等式的通用形式：$\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}=\frac{1}{(2n-1)×2n}$。
题目中第一个分数的分母为2025，即$2n-1=2025$，解得：
$2n=2025+1=2026$，$n=1013$。
因此要填的数为$\frac{1}{n}=\frac{1}{1013}$。
【答案】
$\dfrac{1}{1013}$
【知识点】
数字规律探究，有理数加减运算，代数式规律
【点评】
本题重点考查观察归纳数字规律的能力，解题的核心是找到等式中各部分和对应序号的关联，总结通用规律后代入计算即可，只要细心观察各项的变化特点，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解决这类规律探究题，首先可以给已知等式按顺序标序号，再分别观察每个位置上的数和序号的对应关系：先看等式左侧第一个分数的分母、第二个分数的分母、第三个分数的分母，以及右侧分数的分母分别和序号n有什么联系，总结出通用规律后，再根据题目给出的已知数求出对应序号，就能算出要填的数。
【解析】
我们给给出的等式依次标注为第n个（n为正整数）：
当n=1时：$\frac{1}{2×1-1}+\frac{1}{2×1}-\frac{1}{1}=\frac{1}{(2×1-1)×2×1}$，对应$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}$；
当n=2时：$\frac{1}{2×2-1}+\frac{1}{2×2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{(2×2-1)×2×2}$，对应$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$；
当n=3时：$\frac{1}{2×3-1}+\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{(2×3-1)×2×3}$，对应$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{30}$；
……
由此可总结出第n个等式的通用形式：$\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}=\frac{1}{(2n-1)×2n}$。
题目中第一个分数的分母为2025，即$2n-1=2025$，解得：
$2n=2025+1=2026$，$n=1013$。
因此要填的数为$\frac{1}{n}=\frac{1}{1013}$。
【答案】
$\dfrac{1}{1013}$
【知识点】
数字规律探究，有理数加减运算，代数式规律
【点评】
本题重点考查观察归纳数字规律的能力，解题的核心是找到等式中各部分和对应序号的关联，总结通用规律后代入计算即可，只要细心观察各项的变化特点，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
14 在某班举行的“数学晚会”上，A，B，C，D，E五名同学的手上各拿着一张卡片，卡片上分别写着$2,-\frac{1}{2},0,-3,\frac{1}{6}$。主持人按照卡片上的这些数的特征，将这五名同学分成两组或者三组来表演节目（每组人数不限）。如果让你来分，那么你会如何分组呢？
答案
14. 答案不唯一,如按正数、非正数分成两组,分别是$2,\dfrac{1}{6}$和$-\dfrac{1}{2},0,-3$
解析
【分析】
要分组首先需要确定统一的数的特征作为分类依据，我们学过有理数有多种分类标准，比如按正负性分、按整数和分数分等，任选一种统一的标准分类即可。以按正数、非正数分组为例：第一步回忆相关定义：大于0的数是正数，小于等于0的数是非正数；第二步逐个判断五个数的属性：2和$\frac{1}{6}$大于0，属于正数，$-\frac{1}{2}$、0、-3小于或等于0，属于非正数；第三步将属性相同的数归为同一组即可，也可选择其他分类标准，只要标准统一、分类不重不漏都正确。
【解析】
分组方式不唯一，示例如下：
我们按照正数和非正数的特征将五名同学分成两组：
1. 正数组（数大于0）：卡片写$2,\frac{1}{6}$的同学；
2. 非正数组（数小于或等于0）：卡片写$-\frac{1}{2},0,-3$的同学。
其他合理分法也可，例如还可以按整数和分数分为两组，或按正数、负数、0分为三组。
【答案】
答案不唯一,如按正数、非正数分成两组,分别是$2,\dfrac{1}{6}$和$-\dfrac{1}{2},0,-3$
【知识点】
有理数的分类；正负数的判别
【点评】
本题属于开放性习题，核心考查对有理数分类标准的掌握，只要分类时标准统一，做到不重复、不遗漏即可，能有效锻炼对有理数概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.9
要分组首先需要确定统一的数的特征作为分类依据，我们学过有理数有多种分类标准，比如按正负性分、按整数和分数分等，任选一种统一的标准分类即可。以按正数、非正数分组为例：第一步回忆相关定义：大于0的数是正数，小于等于0的数是非正数；第二步逐个判断五个数的属性：2和$\frac{1}{6}$大于0，属于正数，$-\frac{1}{2}$、0、-3小于或等于0，属于非正数；第三步将属性相同的数归为同一组即可，也可选择其他分类标准，只要标准统一、分类不重不漏都正确。
【解析】
分组方式不唯一，示例如下：
我们按照正数和非正数的特征将五名同学分成两组：
1. 正数组（数大于0）：卡片写$2,\frac{1}{6}$的同学；
2. 非正数组（数小于或等于0）：卡片写$-\frac{1}{2},0,-3$的同学。
其他合理分法也可，例如还可以按整数和分数分为两组，或按正数、负数、0分为三组。
【答案】
答案不唯一,如按正数、非正数分成两组,分别是$2,\dfrac{1}{6}$和$-\dfrac{1}{2},0,-3$
【知识点】
有理数的分类；正负数的判别
【点评】
本题属于开放性习题，核心考查对有理数分类标准的掌握，只要分类时标准统一，做到不重复、不遗漏即可，能有效锻炼对有理数概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.9
15 观察下列各数：$\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{4}, -\frac{4}{5}, \frac{1}{6}, -\frac{6}{7}, \dots$。
请你找出其中的规律，并解答问题：
（1）第9个数是
（2）第2026个数是多少？
请你找出其中的规律，并解答问题：
（1）第9个数是
$\dfrac{1}{10}$
，第14个数是$-\dfrac{14}{15}$
；（2）第2026个数是多少？
答案
15. (1) $\dfrac{1}{10}$ $-\dfrac{14}{15}$ (2) $-\dfrac{2026}{2027}$
解析
【分析】
遇到分数数列找规律的问题，我们可以把每个数拆成符号、分子、分母三个部分分别分析：
1. 符号规律：观察数列可知，序号为奇数的数是正数，序号为偶数的数是负数；
2. 分母规律：第1个数分母是2=1+1，第2个数分母是3=2+1，第3个数分母是4=3+1，可推出第n个数的分母为n+1；
3. 分子规律：序号为奇数时分子恒为1，序号为偶数时分子等于序号数n。
结合三个部分的规律就能求出对应序号的数。
【解析】
先总结第n个数的通用规律：
当n为奇数时，数为正，分子是1，分母是n+1，即$\frac{1}{n+1}$；
当n为偶数时，数为负，分子是n，分母是n+1，即$-\frac{n}{n+1}$。
（1）第9个数：n=9是奇数，代入奇数规律得分母=9+1=10，故第9个数为$\frac{1}{10}$；
第14个数：n=14是偶数，代入偶数规律得分子=14，分母=14+1=15，故第14个数为$-\frac{14}{15}$。
（2）第2026个数：n=2026是偶数，代入偶数规律得分子=2026，分母=2026+1=2027，故第2026个数为$-\frac{2026}{2027}$。
【答案】
（1）$\dfrac{1}{10}$，$-\dfrac{14}{15}$；（2）$-\dfrac{2026}{2027}$
【知识点】
数列规律探究，有理数符号判断，分数性质
【点评】
本题重点考查对数字规律的观察和归纳能力，解题时拆分符号、分子、分母三个维度分析能快速找到规律，注意区分奇数项和偶数项的分子差异，避免混淆规律出错。
【难度系数】
0.7
遇到分数数列找规律的问题，我们可以把每个数拆成符号、分子、分母三个部分分别分析：
1. 符号规律：观察数列可知，序号为奇数的数是正数，序号为偶数的数是负数；
2. 分母规律：第1个数分母是2=1+1，第2个数分母是3=2+1，第3个数分母是4=3+1，可推出第n个数的分母为n+1；
3. 分子规律：序号为奇数时分子恒为1，序号为偶数时分子等于序号数n。
结合三个部分的规律就能求出对应序号的数。
【解析】
先总结第n个数的通用规律：
当n为奇数时，数为正，分子是1，分母是n+1，即$\frac{1}{n+1}$；
当n为偶数时，数为负，分子是n，分母是n+1，即$-\frac{n}{n+1}$。
（1）第9个数：n=9是奇数，代入奇数规律得分母=9+1=10，故第9个数为$\frac{1}{10}$；
第14个数：n=14是偶数，代入偶数规律得分子=14，分母=14+1=15，故第14个数为$-\frac{14}{15}$。
（2）第2026个数：n=2026是偶数，代入偶数规律得分子=2026，分母=2026+1=2027，故第2026个数为$-\frac{2026}{2027}$。
【答案】
（1）$\dfrac{1}{10}$，$-\dfrac{14}{15}$；（2）$-\dfrac{2026}{2027}$
【知识点】
数列规律探究，有理数符号判断，分数性质
【点评】
本题重点考查对数字规律的观察和归纳能力，解题时拆分符号、分子、分母三个维度分析能快速找到规律，注意区分奇数项和偶数项的分子差异，避免混淆规律出错。
【难度系数】
0.7
16 新考向 探究题 将一串有理数按照如图所示的规律排列,请回答下面的问题:
(1) 图中字母所表示的数属于负整数的是
(2) 第2026个数所处的位置为哪个字母的位置?并说明理由.
(1) 图中字母所表示的数属于负整数的是
C
.(2) 第2026个数所处的位置为哪个字母的位置?并说明理由.
答案
16. (1) C (2) 第2 026个数所处的位置为字母B的位置 理由:因为$2026÷4=506······2$,所以第2 026个数排在字母B的位置.
解析
【分析】
(1) 解决第一问需要先观察每个字母对应位置的数的类型，结合有理数的分类（整数、分数，正、负）判断哪个位置的数是负整数；(2) 解决第二问先观察排列规律，发现每4个数为一个循环周期，每个周期对应4个固定位置，只需用总个数除以4，根据余数就能判断对应的位置。
【解析】
(1) 观察图中数字排列：
A位置的数依次为2、4……，都是正整数；
B位置的数依次为$-\frac{5}{2}$、$-\frac{9}{2}$……，都是负分数；
C位置的数依次为-1、-3、-5……，都是负整数；
D位置的数依次为1.5、3.5、5.5……，都是正分数；
因此属于负整数的是C。
(2) 第2026个数所处的位置为字母B的位置，理由如下：
观察可知，数字每4个为一个循环周期，4个位置按顺序循环排列。
计算$2026÷4=506······2$，余数为2，说明第2026个数对应循环中的第2个位置，即B的位置。
【答案】
(1) $\boxed{C}$；(2) 第2026个数所处的位置为字母$\boxed{B}$的位置
【知识点】
有理数的分类，数字规律探究
【点评】
本题是规律探究类题目，既考查了有理数的分类相关知识，也考查了观察归纳数字排列规律的能力，解题关键是找到数字排列的周期规律。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问需要先观察每个字母对应位置的数的类型，结合有理数的分类（整数、分数，正、负）判断哪个位置的数是负整数；(2) 解决第二问先观察排列规律，发现每4个数为一个循环周期，每个周期对应4个固定位置，只需用总个数除以4，根据余数就能判断对应的位置。
【解析】
(1) 观察图中数字排列：
A位置的数依次为2、4……，都是正整数；
B位置的数依次为$-\frac{5}{2}$、$-\frac{9}{2}$……，都是负分数；
C位置的数依次为-1、-3、-5……，都是负整数；
D位置的数依次为1.5、3.5、5.5……，都是正分数；
因此属于负整数的是C。
(2) 第2026个数所处的位置为字母B的位置，理由如下：
观察可知，数字每4个为一个循环周期，4个位置按顺序循环排列。
计算$2026÷4=506······2$，余数为2，说明第2026个数对应循环中的第2个位置，即B的位置。
【答案】
(1) $\boxed{C}$；(2) 第2026个数所处的位置为字母$\boxed{B}$的位置
【知识点】
有理数的分类，数字规律探究
【点评】
本题是规律探究类题目，既考查了有理数的分类相关知识，也考查了观察归纳数字排列规律的能力，解题关键是找到数字排列的周期规律。
【难度系数】
0.7
