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5 有理数$a$，$b$在数轴上的对应点的位置如图所示，则$\frac{a+b}{ab}$的值是（
A.负数
B.正数
C.0
D.正数或0
B
）A.负数
B.正数
C.0
D.正数或0
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先观察数轴，确定有理数a、b的取值范围、正负性以及绝对值的大小关系；接下来分别根据有理数加法法则、乘法法则判断分子a+b和分母ab的符号；最后根据有理数除法的符号规则“同号得正，异号得负”，即可判断分式的正负，选出正确选项。
【解析】
由数轴可得：$-2 ＜ a ＜ -1$，$0 ＜ b ＜ 1$，
∴ $a$为负数，$b$为正数，且$|a| ＞ |b|$。
①判断分子符号：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，因为$|a| ＞ |b|$，$a$为负，因此$a + b ＜ 0$；
②判断分母符号：两数相乘，异号得负，因此$ab ＜ 0$；
③判断分式符号：两数相除，同号得正，因此$\frac{a+b}{ab} ＞ 0$，即该式的值为正数。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用；有理数加法法则；有理数乘除法则
【点评】
本题是数轴与有理数运算的结合题，解题核心是先通过数轴确定数的正负和绝对值大小，再利用有理数运算的符号规则逐步推导，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察数轴，确定有理数a、b的取值范围、正负性以及绝对值的大小关系；接下来分别根据有理数加法法则、乘法法则判断分子a+b和分母ab的符号；最后根据有理数除法的符号规则“同号得正，异号得负”，即可判断分式的正负，选出正确选项。
【解析】
由数轴可得：$-2 ＜ a ＜ -1$，$0 ＜ b ＜ 1$，
∴ $a$为负数，$b$为正数，且$|a| ＞ |b|$。
①判断分子符号：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，因为$|a| ＞ |b|$，$a$为负，因此$a + b ＜ 0$；
②判断分母符号：两数相乘，异号得负，因此$ab ＜ 0$；
③判断分式符号：两数相除，同号得正，因此$\frac{a+b}{ab} ＞ 0$，即该式的值为正数。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用；有理数加法法则；有理数乘除法则
【点评】
本题是数轴与有理数运算的结合题，解题核心是先通过数轴确定数的正负和绝对值大小，再利用有理数运算的符号规则逐步推导，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
6 [2024 包头]若$m,n$互为倒数，且满足$m + mn=3$，则$n$的值为（
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$2$
D.$4$
B
）A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$2$
D.$4$
答案
6. B
解析
【分析】
解题时首先要利用倒数的核心性质：互为倒数的两个数乘积为1，这是题目的隐含条件。将该条件代入已知等式$m + mn=3$，可先求出$m$的值，最后再根据倒数的定义求出$n$的值，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：$\because m,n$互为倒数，根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为1，
$\therefore mn=1$，
将$mn=1$代入等式$m + mn=3$，可得：
$m + 1 = 3$，
解得$m=2$，
又$\because n$是$m$的倒数，$\therefore n=\frac{1}{m}=\frac{1}{2}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1. 倒数的性质 2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础类题目，核心是挖掘出互为倒数的两个数乘积为1的隐含条件，代入等式后通过简单计算即可得到结果，考查对基础概念的掌握和简单运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先要利用倒数的核心性质：互为倒数的两个数乘积为1，这是题目的隐含条件。将该条件代入已知等式$m + mn=3$，可先求出$m$的值，最后再根据倒数的定义求出$n$的值，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：$\because m,n$互为倒数，根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为1，
$\therefore mn=1$，
将$mn=1$代入等式$m + mn=3$，可得：
$m + 1 = 3$，
解得$m=2$，
又$\because n$是$m$的倒数，$\therefore n=\frac{1}{m}=\frac{1}{2}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1. 倒数的性质 2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础类题目，核心是挖掘出互为倒数的两个数乘积为1的隐含条件，代入等式后通过简单计算即可得到结果，考查对基础概念的掌握和简单运算能力。
【难度系数】
0.8
7 新考向 新定义题 对于有理数$a$，$b$，定义运算“$\otimes$”：$a\otimes b=(a+1)(b-1)$，等号右边为通常的混合运算.计算$(-3)\otimes 4$的结果为
$-6$
.答案
7. $-6$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解运算“$\otimes$”的规则：参与运算的两个数$a$和$b$，运算结果等于第一个数加1的和乘第二个数减1的差。计算$(-3)\otimes4$时，只需将$a$对应为$-3$，$b$对应为$4$，代入给定的运算公式，再按照有理数混合运算的顺序计算即可。
【解析】
根据新定义的运算规则$a\otimes b=(a+1)(b-1)$，计算$(-3)\otimes4$时，$a=-3$，$b=4$，代入得：
$\begin{aligned}(-3)\otimes4&=(-3+1)×(4-1)\\&=(-2)×3\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
$-6$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义基础题型，重点考查对新运算规则的理解能力和有理数运算的计算能力，只要准确对应公式里的参数、严格遵守运算顺序计算，就能顺利得分。
【难度系数】
0.85
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解运算“$\otimes$”的规则：参与运算的两个数$a$和$b$，运算结果等于第一个数加1的和乘第二个数减1的差。计算$(-3)\otimes4$时，只需将$a$对应为$-3$，$b$对应为$4$，代入给定的运算公式，再按照有理数混合运算的顺序计算即可。
【解析】
根据新定义的运算规则$a\otimes b=(a+1)(b-1)$，计算$(-3)\otimes4$时，$a=-3$，$b=4$，代入得：
$\begin{aligned}(-3)\otimes4&=(-3+1)×(4-1)\\&=(-2)×3\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
$-6$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义基础题型，重点考查对新运算规则的理解能力和有理数运算的计算能力，只要准确对应公式里的参数、严格遵守运算顺序计算，就能顺利得分。
【难度系数】
0.85
8 计算：
(1) $(-7.5) × (-4) ÷ (-\dfrac{1}{6}) ÷ (-15);$
(2) $(-33) × 6 - (-7.2) ÷ (-0.2);$
(3) $(-\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{9} + \dfrac{7}{12}) ÷ \dfrac{1}{36}.$
(1) $(-7.5) × (-4) ÷ (-\dfrac{1}{6}) ÷ (-15);$
(2) $(-33) × 6 - (-7.2) ÷ (-0.2);$
(3) $(-\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{9} + \dfrac{7}{12}) ÷ \dfrac{1}{36}.$
答案
8. (1) 12 (2) $-234$ (3) $-26$
解析
【分析】
这三道题均考查有理数的四则运算，解题思路如下：
(1) 属于有理数乘除混合运算，首先根据负因数的个数确定最终结果的符号，再将除法统一转化为乘法，通过约分简化计算；
(2) 属于有理数的加减乘除混合运算，遵循“先乘除、后加减”的运算顺序，分别计算乘法和除法部分，再计算加减，每一步先确定符号再算绝对值；
(3) 可先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开计算，避免通分的繁琐，提高计算准确率。
【解析】
(1) 先确定符号：式子中共有4个负因数，负因数个数为偶数，结果为正，再将除法转为乘法计算：
$\begin{aligned}(-7.5) × (-4) ÷ (-\dfrac{1}{6}) ÷ (-15)&=7.5 × 4 × 6 × \dfrac{1}{15}\\&=(7.5 × \dfrac{1}{15}) × (4 × 6)\\&=0.5 × 24\\&=12\end{aligned}$
(2) 按照先乘除后加减的顺序计算：
$\begin{aligned}(-33) × 6 - (-7.2) ÷ (-0.2)&=-198 - 36\\&=-234\end{aligned}$
(3) 先将除法转为乘法，再用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}(-\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{9} + \dfrac{7}{12}) ÷ \dfrac{1}{36}&=(-\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{9} + \dfrac{7}{12}) × 36\\&=-\dfrac{3}{4}×36 - \dfrac{5}{9}×36 + \dfrac{7}{12}×36\\&=-27 - 20 + 21\\&=-26\end{aligned}$
【答案】
(1) 12；(2) $-234$；(3) $-26$
【知识点】
有理数乘除运算，有理数混合运算，乘法分配律应用
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心考查运算顺序和符号判断能力，合理运用运算律可大幅简化计算过程，计算时需注意每一步的符号判断，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
这三道题均考查有理数的四则运算，解题思路如下：
(1) 属于有理数乘除混合运算，首先根据负因数的个数确定最终结果的符号，再将除法统一转化为乘法，通过约分简化计算；
(2) 属于有理数的加减乘除混合运算，遵循“先乘除、后加减”的运算顺序，分别计算乘法和除法部分，再计算加减，每一步先确定符号再算绝对值；
(3) 可先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开计算，避免通分的繁琐，提高计算准确率。
【解析】
(1) 先确定符号：式子中共有4个负因数，负因数个数为偶数，结果为正，再将除法转为乘法计算：
$\begin{aligned}(-7.5) × (-4) ÷ (-\dfrac{1}{6}) ÷ (-15)&=7.5 × 4 × 6 × \dfrac{1}{15}\\&=(7.5 × \dfrac{1}{15}) × (4 × 6)\\&=0.5 × 24\\&=12\end{aligned}$
(2) 按照先乘除后加减的顺序计算：
$\begin{aligned}(-33) × 6 - (-7.2) ÷ (-0.2)&=-198 - 36\\&=-234\end{aligned}$
(3) 先将除法转为乘法，再用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}(-\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{9} + \dfrac{7}{12}) ÷ \dfrac{1}{36}&=(-\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{9} + \dfrac{7}{12}) × 36\\&=-\dfrac{3}{4}×36 - \dfrac{5}{9}×36 + \dfrac{7}{12}×36\\&=-27 - 20 + 21\\&=-26\end{aligned}$
【答案】
(1) 12；(2) $-234$；(3) $-26$
【知识点】
有理数乘除运算，有理数混合运算，乘法分配律应用
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心考查运算顺序和符号判断能力，合理运用运算律可大幅简化计算过程，计算时需注意每一步的符号判断，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
9 如果$(a+3)^2 + |b - 4| = 0$，那么$a^b$的值为
81
.答案
9. 81
解析
【分析】
本题可根据非负数的性质求解。我们已经学过，一个数的平方和一个数的绝对值都属于非负数，当两个非负数的和为0时，这两个非负数必须都为0，据此我们可以先列出方程求出a、b的值，再代入计算$a^b$的结果即可。
【解析】
解：$\because$ 任意有理数的平方是非负数，任意有理数的绝对值也是非负数
$\therefore (a+3)^2 ≥ 0$，$|b - 4| ≥ 0$
又$\because (a+3)^2 + |b - 4| = 0$
$\therefore$ 只有当$(a+3)^2=0$且$|b - 4|=0$时，等式才成立
即：$\begin{cases}a+3=0 \\ b-4=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=-3 \\ b=4\end{cases}$
将a、b的值代入$a^b$得：
$a^b=(-3)^4=81$
【答案】
81
【知识点】
非负数的性质，绝对值的性质，有理数乘方运算
【点评】
本题是代数基础常考题，解题的核心是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”的结论，计算乘方时要注意负数的偶次幂为正，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题可根据非负数的性质求解。我们已经学过，一个数的平方和一个数的绝对值都属于非负数，当两个非负数的和为0时，这两个非负数必须都为0，据此我们可以先列出方程求出a、b的值，再代入计算$a^b$的结果即可。
【解析】
解：$\because$ 任意有理数的平方是非负数，任意有理数的绝对值也是非负数
$\therefore (a+3)^2 ≥ 0$，$|b - 4| ≥ 0$
又$\because (a+3)^2 + |b - 4| = 0$
$\therefore$ 只有当$(a+3)^2=0$且$|b - 4|=0$时，等式才成立
即：$\begin{cases}a+3=0 \\ b-4=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=-3 \\ b=4\end{cases}$
将a、b的值代入$a^b$得：
$a^b=(-3)^4=81$
【答案】
81
【知识点】
非负数的性质，绝对值的性质，有理数乘方运算
【点评】
本题是代数基础常考题，解题的核心是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”的结论，计算乘方时要注意负数的偶次幂为正，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
10 计算：
(1) $-1^4 ÷ 3 × \frac{1}{3} - \frac{1}{9} × |2 - (-3)^2|$；
(2) $2 - 4 × [ \frac{1}{2} × (-2)^2 + (-3) ÷ (-\frac{3}{4}) ]$；
(3) $(-5)^3 × (-\frac{3}{5}) + 32 ÷ (-2^2) × (-1\frac{1}{4})$。
(1) $-1^4 ÷ 3 × \frac{1}{3} - \frac{1}{9} × |2 - (-3)^2|$；
(2) $2 - 4 × [ \frac{1}{2} × (-2)^2 + (-3) ÷ (-\frac{3}{4}) ]$；
(3) $(-5)^3 × (-\frac{3}{5}) + 32 ÷ (-2^2) × (-1\frac{1}{4})$。
答案
10. (1) $-\frac{8}{9}$ (2) $-22$ (3) 85
解析
【分析】
这三道题均为有理数混合运算，解题需严格遵循有理数运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算从左到右依次计算；③有括号或绝对值时，先算括号、绝对值内部的运算。计算时要注意乘方的符号判断，比如$-1^4$表示1的4次方的相反数，结果为$-1$，不要和$(-1)^4$混淆，每一步先确定符号再算数值，可减少运算错误。
【解析】
(1) 先计算乘方和绝对值内的运算：
$-1^4=-1$，$(-3)^2=9$，则$|2 - (-3)^2|=|2-9|=|-7|=7$
再计算同级乘除运算（从左到右）：
$-1 ÷ 3 × \frac{1}{3} = -1 × \frac{1}{3} × \frac{1}{3} = -\frac{1}{9}$，$\frac{1}{9} ×7=\frac{7}{9}$
最后计算加减：
原式$= -\frac{1}{9} - \frac{7}{9} = -\frac{8}{9}$
(2) 先算乘方，再计算中括号内的运算：
$(-2)^2=4$
中括号内先算乘除：$\frac{1}{2}×4=2$，$(-3)÷(-\frac{3}{4})=(-3)×(-\frac{4}{3})=4$
中括号内算加减：$2+4=6$
再算括号外的乘法和加减：
原式$=2 - 4×6 = 2 - 24 = -22$
(3) 先计算乘方，把带分数化为假分数：
$(-5)^3=-125$，$-2^2=-4$，$-1\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}$
再计算乘除运算：
$(-125)×(-\frac{3}{5})=75$，$32÷(-4)×(-\frac{5}{4})= (-8)×(-\frac{5}{4})=10$
最后算加减：
原式$=75 +10=85$
【答案】
(1) $-\frac{8}{9}$；(2) $-22$；(3) $85$
【知识点】
有理数混合运算；乘方运算；绝对值运算
【点评】
此类题目是有理数运算的常考基础题型，核心是严格遵守运算顺序，尤其要注意带负号的乘方的符号区分，计算时先定符号再算数值，养成验算习惯可有效提升运算正确率。
【难度系数】
0.7
这三道题均为有理数混合运算，解题需严格遵循有理数运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算从左到右依次计算；③有括号或绝对值时，先算括号、绝对值内部的运算。计算时要注意乘方的符号判断，比如$-1^4$表示1的4次方的相反数，结果为$-1$，不要和$(-1)^4$混淆，每一步先确定符号再算数值，可减少运算错误。
【解析】
(1) 先计算乘方和绝对值内的运算：
$-1^4=-1$，$(-3)^2=9$，则$|2 - (-3)^2|=|2-9|=|-7|=7$
再计算同级乘除运算（从左到右）：
$-1 ÷ 3 × \frac{1}{3} = -1 × \frac{1}{3} × \frac{1}{3} = -\frac{1}{9}$，$\frac{1}{9} ×7=\frac{7}{9}$
最后计算加减：
原式$= -\frac{1}{9} - \frac{7}{9} = -\frac{8}{9}$
(2) 先算乘方，再计算中括号内的运算：
$(-2)^2=4$
中括号内先算乘除：$\frac{1}{2}×4=2$，$(-3)÷(-\frac{3}{4})=(-3)×(-\frac{4}{3})=4$
中括号内算加减：$2+4=6$
再算括号外的乘法和加减：
原式$=2 - 4×6 = 2 - 24 = -22$
(3) 先计算乘方，把带分数化为假分数：
$(-5)^3=-125$，$-2^2=-4$，$-1\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}$
再计算乘除运算：
$(-125)×(-\frac{3}{5})=75$，$32÷(-4)×(-\frac{5}{4})= (-8)×(-\frac{5}{4})=10$
最后算加减：
原式$=75 +10=85$
【答案】
(1) $-\frac{8}{9}$；(2) $-22$；(3) $85$
【知识点】
有理数混合运算；乘方运算；绝对值运算
【点评】
此类题目是有理数运算的常考基础题型，核心是严格遵守运算顺序，尤其要注意带负号的乘方的符号区分，计算时先定符号再算数值，养成验算习惯可有效提升运算正确率。
【难度系数】
0.7
