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10. 如图，$△ ABC ≌ △ ADE$，若$∠ E=70°$，$∠ D=30°$，$∠ CAD=40°$，则$∠ BAD=$
40°
。答案
10.40°
11.如图，$P(2,2)$，点$A$在$x$轴正半轴上运动，点$B$在$y$轴负半轴上运动，且$PA=PB$.若点$A$的坐标为$(7,0)$，则点$B$的坐标为
(0,-3)
.答案
11.(0,-3)
12. 情境题 生活应用 小丽与爸妈在公园里荡秋千. 如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4 m和1.8 m,$∠ BOC=90°$.爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度EM是
1.4
m.答案
12.1.4 【点拨】
∵∠BOC=90°,
∴∠BOD+∠COE=90°,
∵BD⊥OA,
∴∠BOD+∠OBD=90°.
∴∠OBD=∠COE. 在△OBD和△COE中，$\begin{cases} ∠ODB=∠CEO=90°,\\ ∠OBD=∠COE,\\ OB=CO, \end{cases}$
∴△OBD≌△COE(AAS),
∴OE=BD=1.4 m,OD=CE=1.8 m,
∴DE=OD-OE=0.4 m.
∵点B与地面的距离为1 m,
∴MD=1 m,
∴ME=MD+DE=1.4 m,即爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度EM是1.4 m.
∵∠BOC=90°,
∴∠BOD+∠COE=90°,
∵BD⊥OA,
∴∠BOD+∠OBD=90°.
∴∠OBD=∠COE. 在△OBD和△COE中，$\begin{cases} ∠ODB=∠CEO=90°,\\ ∠OBD=∠COE,\\ OB=CO, \end{cases}$
∴△OBD≌△COE(AAS),
∴OE=BD=1.4 m,OD=CE=1.8 m,
∴DE=OD-OE=0.4 m.
∵点B与地面的距离为1 m,
∴MD=1 m,
∴ME=MD+DE=1.4 m,即爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度EM是1.4 m.
三、解答题（共36分）
13.（10分）如图，A，B，D，E四点在同一条直线上，AD=BE，∠A=∠EDF.有下列三个条件：①∠C=∠F；②AC=DF；③BC//EF.选出能判定$△ ABC≌△ DEF$的一个条件，这个条件可以是
13.（10分）如图，A，B，D，E四点在同一条直线上，AD=BE，∠A=∠EDF.有下列三个条件：①∠C=∠F；②AC=DF；③BC//EF.选出能判定$△ ABC≌△ DEF$的一个条件，这个条件可以是
①(或②或③)
（填序号），并证明.答案
13.【解】① 证明如下：
∵AD=BE,
∴AD-BD=BE-BD,即AB=DE.
在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} ∠C=∠F,\\ ∠A=∠EDF,\\ AB=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(AAS).
或② 证明如下:
∵AD=BE,
∴AD-BD=BE-BD,即AB=DE. 在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} AB=DE,\\ ∠A=∠EDF,\\ AC=DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(SAS).
或③ 证明如下：
∵AD=BE,
∴AD-BD=BE-BD,即AB=DE.
∵BC//EF,
∴∠ABC=∠E.
在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} ∠A=∠EDF,\\ AB=DE,\\ ∠ABC=∠E, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(ASA).
(任选一种解答即可)
∵AD=BE,
∴AD-BD=BE-BD,即AB=DE.
在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} ∠C=∠F,\\ ∠A=∠EDF,\\ AB=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(AAS).
或② 证明如下:
∵AD=BE,
∴AD-BD=BE-BD,即AB=DE. 在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} AB=DE,\\ ∠A=∠EDF,\\ AC=DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(SAS).
或③ 证明如下：
∵AD=BE,
∴AD-BD=BE-BD,即AB=DE.
∵BC//EF,
∴∠ABC=∠E.
在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} ∠A=∠EDF,\\ AB=DE,\\ ∠ABC=∠E, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(ASA).
(任选一种解答即可)
14.(12分)如图,点D为线段BC上一点,BD=AC,∠E=∠ABC,∠CDE+∠C=180°.
(1)求证:DE=BC;
(2)若DE=12,点D为线段BC的中点,求AC的长.
(1)求证:DE=BC;
(2)若DE=12,点D为线段BC的中点,求AC的长.
答案
14.(1)【证明】
∵∠CDE+∠C=180°,
∴DE//AC,
∴∠EDB=∠C.
在△BDE和△ACB中，$\begin{cases} ∠E=∠ABC,\\ ∠EDB=∠C,\\ BD=AC, \end{cases}$
∴△BDE≌△ACB(AAS),
∴DE=BC.
(2)【解】由(1)可知DE=BC.
∵DE=12,
∴BC=12.
∵D为线段BC的中点,
∴$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$.
由(1)可知△BDE≌△ACB,
∴AC=BD=6.
∵∠CDE+∠C=180°,
∴DE//AC,
∴∠EDB=∠C.
在△BDE和△ACB中，$\begin{cases} ∠E=∠ABC,\\ ∠EDB=∠C,\\ BD=AC, \end{cases}$
∴△BDE≌△ACB(AAS),
∴DE=BC.
(2)【解】由(1)可知DE=BC.
∵DE=12,
∴BC=12.
∵D为线段BC的中点,
∴$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$.
由(1)可知△BDE≌△ACB,
∴AC=BD=6.
15. (14分)在$△ ABC$和$△ ADE$中，$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ BAC=∠ DAE=90°$。
(1)当点$D$在$AC$上时，如图①，线段$BD$，$CE$有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想。
(2)将图①中的$△ ADE$绕点$A$顺时针旋转$α$($0°＜α＜90°$)，如图②，线段$BD$，$CE$有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由。
(1)当点$D$在$AC$上时，如图①，线段$BD$，$CE$有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想。
(2)将图①中的$△ ADE$绕点$A$顺时针旋转$α$($0°＜α＜90°$)，如图②，线段$BD$，$CE$有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由。
答案
15.【解】(1)$BD=CE,BD⊥CE$.
证明:延长BD交CE于点H.
在△EAC和△DAB中，$\begin{cases} AE=AD,\\ ∠EAC=∠DAB,\\ AC=AB, \end{cases}$
∴△EAC≌△DAB(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
∵∠DAE=90°,
∴∠AEC+∠ACE=90°,
∴∠ABD+∠AEC=90°,
∴∠BHE=90°,即BD⊥CE.
(2)$BD=CE,BD⊥CE$. 理由如下：
延长BD交CE于点F，
∵∠BAD+∠CAD=90°,∠CAD+∠EAC=90°,
∴∠BAD=∠EAC.
在△EAC和△DAB中，$\begin{cases} AE=AD,\\ ∠EAC=∠BAD,\\ AC=AB, \end{cases}$
∴△EAC≌△DAB(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
又
∵∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠CBF + ∠BCF = ∠ABC - ∠ABD + ∠ACB + ∠ACE=90°,
∴∠BFC=90°,即BD⊥CE.
证明:延长BD交CE于点H.
在△EAC和△DAB中，$\begin{cases} AE=AD,\\ ∠EAC=∠DAB,\\ AC=AB, \end{cases}$
∴△EAC≌△DAB(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
∵∠DAE=90°,
∴∠AEC+∠ACE=90°,
∴∠ABD+∠AEC=90°,
∴∠BHE=90°,即BD⊥CE.
(2)$BD=CE,BD⊥CE$. 理由如下：
延长BD交CE于点F，
∵∠BAD+∠CAD=90°,∠CAD+∠EAC=90°,
∴∠BAD=∠EAC.
在△EAC和△DAB中，$\begin{cases} AE=AD,\\ ∠EAC=∠BAD,\\ AC=AB, \end{cases}$
∴△EAC≌△DAB(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
又
∵∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠CBF + ∠BCF = ∠ABC - ∠ABD + ∠ACB + ∠ACE=90°,
∴∠BFC=90°,即BD⊥CE.
