8 如图，D是BC上一点，$AB=AD$，$BC=DE$，$AC=AE$，AC与DE交于点F.
（1）若$∠ BAD=38°$，求$∠ CAE$的度数；
（2）求证：$∠ CDE=∠ BAD$.

8. (1) 在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中,$\begin{cases} AB=AD, \\ BC=DE, \\ AC=AE, \end{cases}$ $\therefore △ ABC≌△ ADE.\therefore ∠ BAC=∠ DAE.\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC,$即$∠ BAD=∠ CAE=38°$
(2) 由(1)知,$△ ABC≌△ ADE,∠ BAD=∠ CAE,\therefore ∠ C=∠ E.$ 又$\because ∠ E+∠ AFE+∠ CAE=180°,∠ C+∠ CFD+∠ CDE=180°,∠ AFE=∠ CFD,\therefore ∠ CDE=∠ CAE.\because ∠ BAD=∠ CAE,\therefore ∠ CDE=∠ BAD$

【分析】
（1）求$∠ CAE$的度数时，先观察题干给出的三组边相等的条件，符合“SSS”判定三角形全等的要求，可先证明$△ ABC$和$△ ADE$全等，得到对应角$∠ BAC=∠ DAE$，再将两个角同时减去公共角$∠ DAC$，即可得到$∠ BAD=∠ CAE$，代入已知角度就能算出结果。
（2）证明$∠ CDE=∠ BAD$时，先由（1）的全等结论得到对应角$∠ C=∠ E$，再结合对顶角相等的性质，利用三角形内角和为$180°$，可推导出$∠ CDE=∠ CAE$，再结合（1）中$∠ BAD=∠ CAE$的结论，通过等量代换即可完成证明。
【解析】
（1）在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}AB=AD, \\BC=DE, \\AC=AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$，
$\because ∠ BAD=38°$，
$\therefore ∠ CAE=38°$。
（2）证明：由（1）可知$△ ABC≌△ ADE$，$∠ BAD=∠ CAE$，
$\therefore ∠ C=∠ E$。
根据三角形内角和定理可得：$∠ E+∠ AFE+∠ CAE=180°$，$∠ C+∠ CFD+∠ CDE=180°$，
又$\because ∠ AFE=∠ CFD$（对顶角相等），
$\therefore ∠ CDE=∠ CAE$，
$\because ∠ BAD=∠ CAE$，
$\therefore ∠ CDE=∠ BAD$。
【答案】
(1) $∠ CAE=38°$；
(2) $∠ CDE=∠ BAD$得证。
【知识点】
SSS判定全等，全等三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形应用的典型基础题，核心考查全等三角形的判定与性质的综合运用，解题时先通过SSS判定全等，再结合角的和差关系、对顶角性质、三角形内角和定理推导结论，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

9 根据下列条件,能画出唯一一个△ABC 的是
()

A.$AB=4,BC=6,∠A=120°$
B.$AB=1,BC=2,AC=3$
C.$AB=4,BC=3,∠A=30°$
D.$∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°$

9. A

【分析】
要判断哪个选项能画出唯一的△ABC，我们按以下思路逐个分析：首先判断选项给出的条件能否构成三角形，再判断构成的三角形是否唯一。判断依据包括：①三角形三边关系：两边之和大于第三边；②唯一确定三角形的条件需满足全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），注意“SSA”在已知角为锐角时不能确定唯一三角形，但已知角为钝角时可以确定唯一三角形；③仅知道三个内角（AAA）只能确定三角形形状，不能确定大小，可画出无数个相似三角形。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
1. 选项B：已知三边长度为1、2、3，因为AB+BC=1+2=3=AC，不符合“三角形两边之和大于第三边”的要求，无法构成三角形，故排除。
2. 选项D：仅给出三个内角的度数，属于“AAA”的情况，只能确定三角形的形状，无法确定边长，可画出无数个大小不同的相似三角形，不唯一，故排除。
3. 选项C：已知AB=4，BC=3，∠A=30°，属于“两边及其中一边的对角（SSA）”的情况，且∠A是锐角，此时以点B为圆心、BC长为半径画弧，与∠A的另一边有2个交点，可画出2个不同的△ABC，不唯一，故排除。
4. 选项A：∠A=120°是钝角，是△ABC中最大的角，其对边BC=6为最长边，AB=4＜6，满足构成三角形的条件；且当已知角为钝角时，“SSA”的情况只能画出1个唯一的三角形，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系；全等三角形判定；三角形唯一性判定
【点评】
本题易混淆“SSA”的适用情况，解题时要先排除不能构成三角形的选项，再结合角的类型判断三角形是否唯一，同时要牢记“AAA”只能确定三角形形状，无法确定大小，不能得到唯一三角形。
【难度系数】
0.6

10 如图，$△ ABC$ 是一个屋架，$AB=AC$，$D$ 为 $BC$ 的中点。有下列结论：① $△ ABD ≌ △ ACD$；② $AD ⊥ BC$；③ $AD$ 平分 $∠ BAC$；④ $∠ B = ∠ C = 45°$。其中，不一定正确的是 （填序号）。（第10题）

10. ④

【分析】
已知△ABC是等腰三角形（AB=AC），D为BC中点即BD=CD，我们可先通过SSS判定定理判断△ABD和△ACD是否全等，再结合全等三角形的性质逐一验证四个结论是否一定成立，注意不要自行添加题干未给出的条件。
首先，AB=AC、BD=CD、AD为公共边，满足SSS全等判定条件，可得△ABD≌△ACD；再由全等对应角相等可推出AD⊥BC、AD平分∠BAC；而结论④要求∠B=∠C=45°，只有△ABC为等腰直角三角形时才成立，题干未给出直角相关条件，因此该结论不一定成立。
【解析】
已知AB=AC，D是BC中点，因此BD=CD。
1. 证明△ABD≌△ACD：
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\BD=CD\\AD=AD（公共边）\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SSS），故①一定正确；
2. 由全等三角形的性质可得∠ADB=∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，故②一定正确；
3. 由全等三角形的性质可得∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，故③一定正确；
4. 题干仅说明△ABC是等腰三角形，未说明∠BAC=90°，因此∠B和∠C不一定等于45°，故④不一定正确。
【答案】
④
【知识点】
SSS判定三角形全等，全等三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题易错点是容易默认等腰三角形为等腰直角三角形，从而误判结论④正确，解题时要严格依据题干给出的条件推导，不能随意添加额外条件。
【难度系数】
0.8

11 如图，$AB=AC$，$AD=AE$，$BD=CE$，且$B$，$D$，$E$三点共线. 若$∠ CAE=18°$，$∠ ACE=48°$，求$∠ ADE$的度数.

11. 在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CE, \\ AD=AE, \end{cases}$ $\therefore △ ABD≌△ ACE.$ $\therefore ∠ BAD=∠ CAE=18°,∠ ABD=∠ ACE=48°.\therefore ∠ ADE=∠ BAD+∠ ABD=66°$

【分析】
要求∠ADE的度数，观察图形可知∠ADE是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，∠ADE等于与它不相邻的两个内角∠BAD、∠ABD的和，因此只需得到这两个角的度数即可。题目给出了三组对应边相等，可先利用“SSS”判定△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等，将已知的∠CAE、∠ACE转化为∠BAD、∠ABD，最后代入计算就能得到∠ADE的度数。
【解析】
在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE \ (\mathrm{SSS}).$
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE=18°,∠ ABD=∠ ACE=48°.$
$\because ∠ ADE$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ ADE=∠ BAD+∠ ABD=18°+48°=66°.$
【答案】
$66°$
【知识点】
SSS判定三角形全等、全等三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是先通过SSS证明三角形全等，实现已知角和未知角的转化，再结合外角性质计算角度，解题时要注意找准全等三角形的对应角，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.7

12 如图，$AD=CB$，$AB=CD$. 求证：$∠ BAD + ∠ ADC=180°$.

12. 如图,连接 AC. 在$△ ADC$ 和$△ CBA$ 中,$\begin{cases} AD=CB, \\ AC=CA, \\ CD=AB, \end{cases}$ $\therefore △ ADC≌△ CBA.\therefore ∠ DCA=∠ BAC.\therefore AB// CD.$ $\therefore ∠ BAD+∠ ADC=180°$

【分析】
要证明$∠ BAD + ∠ ADC=180°$，观察两角位置可知，它们是直线$AB$、$CD$被$AD$所截的同旁内角，因此只需证明$AB// CD$即可；要证平行需得到相等的内错角，题目给出的都是边相等的条件，可通过三角形全等得到角相等的结论；我们可以连接$AC$作为公共边，构造$△ ADC$和$△ CBA$，利用“SSS”判定两三角形全等，得到对应角相等后推出$AB// CD$，即可得到待证结论。
【解析】
证明：如图，连接$AC$。
在$△ ADC$和$△ CBA$中：
$\begin{cases}AD=CB（已知）, \\AC=CA（公共边）, \\CD=AB（已知）,\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CBA（\mathrm{SSS}）$。
$\therefore ∠ DCA=∠ BAC$（全等三角形的对应角相等）。
$\therefore AB// CD$（内错角相等，两直线平行）。
$\therefore ∠ BAD+∠ ADC=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
【答案】
12. 如图,连接 AC. 在$△ ADC$ 和$△ CBA$ 中,$\begin{cases} AD=CB, \\ AC=CA, \\ CD=AB, \end{cases}$ $\therefore △ ADC≌△ CBA.\therefore ∠ DCA=∠ BAC.\therefore AB// CD.$ $\therefore ∠ BAD+∠ ADC=180°$
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是全等三角形与平行线相关知识的基础综合题，解题的核心是合理添加辅助线构造全等三角形，将边的相等关系转化为角的相等关系，进而结合平行线的性质完成证明，侧重考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8

13 如图，D是四边形AEBC内一点，连接AD，BD。已知$CA=CB$，$DA=DB$，$EA=EB$，那么C，D，E三点在一条直线上吗？为什么？

13. C,D,E 三点在一条直线上 如图,连接 CD,ED. 在$△ ADC$ 和$△ BDC$ 中,$\begin{cases} AC=BC, \\ AD=BD, \\ CD=CD, \end{cases}$ $\therefore △ ADC≌△ BDC.\therefore ∠ ADC=∠ BDC.$ 在$△ ADE$ 和$△ BDE$ 中,$\begin{cases} AD=BD, \\ AE=BE, \\ DE=DE, \end{cases}$ $\therefore △ ADE≌△ BDE.\therefore ∠ ADE=∠ BDE.$ $\because ∠ ADC+∠ BDC+∠ ADE+∠ BDE=360°,\therefore ∠ ADC+∠ ADE=180°.\therefore C,D,E$ 三点在一条直线上

【分析】
要判断C、D、E三点是否共线，可通过证明以D为顶点的∠CDE是平角（即180°）来推导。题目给出多组边相等的条件，结合公共边，可利用“SSS”判定定理证明两组三角形全等，得到对应角相等，再结合周角为360°的性质，推导得出∠ADC+∠ADE=180°，即可证明三点共线。
【解析】
C、D、E三点在一条直线上，理由如下：
如图，连接CD、ED。
在$△ ADC$和$△ BDC$中：
$\begin{cases} AC=BC, \\ AD=BD, \\ CD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ BDC(\mathrm{SSS})$，$\therefore ∠ ADC=∠ BDC$。
在$△ ADE$和$△ BDE$中：
$\begin{cases} AD=BD, \\ AE=BE, \\ DE=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ BDE(\mathrm{SSS})$，$\therefore ∠ ADE=∠ BDE$。
$\because ∠ ADC+∠ BDC+∠ ADE+∠ BDE=360°$（周角的定义），
$\therefore 2∠ ADC+2∠ ADE=360°$，即$∠ ADC+∠ ADE=180°$，
$\therefore ∠ CDE$为平角，故C、D、E三点在一条直线上。
【答案】
13. C,D,E 三点在一条直线上 如图,连接 CD,ED. 在$△ ADC$ 和$△ BDC$ 中,$\begin{cases} AC=BC, \\ AD=BD, \\ CD=CD, \end{cases}$ $\therefore △ ADC≌△ BDC.\therefore ∠ ADC=∠ BDC.$ 在$△ ADE$ 和$△ BDE$ 中,$\begin{cases} AD=BD, \\ AE=BE, \\ DE=DE, \end{cases}$ $\therefore △ ADE≌△ BDE.\therefore ∠ ADE=∠ BDE.$ $\because ∠ ADC+∠ BDC+∠ ADE+∠ BDE=360°,\therefore ∠ ADC+∠ ADE=180°.\therefore C,D,E$ 三点在一条直线上

【知识点】
1. SSS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 平角的定义
【点评】
本题考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题关键是明确三点共线的证明思路，结合已知的边相等条件选择SSS判定定理构造全等三角形，通过角的数量关系推导得到平角完成证明，是三角形全等应用的基础题型。
【难度系数】
0.7