1 如图，$AB = 10$，$BC = 8$，$∠ A = ∠ ACD$，则$△ BCD$的周长是 （）

A.18
B.20
C.26
D.28

1. A

【分析】
首先观察已知条件∠A=∠ACD，根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”可推出AD=CD；要求△BCD的周长，先写出周长表达式：△BCD的周长=BC+BD+CD，将CD替换为AD后，BD+AD恰好等于AB，因此可将周长转化为已知线段AB与BC的和，代入数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵ ∠A = ∠ACD，
∴ AD = CD（等角对等边）。
△BCD的周长 = BC + BD + CD，
将CD=AD代入得：
周长 = BC + BD + AD = BC + AB，
已知AB=10，BC=8，
∴ 周长 = 10 + 8 = 18。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形周长计算、等量代换
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是利用等腰三角形的判定实现线段的等量转化，将未知周长转化为已知线段的和，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8

2（易错题）如图，P是射线MN上一动点，∠AMN=38°，当∠A=时，△AMP是等腰三角形。

2. 38°或71°或104°
易错分析：2. 因不明确等腰三角形的腰和底边而漏解。

【分析】
要使△AMP为等腰三角形，因题目未明确等腰三角形的腰和底边，需分三类讨论：①AM=AP；②AM=MP；③MP=AP。结合已知∠AMN=38°，利用等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和为180°，分别计算对应情况下∠A的度数即可。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 若$AM=AP$，则$∠ APM=∠ AMN=38°$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ A=180° - 38° - 38°=104°$；
2. 若$AM=MP$，则$∠ A=∠ APM$，
因此$∠ A=(180° - ∠ AMN)÷2=(180° -38°)÷2=71°$；
3. 若$MP=AP$，则$∠ A=∠ AMN=38°$。
综上，$∠ A$的取值为$38°$或$71°$或$104°$。
【答案】
38°或71°或104°
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题为易错题，解题时容易因忽略等腰三角形腰和底边的不确定性漏解，遇到未明确腰的等腰三角形问题时，要先分类讨论所有可能的情况，再结合三角形的相关性质计算。
【难度系数】
0.6

3 教材 P81 练习 T1 变式 如图，$∠ B = ∠ C = 36°$，$∠ ADE = ∠ AED = 72°$，则图中的等腰三角形有个.

3. 6

【分析】
要确定图中等腰三角形的个数，依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，我们可以先计算出图中每个三角形的内角度数，再逐个验证是否存在两个相等的内角，数三角形时按顺序列举，避免漏数或重复。
【解析】
我们逐个分析图中的三角形：
1. △ABC：已知∠B=∠C=36°，两个底角相等，是等腰三角形，可算出∠BAC=180°-36°×2=108°。
2. △ADE：已知∠ADE=∠AED=72°，两个底角相等，是等腰三角形，可算出∠DAE=180°-72°×2=36°。
3. △ABD：∠ADE是△ABD的外角，根据三角形外角性质，∠ADE=∠B+∠BAD，代入数值得∠BAD=72°-36°=36°，所以∠B=∠BAD=36°，是等腰三角形。
4. △AEC：同理，∠AED是△AEC的外角，∠CAE=∠AED-∠C=72°-36°=36°，所以∠C=∠CAE=36°，是等腰三角形。
5. △ABE：∠BAE=∠BAD+∠DAE=36°+36°=72°，所以∠BAE=∠AEB=72°，两个角相等，是等腰三角形。
6. △ADC：∠CAD=∠CAE+∠DAE=36°+36°=72°，所以∠CAD=∠ADC=72°，两个角相等，是等腰三角形。
综上，共有6个等腰三角形。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，解题时要先明确所有待判断的三角形，再结合三角形内角和、外角性质计算各角度数，按顺序验证可有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.7

4 如图，B，E，C，F 是直线 l 上的四点，AC，DE 相交于点 G，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF。求证：△GEC 是等腰三角形。（第4题）

4. $\because BE=CF,\therefore BE+CE=CF+CE.\therefore BC=FE.$在$△ ABC$和$△ DFE$ 中,$\begin{cases} AB=DF, \\ AC=DE, \\ BC=FE, \end{cases}$$\therefore △ ABC ≌ △ DFE. \therefore ∠ ACB =∠ DEF. \therefore CG=EG. \therefore △ GEC$ 是等腰三角形

【分析】
要证明△GEC是等腰三角形，可通过证明它的两个底角相等推导得出。首先观察已知条件，有三组边的等量关系，可先证明△ABC和△DFE全等得到对应角相等。已知BE=CF，给等式两边同时加上公共线段CE，即可得到BC=FE，结合给出的AB=DF、AC=DE，可通过SSS判定两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等得到∠ACB=∠DEF，最后根据等角对等边即可证明△GEC为等腰三角形。
【解析】
证明：
$\because BE=CF$，
$\therefore BE+CE=CF+CE$，即$BC=FE$。
在$△ ABC$和$△ DFE$ 中，
$\begin{cases} AB=DF, \\ AC=DE, \\ BC=FE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DFE\ (\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ DEF$，
$\therefore CG=EG$（等角对等边），
$\therefore △ GEC$是等腰三角形。
【答案】
$\because BE=CF,\therefore BE+CE=CF+CE.\therefore BC=FE.$在$△ ABC$和$△ DFE$ 中,$\begin{cases} AB=DF, \\ AC=DE, \\ BC=FE, \end{cases}$$\therefore △ ABC ≌ △ DFE. \therefore ∠ ACB =∠ DEF. \therefore CG=EG. \therefore △ GEC$ 是等腰三角形
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查全等三角形的证明以及等腰三角形的判定，解题的突破口是利用线段和差得到全等所需的对应边，注意题目中公共线段的隐含条件的运用，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

5 教材P81练习T3变式 如图，AC和BD相交于点O，AB//DC，OA=OB=4。若OC=3，则BD的长为（）

A.5
B.6
C.7
D.8

5. C

【分析】
解题时先从已知条件OA=OB出发，结合等腰三角形等边对等角的性质得到∠A=∠B；再利用AB平行于DC的平行线性质，得到内错角相等，通过等量代换推出∠C=∠D；然后根据等腰三角形等角对等边的判定，得到OD=OC；最后结合线段和的关系，代入已知长度计算BD的长度即可。
【解析】
解：
∵OA=OB=4
∴∠A=∠B（等边对等角）
∵AB//DC
∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）
∴∠C=∠D（等量代换）
∴OD=OC=3（等角对等边）
∴BD=OB+OD=4+3=7
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查平行线性质和等腰三角形的性质与判定的应用，解题的关键是通过角的等量代换得到相等的角，进而推出边的等量关系，是等腰三角形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8

6 如图,在$△ ABC$中,$∠ B = ∠ C$,分别在边$AB$,$AC$上取点$D$,$E$,使$BD = CE$.若$∠ A = 48°$,则$∠ AED$的度数为.

6. 66°

【分析】
解题时首先从已知∠B=∠C出发，利用等腰三角形的判定可得AB=AC；再结合BD=CE，可推出AD=AE，即△ADE为等腰三角形；接下来利用三角形内角和定理求出等腰△ADE的底角∠AED的度数即可。
【解析】
解：在△ABC中，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边），
又
∵BD=CE，
∴AB-BD=AC-CE，即AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED，
∵三角形内角和为180°，∠A=48°，
∴∠AED=(180°-∠A)÷2=(180°-48°)÷2=66°。
【答案】
66°
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形“等角对等边”“等边对等角”的性质运用，解题的关键是通过线段的和差关系推导得到△ADE为等腰三角形，再结合三角形内角和计算角度即可。
【难度系数】
0.8

7 如图，D为$△ ABC$的边AB的延长线上一点，过点D作$DF ⊥ AC$，垂足为F，交BC于点E，且$BD=BE$，求证：$△ ABC$是等腰三角形。

7. $\because BD = BE, \therefore ∠ D = ∠ BED. \because ∠ BED = ∠ CEF,$
$\therefore ∠ D=∠ CEF. \because DF ⊥ AC, \therefore ∠ A + ∠ D = 90°,∠ CEF +∠ C=90°. \therefore ∠ A=∠ C. \therefore AB=BC. \therefore △ ABC$ 是等腰三角形

【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，只需证明该三角形有两个内角相等，即证∠A=∠C即可。首先由已知BD=BE，利用等边对等角可得∠D=∠BED，再结合对顶角相等将∠BED转化为∠CEF，得到∠D=∠CEF；接着根据DF⊥AC的条件，利用直角三角形两锐角互余，可得∠A与∠D互余、∠C与∠CEF互余，最后根据等角的余角相等即可推出∠A=∠C，进而证明结论。
【解析】
证明：
∵ BD = BE，
∴ ∠D = ∠BED。
∵ ∠BED = ∠CEF（对顶角相等），
∴ ∠D=∠ CEF。
∵ DF ⊥ AC，
∴ ∠A + ∠D = 90°，∠CEF +∠ C=90°。
∴ ∠A=∠ C，
∴ AB=BC，
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定、等边对等角、等角的余角相等
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查角的等量代换能力，解题关键是结合已知条件将分散的角关系进行转化，从而推导得到三角形的内角相等关系，能有效锻炼基础逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

8 教材P81例3变式 已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线的长为b(如图)，求作这个等腰三角形.

8. 如图,作线段 $AB=a$,作线段 $AB$ 的垂直平分线 $MN$,与 $AB$ 交于点 $D$,在 $MN$ 上取点 $C$,使 $DC=b$. 连接 $AC,BC$,则$△ ABC$即为所求作的等腰三角形

【分析】
要作出该等腰三角形，可结合等腰三角形的性质推导作图思路：等腰三角形存在“三线合一”的特点，即顶角的平分线同时是底边上的中线和底边上的高，因此顶角平分线一定在底边的垂直平分线上，且顶角平分线的长度就是底边中点到顶角顶点的距离。按以下逻辑逐步操作即可：首先画出长度为a的底边，再作底边的垂直平分线得到底边中点，接着在垂直平分线上截取长度为b的线段确定顶角的顶点，最后连接顶点和底边的两个端点就能得到目标三角形。
【解析】
1. 作线段$AB = a$；
2. 作线段$AB$的垂直平分线$MN$，$MN$与$AB$交于点$D$，点$D$即为$AB$的中点；
3. 在垂直平分线$MN$上选取点$C$，使得$DC = b$；
4. 依次连接$AC$、$BC$，此时$AC=BC$，$CD$为顶角$∠ACB$的平分线且长度为$b$，$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
【答案】
如图,作线段 $AB=a$,作线段 $AB$ 的垂直平分线 $MN$,与 $AB$ 交于点 $D$,在 $MN$ 上取点 $C$,使 $DC=b$. 连接 $AC,BC$,则$△ ABC$即为所求作的等腰三角形
【知识点】
等腰三角形三线合一；尺规作线段；尺规作垂直平分线
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质确定顶角顶点的位置，需要熟练掌握作线段、作垂直平分线等基本尺规作图的操作方法。
【难度系数】
0.8