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1 如图，在一个风筝骨架ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，分别在AB，AD的中点E，F处挂两根彩线EC，FC，求证：EC＝FC。
（第1题）
（第1题）答案
1. 连接AC. 在△ABC 和△ADC 中,
$\begin{cases} AB=AD,\\ BC=DC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴ △ABC≌△ADC.
∴ ∠BAC=∠DAC.
∵ E,F 分别为AB,AD 的中点,
∴ $AE=\frac{1}{2}AB$,$AF=\frac{1}{2}AD$. 又
∵ AB=AD,
∴ AE=AF. 在△ACE 和△ACF 中,
$\begin{cases} AE=AF,\\ ∠EAC=∠FAC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴ △ACE≌△ACF.
∴ EC=FC
$\begin{cases} AB=AD,\\ BC=DC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴ △ABC≌△ADC.
∴ ∠BAC=∠DAC.
∵ E,F 分别为AB,AD 的中点,
∴ $AE=\frac{1}{2}AB$,$AF=\frac{1}{2}AD$. 又
∵ AB=AD,
∴ AE=AF. 在△ACE 和△ACF 中,
$\begin{cases} AE=AF,\\ ∠EAC=∠FAC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴ △ACE≌△ACF.
∴ EC=FC
解析
【分析】要证明EC=FC，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现，即证△AEC≌△AFC。已知AB=AD，E、F分别是AB、AD的中点，可得AE=AF，且△AEC和△AFC有公共边AC，因此还需证明夹角∠EAC=∠FAC。我们可以连接AC，先利用SSS判定证明△ABC≌△ADC，即可得到∠BAC=∠DAC，再用SAS判定证明△AEC≌△AFC，就能推出EC=FC。
【解析】
证明：连接AC.
在△ABC 和△ADC 中,
$\begin{cases} AB=AD,\\ BC=DC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴ △ABC≌△ADC（SSS）.
∴ ∠BAC=∠DAC.
∵ E,F 分别为AB,AD 的中点,
∴ $AE=\frac{1}{2}AB$,$AF=\frac{1}{2}AD$.
又
∵ AB=AD,
∴ AE=AF.
在△ACE 和△ACF 中,
$\begin{cases} AE=AF,\\ ∠EAC=∠FAC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴ △ACE≌△ACF（SAS）.
∴ EC=FC.
【答案】
EC=FC，得证。
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、中点的性质
【点评】
本题是构造全等三角形的基础题，通过连接公共对角线作为辅助线构造第一组全等三角形，得到对应角相等的条件后，再次证明三角形全等即可得到待证的相等线段，熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会常见的辅助线构造方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
【解析】
证明：连接AC.
在△ABC 和△ADC 中,
$\begin{cases} AB=AD,\\ BC=DC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴ △ABC≌△ADC（SSS）.
∴ ∠BAC=∠DAC.
∵ E,F 分别为AB,AD 的中点,
∴ $AE=\frac{1}{2}AB$,$AF=\frac{1}{2}AD$.
又
∵ AB=AD,
∴ AE=AF.
在△ACE 和△ACF 中,
$\begin{cases} AE=AF,\\ ∠EAC=∠FAC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴ △ACE≌△ACF（SAS）.
∴ EC=FC.
【答案】
EC=FC，得证。
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、中点的性质
【点评】
本题是构造全等三角形的基础题，通过连接公共对角线作为辅助线构造第一组全等三角形，得到对应角相等的条件后，再次证明三角形全等即可得到待证的相等线段，熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会常见的辅助线构造方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
2 如图，$△ ABC$ 的面积为 $6\ \mathrm{cm}^2$，$BP$ 平分 $∠ ABC$，$AP ⊥ BP$ 于点 $P$，连接 $PC$，则 $△ PBC$ 的面积为
3
$\mathrm{cm}^2$。答案
2. 3
解析
【分析】
看到“角平分线+过边上一点垂直于角平分线”的条件，我们可以通过延长垂线构造全等三角形：延长AP交BC于点D，先利用角平分线和垂直的条件证明△ABP≌△DBP，得到AP=DP；再根据等底同高的三角形面积相等，可知△PBC的面积是△ABC面积的一半，代入数值即可求解。
【解析】
解：延长AP交BC于点D。
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠ABP=∠DBP，
又
∵ AP⊥BP，
∴ ∠APB=∠DPB=90°，
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴ △ABP≌△DBP（ASA），
∴ AP=DP。
∵ AP=DP，△ABP与△DBP等底同高，△ACP与△DCP等底同高，
∴ $S_{△ ABP}=S_{△ DBP}$，$S_{△ ACP}=S_{△ DCP}$，
∴ $S_{△ PBC}=S_{△ DBP}+S_{△ DCP}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}+\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵ $S_{△ ABC}=6\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形面积计算；角平分线的定义
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，掌握“角平分线遇垂线，延长线段出全等”的辅助线构造方法是解题的突破口，结合等底同高三角形面积相等的性质可快速得到面积关系。
【难度系数】
0.7
看到“角平分线+过边上一点垂直于角平分线”的条件，我们可以通过延长垂线构造全等三角形：延长AP交BC于点D，先利用角平分线和垂直的条件证明△ABP≌△DBP，得到AP=DP；再根据等底同高的三角形面积相等，可知△PBC的面积是△ABC面积的一半，代入数值即可求解。
【解析】
解：延长AP交BC于点D。
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠ABP=∠DBP，
又
∵ AP⊥BP，
∴ ∠APB=∠DPB=90°，
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴ △ABP≌△DBP（ASA），
∴ AP=DP。
∵ AP=DP，△ABP与△DBP等底同高，△ACP与△DCP等底同高，
∴ $S_{△ ABP}=S_{△ DBP}$，$S_{△ ACP}=S_{△ DCP}$，
∴ $S_{△ PBC}=S_{△ DBP}+S_{△ DCP}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}+\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵ $S_{△ ABC}=6\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形面积计算；角平分线的定义
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，掌握“角平分线遇垂线，延长线段出全等”的辅助线构造方法是解题的突破口，结合等底同高三角形面积相等的性质可快速得到面积关系。
【难度系数】
0.7
3 如图，P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，求证：PM=PN.
答案
3. 过点 P 分别作 $PE ⊥ OA$ 于点 E, $PF ⊥ OB$ 于点 F,则∠PEM=∠PEO=∠PFO=90°.
∴ ∠OPE+∠EOP=90°,∠OPF+∠FOP=90°.
∴ ∠OPE+∠OPF+∠EOP+∠FOP=180°, 即 ∠EPF+∠AOB=180°.
∵ ∠MPN 与∠AOB 互补,
∴ ∠MPN+∠AOB=180°.
∴ ∠MPN=∠EPF.
∴ ∠MPN-∠EPN=∠EPF-∠EPN,即∠EPM=∠FPN.
∵ OP 平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴ PE=PF.
在△PEM 和△PFN 中,
$\begin{cases} ∠EPM=∠FPN,\\ PE=PF,\\ ∠PEM=∠PFN, \end{cases}$
∴ △PEM≌△PFN.
∴ PM=PN
∴ ∠OPE+∠EOP=90°,∠OPF+∠FOP=90°.
∴ ∠OPE+∠OPF+∠EOP+∠FOP=180°, 即 ∠EPF+∠AOB=180°.
∵ ∠MPN 与∠AOB 互补,
∴ ∠MPN+∠AOB=180°.
∴ ∠MPN=∠EPF.
∴ ∠MPN-∠EPN=∠EPF-∠EPN,即∠EPM=∠FPN.
∵ OP 平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴ PE=PF.
在△PEM 和△PFN 中,
$\begin{cases} ∠EPM=∠FPN,\\ PE=PF,\\ ∠PEM=∠PFN, \end{cases}$
∴ △PEM≌△PFN.
∴ PM=PN
解析
【分析】
要证明PM=PN，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知OP是∠AOB的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此优先考虑过点P作OA、OB的垂线，得到两条相等的垂线段，构造出两个直角三角形；再结合∠MPN与∠AOB互补的条件，推导出两个三角形的对应角相等，即可利用ASA判定三角形全等，进而得到对应边PM=PN。
【解析】
过点 P 分别作 $PE ⊥ OA$ 于点 E, $PF ⊥ OB$ 于点 F,则∠PEM=∠PEO=∠PFO=90°.
∴ ∠OPE+∠EOP=90°,∠OPF+∠FOP=90°.
∴ ∠OPE+∠OPF+∠EOP+∠FOP=180°, 即 ∠EPF+∠AOB=180°.
∵ ∠MPN 与∠AOB 互补,
∴ ∠MPN+∠AOB=180°.
∴ ∠MPN=∠EPF.
∴ ∠MPN-∠EPN=∠EPF-∠EPN,即∠EPM=∠FPN.
∵ OP 平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴ PE=PF.
在△PEM 和△PFN 中,
$\begin{cases} ∠EPM=∠FPN,\\ PE=PF,\\ ∠PEM=∠PFN, \end{cases}$
∴ △PEM≌△PFN(ASA).
∴ PM=PN
【答案】
PM=PN
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；补角的定义
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的典型题型，通过作角两边的垂线构造全等三角形是解题的核心技巧，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定方法，能快速解决这类动态旋转中的线段相等证明问题。
【难度系数】
0.7
要证明PM=PN，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知OP是∠AOB的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此优先考虑过点P作OA、OB的垂线，得到两条相等的垂线段，构造出两个直角三角形；再结合∠MPN与∠AOB互补的条件，推导出两个三角形的对应角相等，即可利用ASA判定三角形全等，进而得到对应边PM=PN。
【解析】
过点 P 分别作 $PE ⊥ OA$ 于点 E, $PF ⊥ OB$ 于点 F,则∠PEM=∠PEO=∠PFO=90°.
∴ ∠OPE+∠EOP=90°,∠OPF+∠FOP=90°.
∴ ∠OPE+∠OPF+∠EOP+∠FOP=180°, 即 ∠EPF+∠AOB=180°.
∵ ∠MPN 与∠AOB 互补,
∴ ∠MPN+∠AOB=180°.
∴ ∠MPN=∠EPF.
∴ ∠MPN-∠EPN=∠EPF-∠EPN,即∠EPM=∠FPN.
∵ OP 平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴ PE=PF.
在△PEM 和△PFN 中,
$\begin{cases} ∠EPM=∠FPN,\\ PE=PF,\\ ∠PEM=∠PFN, \end{cases}$
∴ △PEM≌△PFN(ASA).
∴ PM=PN
【答案】
PM=PN
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；补角的定义
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的典型题型，通过作角两边的垂线构造全等三角形是解题的核心技巧，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定方法，能快速解决这类动态旋转中的线段相等证明问题。
【难度系数】
0.7
4 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且∠B+∠D=180°.求证:AE=AD+EB.
答案
4. 如图, 在 EA 上截取 EF=EB, 连接 FC.
∵ CE⊥AB,
∴ ∠FEC= ∠BEC = 90°. 在 △CFE 和 △CBE 中,
$\begin{cases} EC=EC,\\ ∠FEC=∠BEC,\\ EF=EB, \end{cases}$
∴ △CFE≌△CBE.
∴ ∠CFE=∠B. 又
∵ ∠CFE+∠AFC=180°,∠B+∠D=180°,
∴ ∠AFC=∠D.
∵ AC 平分∠BAD,
∴ ∠FAC=∠DAC. 在△AFC 和△ADC 中,
$\begin{cases} ∠AFC=∠D,\\ ∠FAC=∠DAC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴ △AFC≌△ADC.
∴ AF=AD.
∵ AE=AF+EF,
∴ AE=AD+EB
解析
【分析】
要证明一条线段等于另外两条线段的和，通常采用“截长补短”的解题思路。本题可使用截长法：在较长线段AE上截取一段等于较短的线段EB，再证明剩余的线段长度等于AD即可。首先结合CE⊥AB的垂直条件构造第一组全等三角形，得到对应角相等，再结合∠B与∠D互补的已知条件推导相等的角，最后利用AC平分∠BAD的性质构造第二组全等三角形，证明剩余线段与AD相等，即可推导出最终结论。
【解析】
在EA上截取EF=EB，连接FC。
∵ CE⊥AB，
∴ ∠FEC= ∠BEC = 90°。
在△CFE和△CBE中，
$\begin{cases} EC=EC,\\ ∠FEC=∠BEC,\\ EF=EB, \end{cases}$
∴ △CFE≌△CBE（SAS）。
∴ ∠CFE=∠B。
又
∵ ∠CFE+∠AFC=180°，∠B+∠D=180°，
∴ ∠AFC=∠D（等角的补角相等）。
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠FAC=∠DAC。
在△AFC和△ADC中，
$\begin{cases} ∠AFC=∠D,\\ ∠FAC=∠DAC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴ △AFC≌△ADC（AAS）。
∴ AF=AD。
∵ AE=AF+EF，且EF=EB，
∴ AE=AD+EB。
【答案】
4. 如图, 在 EA 上截取 EF=EB, 连接 FC.
∵ CE⊥AB,
∴ ∠FEC= ∠BEC = 90°. 在 △CFE 和 △CBE 中,
$\begin{cases} EC=EC,\\ ∠FEC=∠BEC,\\ EF=EB, \end{cases}$
∴ △CFE≌△CBE.
∴ ∠CFE=∠B. 又
∵ ∠CFE+∠AFC=180°,∠B+∠D=180°,
∴ ∠AFC=∠D.
∵ AC 平分∠BAD,
∴ ∠FAC=∠DAC. 在△AFC 和△ADC 中,
$\begin{cases} ∠AFC=∠D,\\ ∠FAC=∠DAC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴ △AFC≌△ADC.
∴ AF=AD.
∵ AE=AF+EF,
∴ AE=AD+EB
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；截长补短构造全等
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心是通过截长补短的方法构造全等三角形，将分散的线段关系转化为共线线段的和差关系，解题时要结合已知的垂直、角平分线、互补角等条件，准确寻找全等三角形的对应相等元素即可完成推导。
【难度系数】
0.6
要证明一条线段等于另外两条线段的和，通常采用“截长补短”的解题思路。本题可使用截长法：在较长线段AE上截取一段等于较短的线段EB，再证明剩余的线段长度等于AD即可。首先结合CE⊥AB的垂直条件构造第一组全等三角形，得到对应角相等，再结合∠B与∠D互补的已知条件推导相等的角，最后利用AC平分∠BAD的性质构造第二组全等三角形，证明剩余线段与AD相等，即可推导出最终结论。
【解析】
在EA上截取EF=EB，连接FC。
∵ CE⊥AB，
∴ ∠FEC= ∠BEC = 90°。
在△CFE和△CBE中，
$\begin{cases} EC=EC,\\ ∠FEC=∠BEC,\\ EF=EB, \end{cases}$
∴ △CFE≌△CBE（SAS）。
∴ ∠CFE=∠B。
又
∵ ∠CFE+∠AFC=180°，∠B+∠D=180°，
∴ ∠AFC=∠D（等角的补角相等）。
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠FAC=∠DAC。
在△AFC和△ADC中，
$\begin{cases} ∠AFC=∠D,\\ ∠FAC=∠DAC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴ △AFC≌△ADC（AAS）。
∴ AF=AD。
∵ AE=AF+EF，且EF=EB，
∴ AE=AD+EB。
【答案】
4. 如图, 在 EA 上截取 EF=EB, 连接 FC.
∵ CE⊥AB,
∴ ∠FEC= ∠BEC = 90°. 在 △CFE 和 △CBE 中,
$\begin{cases} EC=EC,\\ ∠FEC=∠BEC,\\ EF=EB, \end{cases}$
∴ △CFE≌△CBE.
∴ ∠CFE=∠B. 又
∵ ∠CFE+∠AFC=180°,∠B+∠D=180°,
∴ ∠AFC=∠D.
∵ AC 平分∠BAD,
∴ ∠FAC=∠DAC. 在△AFC 和△ADC 中,
$\begin{cases} ∠AFC=∠D,\\ ∠FAC=∠DAC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴ △AFC≌△ADC.
∴ AF=AD.
∵ AE=AF+EF,
∴ AE=AD+EB
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；截长补短构造全等
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心是通过截长补短的方法构造全等三角形，将分散的线段关系转化为共线线段的和差关系，解题时要结合已知的垂直、角平分线、互补角等条件，准确寻找全等三角形的对应相等元素即可完成推导。
【难度系数】
0.6
