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1[2026广东江门期中]化简$\sqrt{64×25}$的结果是（
A.100
B.60
C.40
D.20
C
）A.100
B.60
C.40
D.20
答案
1.C 【解析】$\sqrt{64×25} = \sqrt{64}×\sqrt{25} = 8×5 = 40$.故选 C.
解析
【分析】
本题是二次根式的化简题，观察根号内是两个正整数的乘积，可运用积的算术平方根的性质解题：积的算术平方根等于积中各非负因式的算术平方根的积，我们只需先分别求出两个因数的算术平方根，再将结果相乘就能得到最终化简值。
【解析】
根据二次根式积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{64×25} = \sqrt{64}×\sqrt{25}$
分别计算算术平方根：$\sqrt{64}=8$，$\sqrt{25}=5$，代入计算得：
$8×5=40$
因此化简结果为40，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
积的算术平方根的性质，二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心考查二次根式相关运算性质的应用，计算难度低，熟练掌握基础性质即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题是二次根式的化简题，观察根号内是两个正整数的乘积，可运用积的算术平方根的性质解题：积的算术平方根等于积中各非负因式的算术平方根的积，我们只需先分别求出两个因数的算术平方根，再将结果相乘就能得到最终化简值。
【解析】
根据二次根式积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{64×25} = \sqrt{64}×\sqrt{25}$
分别计算算术平方根：$\sqrt{64}=8$，$\sqrt{25}=5$，代入计算得：
$8×5=40$
因此化简结果为40，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
积的算术平方根的性质，二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心考查二次根式相关运算性质的应用，计算难度低，熟练掌握基础性质即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2[2025陕西西安质检]若$\sqrt{b-4}+(a-3)^2=0$，则化简$\sqrt{\frac{a}{b}}$的结果是（
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\pm\frac{2\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{2\sqrt{3}}{2}$
B
）A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\pm\frac{2\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{2\sqrt{3}}{2}$
答案
2.B 【解析】由非负性可知 $b-4=0,a-3=0$,所以 $b=4,a=3$,所以$\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根、平方数都是非负数，若几个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0。据此我们可以先列方程求出a、b的值，再将a、b的值代入待化简的二次根式，结合二次根式的化简规则和算术平方根的非负性计算结果即可，同时注意排除不符合算术平方根定义的选项。
【解析】
∵$\sqrt{b-4}≥0$，$(a-3)^2≥0$，且$\sqrt{b-4}+(a-3)^2=0$，
∴根据非负数的性质可得：$b-4=0$，$a-3=0$，
解得：$b=4$，$a=3$。
将$a=3$，$b=4$代入$\sqrt{\frac{a}{b}}$得：
$\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质、二次根式的化简、算术平方根的意义
【点评】
本题是基础运算题，解题核心是先利用非负数的性质求出未知字母的值，再代入二次根式化简，需要注意算术平方根的结果为非负数，避免误选带正负号的错误选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根、平方数都是非负数，若几个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0。据此我们可以先列方程求出a、b的值，再将a、b的值代入待化简的二次根式，结合二次根式的化简规则和算术平方根的非负性计算结果即可，同时注意排除不符合算术平方根定义的选项。
【解析】
∵$\sqrt{b-4}≥0$，$(a-3)^2≥0$，且$\sqrt{b-4}+(a-3)^2=0$，
∴根据非负数的性质可得：$b-4=0$，$a-3=0$，
解得：$b=4$，$a=3$。
将$a=3$，$b=4$代入$\sqrt{\frac{a}{b}}$得：
$\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质、二次根式的化简、算术平方根的意义
【点评】
本题是基础运算题，解题核心是先利用非负数的性质求出未知字母的值，再代入二次根式化简，需要注意算术平方根的结果为非负数，避免误选带正负号的错误选项。
【难度系数】
0.8
3 化简二次根式$\sqrt{-\dfrac{1}{x}}(x＜0)$正确的是（
A.$\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
B.$\dfrac{\sqrt{-x}}{x}$
C.$-\dfrac{\sqrt{-x}}{x}$
D.$-\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
C
）A.$\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
B.$\dfrac{\sqrt{-x}}{x}$
C.$-\dfrac{\sqrt{-x}}{x}$
D.$-\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
答案
3.C 【解析】因为 $x＜0$,所以$\sqrt{-\frac{1}{x}} = \sqrt{-\frac{x}{x^2}} = -\frac{\sqrt{-x}}{x}$. 故选 C.
解析
【分析】
要化简二次根式$\sqrt{-\dfrac{1}{x}}$，首先需明确二次根式被开方数必须为非负数，题目已给出$x＜0$，因此$-x＞0$。解题思路为：先将根号内的分式变形，把分母转化为完全平方数，便于后续开方运算；再根据二次根式的除法性质拆分根式；最后结合$x＜0$的条件化简开方后得到的绝对值，即可得到结果，过程中要重点关注符号的判断，避免出错。
【解析】
已知$x＜0$，因此$-x＞0$，$x^2＞0$。
1. 先将被开方数的分子、分母同乘$x$，把分母化为完全平方形式：
$\sqrt{-\dfrac{1}{x}}=\sqrt{-\dfrac{1× x}{x× x}}=\sqrt{-\dfrac{x}{x^2}}$
2. 根据二次根式的除法性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$拆分根式：
$\sqrt{-\dfrac{x}{x^2}}=\dfrac{\sqrt{-x}}{\sqrt{x^2}}$
3. 根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合$x＜0$可得$\sqrt{x^2}=|x|=-x$，代入化简：
$\dfrac{\sqrt{-x}}{\sqrt{x^2}}=\dfrac{\sqrt{-x}}{-x}=-\dfrac{\sqrt{-x}}{x}$
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式的性质 2.分母有理化 3.绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的常规题型，易错点是化简$\sqrt{x^2}$时忽略$x＜0$的取值范围，直接将$\sqrt{x^2}$化简为$x$导致符号错误，解题时要牢记偶次根式的开方结果为非负数，结合字母的取值范围判断最终符号。
【难度系数】
0.7
要化简二次根式$\sqrt{-\dfrac{1}{x}}$，首先需明确二次根式被开方数必须为非负数，题目已给出$x＜0$，因此$-x＞0$。解题思路为：先将根号内的分式变形，把分母转化为完全平方数，便于后续开方运算；再根据二次根式的除法性质拆分根式；最后结合$x＜0$的条件化简开方后得到的绝对值，即可得到结果，过程中要重点关注符号的判断，避免出错。
【解析】
已知$x＜0$，因此$-x＞0$，$x^2＞0$。
1. 先将被开方数的分子、分母同乘$x$，把分母化为完全平方形式：
$\sqrt{-\dfrac{1}{x}}=\sqrt{-\dfrac{1× x}{x× x}}=\sqrt{-\dfrac{x}{x^2}}$
2. 根据二次根式的除法性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$拆分根式：
$\sqrt{-\dfrac{x}{x^2}}=\dfrac{\sqrt{-x}}{\sqrt{x^2}}$
3. 根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合$x＜0$可得$\sqrt{x^2}=|x|=-x$，代入化简：
$\dfrac{\sqrt{-x}}{\sqrt{x^2}}=\dfrac{\sqrt{-x}}{-x}=-\dfrac{\sqrt{-x}}{x}$
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式的性质 2.分母有理化 3.绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的常规题型，易错点是化简$\sqrt{x^2}$时忽略$x＜0$的取值范围，直接将$\sqrt{x^2}$化简为$x$导致符号错误，解题时要牢记偶次根式的开方结果为非负数，结合字母的取值范围判断最终符号。
【难度系数】
0.7
4[2025山西大同质检]若$\sqrt{3}=a$，$\sqrt{30}=b$，则$\sqrt{90}=$
ab
.(用含$a,b$的式子表示)答案
4.ab 【解析】因为 $\sqrt{90} = \sqrt{3×30} = \sqrt{3} × \sqrt{30}$,$\sqrt{3}=a$,$\sqrt{30}=b$,所以 $\sqrt{90}=ab$. 故答案为 ab.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的乘法性质：对于非负数m、n，有$\sqrt{mn}=\sqrt{m}·\sqrt{n}$，反过来也成立。题目要求用含a、b的式子表示$\sqrt{90}$，已知$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{30}$，因此只需将$\sqrt{90}$的被开方数90拆分为3和30的乘积，再利用二次根式乘法性质拆分，最后代入已知的a、b即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的乘法性质（非负数的乘积的算术平方根等于各数算术平方根的乘积），可得：
$\sqrt{90} = \sqrt{3 × 30} = \sqrt{3} × \sqrt{30}$
已知$\sqrt{3}=a$，$\sqrt{30}=b$，将其代入上式：
$\sqrt{90}=a × b = ab$
【答案】
ab
【知识点】
二次根式乘法法则，整体代入求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式乘法性质的逆用，解题的关键是将待求二次根式的被开方数合理分解为已知两个被开方数的乘积，代入后即可快速得到结果，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式的乘法性质：对于非负数m、n，有$\sqrt{mn}=\sqrt{m}·\sqrt{n}$，反过来也成立。题目要求用含a、b的式子表示$\sqrt{90}$，已知$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{30}$，因此只需将$\sqrt{90}$的被开方数90拆分为3和30的乘积，再利用二次根式乘法性质拆分，最后代入已知的a、b即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的乘法性质（非负数的乘积的算术平方根等于各数算术平方根的乘积），可得：
$\sqrt{90} = \sqrt{3 × 30} = \sqrt{3} × \sqrt{30}$
已知$\sqrt{3}=a$，$\sqrt{30}=b$，将其代入上式：
$\sqrt{90}=a × b = ab$
【答案】
ab
【知识点】
二次根式乘法法则，整体代入求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式乘法性质的逆用，解题的关键是将待求二次根式的被开方数合理分解为已知两个被开方数的乘积，代入后即可快速得到结果，计算量小。
【难度系数】
0.8
5 [2025 上海浦东新区期中]如果$\frac{2}{3}\sqrt{9x} + 6\sqrt{\frac{x}{4}} = 20$，那么$x=$
16
。答案
5.16 【解析】因为 $\frac{2}{3}\sqrt{9x} + 6\sqrt{\frac{x}{4}} = 20$, 所以$\frac{2}{3}×3\sqrt{x} +6×\frac{\sqrt{x}}{2} = 20$, 即 $2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} = 20$, 所以$5\sqrt{x} = 20$, 所以$\sqrt{x}=4$, 所以 $x = 16$. 经检验: $x = 16$ 是原方程的解,故答案为 16.
解析
【分析】
本题是含二次根式的方程求解问题，解题思路可分为三步：第一步，利用二次根式的性质将方程左侧的两个非最简二次根式化为最简二次根式；第二步，合并同类二次根式，将方程转化为仅含$\sqrt{x}$的简易方程；第三步，求解得到$\sqrt{x}$的值后平方得到$x$，最后检验$x$是否为原方程的解。
【解析】
解：先化简方程左侧的二次根式：
$\frac{2}{3}\sqrt{9x} = \frac{2}{3}×3\sqrt{x} = 2\sqrt{x}$，
$6\sqrt{\frac{x}{4}} = 6×\frac{\sqrt{x}}{2} = 3\sqrt{x}$，
代入原方程得：$2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} = 20$，
合并同类二次根式得：$5\sqrt{x} = 20$，
系数化为1得：$\sqrt{x} = 4$，
两边同时平方得：$x = 16$。
经检验，将$x=16$代入原方程，左边等于右边，所以$x=16$是原方程的解。
【答案】
16
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并，无理方程求解
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，解题时需注意最终要检验所求的解是否满足原方程，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
本题是含二次根式的方程求解问题，解题思路可分为三步：第一步，利用二次根式的性质将方程左侧的两个非最简二次根式化为最简二次根式；第二步，合并同类二次根式，将方程转化为仅含$\sqrt{x}$的简易方程；第三步，求解得到$\sqrt{x}$的值后平方得到$x$，最后检验$x$是否为原方程的解。
【解析】
解：先化简方程左侧的二次根式：
$\frac{2}{3}\sqrt{9x} = \frac{2}{3}×3\sqrt{x} = 2\sqrt{x}$，
$6\sqrt{\frac{x}{4}} = 6×\frac{\sqrt{x}}{2} = 3\sqrt{x}$，
代入原方程得：$2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} = 20$，
合并同类二次根式得：$5\sqrt{x} = 20$，
系数化为1得：$\sqrt{x} = 4$，
两边同时平方得：$x = 16$。
经检验，将$x=16$代入原方程，左边等于右边，所以$x=16$是原方程的解。
【答案】
16
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并，无理方程求解
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，解题时需注意最终要检验所求的解是否满足原方程，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
6[2025 四川宜宾期中]下列是最简二次根式的是（
A.$\sqrt{25a}$
B.$\sqrt{a^2 + b^2}$
C.$\sqrt{\dfrac{a}{2}}$
D.$\sqrt{0.5}$
B
）A.$\sqrt{25a}$
B.$\sqrt{a^2 + b^2}$
C.$\sqrt{\dfrac{a}{2}}$
D.$\sqrt{0.5}$
答案
6.B 【解析】$\sqrt{25a} = 5\sqrt{a}$, 不是最简二次根式,故选项 A 不符合题意; $\sqrt{a^2 + b^2}$ 是最简二次根式,故选项 B 符合题意; $\sqrt{\frac{a}{2}} = \frac{\sqrt{2a}}{2}$, 不是最简二次根式,故选项 C 不符合题意; $\sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, 不是最简二次根式,故选项 D 不符合题意. 故选 B.
解析
【分析】
要判断最简二次根式，首先明确最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需逐个验证四个选项是否同时满足这两个条件，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. $\sqrt{25a}$中被开方数的25是能开得尽方的因数，化简得$\sqrt{25a}=5\sqrt{a}$，不满足最简二次根式的条件，不符合题意；
B. $\sqrt{a^2+b^2}$的被开方数不含分母，也没有能开得尽方的因式，满足最简二次根式的两个条件，符合题意；
C. $\sqrt{\frac{a}{2}}$的被开方数含有分母，化简得$\sqrt{\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt{2a}}{2}$，不满足最简二次根式的条件，不符合题意；
D. $\sqrt{0.5}$的被开方数是小数（可转化为分数$\frac{1}{2}$），相当于含分母，化简得$\sqrt{0.5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，不满足最简二次根式的条件，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式章节的基础题型，核心考查对最简二次根式判定标准的理解与应用，解题时要注意两个判定条件需同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.8
要判断最简二次根式，首先明确最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需逐个验证四个选项是否同时满足这两个条件，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. $\sqrt{25a}$中被开方数的25是能开得尽方的因数，化简得$\sqrt{25a}=5\sqrt{a}$，不满足最简二次根式的条件，不符合题意；
B. $\sqrt{a^2+b^2}$的被开方数不含分母，也没有能开得尽方的因式，满足最简二次根式的两个条件，符合题意；
C. $\sqrt{\frac{a}{2}}$的被开方数含有分母，化简得$\sqrt{\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt{2a}}{2}$，不满足最简二次根式的条件，不符合题意；
D. $\sqrt{0.5}$的被开方数是小数（可转化为分数$\frac{1}{2}$），相当于含分母，化简得$\sqrt{0.5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，不满足最简二次根式的条件，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式章节的基础题型，核心考查对最简二次根式判定标准的理解与应用，解题时要注意两个判定条件需同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.8
7[2026河南南阳调研]下列二次根式，不能与$\sqrt{3}$合并的是（
A.$\sqrt{48}$
B.$-\sqrt{27}$
C.$\sqrt{\frac{4}{3}}$
D.$\sqrt{18}$
D
）A.$\sqrt{48}$
B.$-\sqrt{27}$
C.$\sqrt{\frac{4}{3}}$
D.$\sqrt{18}$
答案
7.D 【解析】$\sqrt{48} = \sqrt{16×3} = 4\sqrt{3}$, $-\sqrt{27} = -\sqrt{9×3} = -3\sqrt{3}$, $\sqrt{\frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{4×3}{3×3}} = \frac{\sqrt{4×3}}{\sqrt{3×3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$,$\sqrt{18} = \sqrt{9×2} = 3\sqrt{2}$, 故选 D.
解析
【分析】
要判断哪个二次根式不能与$\sqrt{3}$合并，首先明确只有同类二次根式才能合并，同类二次根式指的是化简后被开方数相同的二次根式。因此解题思路为：先将四个选项的二次根式全部化为最简二次根式，再查看化简后的被开方数是否为3，被开方数不为3的就不能和$\sqrt{3}$合并。
【解析】
我们逐个化简各选项的二次根式：
A. $\sqrt{48} = \sqrt{16×3} = 4\sqrt{3}$，化简后被开方数是3，可以和$\sqrt{3}$合并；
B. $-\sqrt{27} = -\sqrt{9×3} = -3\sqrt{3}$，化简后被开方数是3，可以和$\sqrt{3}$合并；
C. $\sqrt{\frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{4×3}{3×3}} = \frac{\sqrt{4×3}}{\sqrt{3×3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$，化简后被开方数是3，可以和$\sqrt{3}$合并；
D. $\sqrt{18} = \sqrt{9×2} = 3\sqrt{2}$，化简后被开方数是2，不能和$\sqrt{3}$合并。
因此符合题意的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式，二次根式化简，最简二次根式
【点评】
本题是基础考查题，核心是同类二次根式的判断，解题关键是熟练掌握二次根式的化简规则，将各选项化为最简二次根式后对比被开方数即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要判断哪个二次根式不能与$\sqrt{3}$合并，首先明确只有同类二次根式才能合并，同类二次根式指的是化简后被开方数相同的二次根式。因此解题思路为：先将四个选项的二次根式全部化为最简二次根式，再查看化简后的被开方数是否为3，被开方数不为3的就不能和$\sqrt{3}$合并。
【解析】
我们逐个化简各选项的二次根式：
A. $\sqrt{48} = \sqrt{16×3} = 4\sqrt{3}$，化简后被开方数是3，可以和$\sqrt{3}$合并；
B. $-\sqrt{27} = -\sqrt{9×3} = -3\sqrt{3}$，化简后被开方数是3，可以和$\sqrt{3}$合并；
C. $\sqrt{\frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{4×3}{3×3}} = \frac{\sqrt{4×3}}{\sqrt{3×3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$，化简后被开方数是3，可以和$\sqrt{3}$合并；
D. $\sqrt{18} = \sqrt{9×2} = 3\sqrt{2}$，化简后被开方数是2，不能和$\sqrt{3}$合并。
因此符合题意的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式，二次根式化简，最简二次根式
【点评】
本题是基础考查题，核心是同类二次根式的判断，解题关键是熟练掌握二次根式的化简规则，将各选项化为最简二次根式后对比被开方数即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
8 新考向 开放性试题 [2025江苏无锡期中]请写出一个正整数m,使得$\sqrt{2m}$是最简二次根式，m=
建议用时 20分钟 答案 D16
1(答案不唯一)
.建议用时 20分钟 答案 D16
答案
8.1(答案不唯一) 【解析】因为 $\sqrt{2m}$ 是最简二次根式, $m$ 为正整数, 所以 $m$ 的值可以为 1.故答案为 1(答案不唯一).
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确最简二次根式的判定条件：一是被开方数的因数是整数、因式是整式；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。本题中m是正整数，因此被开方数2m已经满足第一个条件，只需满足第二个条件即可：2是质数，因此只要m不含因数2，且m自身不含能开尽方的正整数因数，就能让$\sqrt{2m}$是最简二次根式，最小的正整数m可取1。
【解析】
最简二次根式需满足两个条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
已知m是正整数，因此被开方数$2m$为整数，满足条件①；
要满足条件②，由于2是质数，因此m不能含有因数2，且m自身不能有能开得尽方的因数。
取$m=1$时，$2m=2$，不含能开得尽方的因数，此时$\sqrt{2}$是最简二次根式，符合要求。（答案不唯一，如$m=3$、$m=5$等均符合要求）
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
最简二次根式的判定
正整数的概念
【点评】
本题为开放性试题，核心考查对最简二次根式定义的理解，只要熟练掌握最简二次根式的判定规则就能快速得出答案，答案不唯一，满足要求即可。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需要明确最简二次根式的判定条件：一是被开方数的因数是整数、因式是整式；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。本题中m是正整数，因此被开方数2m已经满足第一个条件，只需满足第二个条件即可：2是质数，因此只要m不含因数2，且m自身不含能开尽方的正整数因数，就能让$\sqrt{2m}$是最简二次根式，最小的正整数m可取1。
【解析】
最简二次根式需满足两个条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
已知m是正整数，因此被开方数$2m$为整数，满足条件①；
要满足条件②，由于2是质数，因此m不能含有因数2，且m自身不能有能开得尽方的因数。
取$m=1$时，$2m=2$，不含能开得尽方的因数，此时$\sqrt{2}$是最简二次根式，符合要求。（答案不唯一，如$m=3$、$m=5$等均符合要求）
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
最简二次根式的判定
正整数的概念
【点评】
本题为开放性试题，核心考查对最简二次根式定义的理解，只要熟练掌握最简二次根式的判定规则就能快速得出答案，答案不唯一，满足要求即可。
【难度系数】
0.9
9[2026 福建三明质检]下列计算正确的是（
A.$\sqrt{27} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$
B.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
C.$\sqrt{4\frac{1}{9}} = 2\sqrt{\frac{1}{3}}$
D.$\sqrt{3} - \sqrt{2} = 1$
A
）A.$\sqrt{27} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$
B.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
C.$\sqrt{4\frac{1}{9}} = 2\sqrt{\frac{1}{3}}$
D.$\sqrt{3} - \sqrt{2} = 1$
答案
9.A 【解析】$\sqrt{27} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$, 故原计算正确,A 符合题意; $\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3}$ 不能合并,故原计算错误,B 不符合题意; $\sqrt{4\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{37}{9}} = \frac{\sqrt{37}}{3} ≠ 2\sqrt{\frac{1}{3}}$, 故原计算错误,C 不符合题意;$\sqrt{3}$ 与$\sqrt{2}$ 不能合并,故原计算错误,D 不符合题意. 故选 A.
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简与加减运算，解题思路如下：首先明确二次根式加减的核心规则：只有化简后被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，被开方数保持不变；遇到带分数的开方运算，需要先将带分数转化为假分数，再进行开方化简。接下来逐一验证四个选项的计算是否符合规则即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先化简$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，再计算$3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=(3-2)\sqrt{3}=\sqrt{3}$，计算正确，符合题意；
B选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$化简后被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，原计算错误，不符合题意；
C选项：先将带分数化为假分数，$4\frac{1}{9}=\frac{4×9+1}{9}=\frac{37}{9}$，因此$\sqrt{4\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{37}{9}}=\frac{\sqrt{37}}{3}$，而$2\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，二者不相等，原计算错误，不符合题意；
D选项：$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$化简后被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相减得到1，原计算错误，不符合题意。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，易错点在于：一是误将不是同类二次根式的根式直接合并，二是对带分数开方时未先转化为假分数，错误拆分带分数分别开方。掌握二次根式化简规则和同类二次根式的判定是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的化简与加减运算，解题思路如下：首先明确二次根式加减的核心规则：只有化简后被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，被开方数保持不变；遇到带分数的开方运算，需要先将带分数转化为假分数，再进行开方化简。接下来逐一验证四个选项的计算是否符合规则即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先化简$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，再计算$3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=(3-2)\sqrt{3}=\sqrt{3}$，计算正确，符合题意；
B选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$化简后被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，原计算错误，不符合题意；
C选项：先将带分数化为假分数，$4\frac{1}{9}=\frac{4×9+1}{9}=\frac{37}{9}$，因此$\sqrt{4\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{37}{9}}=\frac{\sqrt{37}}{3}$，而$2\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，二者不相等，原计算错误，不符合题意；
D选项：$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$化简后被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相减得到1，原计算错误，不符合题意。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，易错点在于：一是误将不是同类二次根式的根式直接合并，二是对带分数开方时未先转化为假分数，错误拆分带分数分别开方。掌握二次根式化简规则和同类二次根式的判定是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10 [2026 山东济南质检]三角形的三边长分别为$\sqrt{20}$ cm,$\sqrt{40}$ cm,$\sqrt{45}$ cm,则这个三角形的周长为
$(5\sqrt{5}+2\sqrt{10})$
cm.答案
10.$(5\sqrt{5}+2\sqrt{10})$ 【解析】这个三角形的周长为 $\sqrt{20} + \sqrt{40} + \sqrt{45} = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} + 3\sqrt{5} = (5\sqrt{5}+2\sqrt{10})$ cm. 故答案为 $(5\sqrt{5}+2\sqrt{10})$.
解析
【分析】
要求三角形的周长，首先根据周长的定义，可知周长为三角形三边长度之和，因此先列出三边相加的算式；接下来按照二次根式加减的运算步骤，先把每个二次根式化简为最简二次根式，再合并其中的同类二次根式，即可求出最终的周长结果。
【解析】
三角形的周长为三边长的和，列式计算如下：
$\begin{aligned}&\sqrt{20} + \sqrt{40} + \sqrt{45}\\=&2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} + 3\sqrt{5}\\=&(2\sqrt{5}+3\sqrt{5}) + 2\sqrt{10}\\=&5\sqrt{5} + 2\sqrt{10}\end{aligned}$
【答案】
$(5\sqrt{5}+2\sqrt{10})$
【知识点】
三角形周长计算；二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，将几何周长计算与二次根式运算相结合，解题的核心是熟练掌握最简二次根式的化简方法和同类二次根式的合并规则，计算时注意不要错合并非同类二次根式。
【难度系数】
0.8
要求三角形的周长，首先根据周长的定义，可知周长为三角形三边长度之和，因此先列出三边相加的算式；接下来按照二次根式加减的运算步骤，先把每个二次根式化简为最简二次根式，再合并其中的同类二次根式，即可求出最终的周长结果。
【解析】
三角形的周长为三边长的和，列式计算如下：
$\begin{aligned}&\sqrt{20} + \sqrt{40} + \sqrt{45}\\=&2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} + 3\sqrt{5}\\=&(2\sqrt{5}+3\sqrt{5}) + 2\sqrt{10}\\=&5\sqrt{5} + 2\sqrt{10}\end{aligned}$
【答案】
$(5\sqrt{5}+2\sqrt{10})$
【知识点】
三角形周长计算；二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，将几何周长计算与二次根式运算相结合，解题的核心是熟练掌握最简二次根式的化简方法和同类二次根式的合并规则，计算时注意不要错合并非同类二次根式。
【难度系数】
0.8
11 [2025湖北武汉调研]计算：
(1) $\sqrt{75} - \sqrt{12}$；
(2) $\frac{\sqrt{24}}{2} + \sqrt{\frac{3}{2}}$；
(3) $\sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{2}} - 2\sqrt{6} + \sqrt{3}$；
(4) $\sqrt{6} - \sqrt{\frac{3}{2}} - ( \sqrt{24} - 2\sqrt{\frac{2}{3}} )$。
刷易错 小心有坑~
(1) $\sqrt{75} - \sqrt{12}$；
(2) $\frac{\sqrt{24}}{2} + \sqrt{\frac{3}{2}}$；
(3) $\sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{2}} - 2\sqrt{6} + \sqrt{3}$；
(4) $\sqrt{6} - \sqrt{\frac{3}{2}} - ( \sqrt{24} - 2\sqrt{\frac{2}{3}} )$。
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答案
11.【解】(1) 原式$=5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
(2) 原式$=\frac{2\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$.
(3) 原式 $= 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{6} + \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{6} + \sqrt{3}$.
(4) 原式 $= \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}}{2} - 2\sqrt{6} + 2 × \frac{\sqrt{6}}{3} = (1-\frac{1}{2}-2+\frac{2}{3})\sqrt{6} = -\frac{5\sqrt{6}}{6}$.
(2) 原式$=\frac{2\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$.
(3) 原式 $= 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{6} + \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{6} + \sqrt{3}$.
(4) 原式 $= \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}}{2} - 2\sqrt{6} + 2 × \frac{\sqrt{6}}{3} = (1-\frac{1}{2}-2+\frac{2}{3})\sqrt{6} = -\frac{5\sqrt{6}}{6}$.
解析
【分析】
解决二次根式加减类题目，核心思路分两步走：第一步先将算式中所有的二次根式化为最简二次根式（被开方数不含能开得尽方的因数，且不含分母）；第二步识别并合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式），合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变，非同类二次根式直接保留即可。如果算式带括号，要先根据去括号法则处理括号，注意符号变化。
【解析】
(1) 先化简两个根式：$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，再合并同类二次根式：
原式$=5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
(2) 先化简：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3×2}}{\sqrt{2×2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，再合并：
原式$=\frac{2\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$
(3) 先化简各根式：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{6}$、$\sqrt{3}$已是最简，再合并同类二次根式：
原式 $= 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{6} + \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{6} + \sqrt{3}$
(4) 先去括号，注意括号前是负号，括号内各项要变号，再化简各根式：$\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$2\sqrt{\frac{2}{3}}=2×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，最后合并同类二次根式：
原式 $= \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}}{2} - 2\sqrt{6} + \frac{2\sqrt{6}}{3} = (1-\frac{1}{2}-2+\frac{2}{3})\sqrt{6} = -\frac{5\sqrt{6}}{6}$
【答案】
(1) $3\sqrt{3}$；(2) $\frac{3\sqrt{6}}{2}$；(3) $\frac{5\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{6} + \sqrt{3}$；(4) $-\frac{5\sqrt{6}}{6}$
【知识点】
最简二次根式化简，同类二次根式合并，二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题型，易错点在于根式化简不彻底、去括号时符号出错、误将非同类二次根式强行合并，运算时需遵循先化简再合并的规则，仔细核对每一步的符号和化简结果。
【难度系数】
0.7
解决二次根式加减类题目，核心思路分两步走：第一步先将算式中所有的二次根式化为最简二次根式（被开方数不含能开得尽方的因数，且不含分母）；第二步识别并合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式），合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变，非同类二次根式直接保留即可。如果算式带括号，要先根据去括号法则处理括号，注意符号变化。
【解析】
(1) 先化简两个根式：$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，再合并同类二次根式：
原式$=5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
(2) 先化简：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3×2}}{\sqrt{2×2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，再合并：
原式$=\frac{2\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$
(3) 先化简各根式：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{6}$、$\sqrt{3}$已是最简，再合并同类二次根式：
原式 $= 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{6} + \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{6} + \sqrt{3}$
(4) 先去括号，注意括号前是负号，括号内各项要变号，再化简各根式：$\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$2\sqrt{\frac{2}{3}}=2×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，最后合并同类二次根式：
原式 $= \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}}{2} - 2\sqrt{6} + \frac{2\sqrt{6}}{3} = (1-\frac{1}{2}-2+\frac{2}{3})\sqrt{6} = -\frac{5\sqrt{6}}{6}$
【答案】
(1) $3\sqrt{3}$；(2) $\frac{3\sqrt{6}}{2}$；(3) $\frac{5\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{6} + \sqrt{3}$；(4) $-\frac{5\sqrt{6}}{6}$
【知识点】
最简二次根式化简，同类二次根式合并，二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题型，易错点在于根式化简不彻底、去括号时符号出错、误将非同类二次根式强行合并，运算时需遵循先化简再合并的规则，仔细核对每一步的符号和化简结果。
【难度系数】
0.7
12 化简：$\sqrt{(-4) × (-9)}$.
解：$\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{-4} × \sqrt{-9} = (-2) × (-3) = 6$.
以上解答过程正确吗？若不正确，请改正。
解：$\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{-4} × \sqrt{-9} = (-2) × (-3) = 6$.
以上解答过程正确吗？若不正确，请改正。
答案
12.【解】不正确. 正确的解答过程如下：
$\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{4×9} = \sqrt{4}×\sqrt{9} = 2×3 = 6$.
$\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{4×9} = \sqrt{4}×\sqrt{9} = 2×3 = 6$.
解析
【分析】
要判断并改正这道化简题，首先要明确二次根式的两个核心规则：一是二次根式的被开方数必须是非负数，负数在实数范围内没有平方根，不能直接对负数开根号；二是二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$的适用前提是$a≥0$、$b≥0$。原解答错误就在于忽略了这个前提，直接拆分含负数的被开方数。解题时要先计算根号内的乘积，把被开方数转化为正数，再运用乘法法则化简。
【解析】
原解答过程不正确，错误原因是违反了二次根式乘法法则的适用条件，被开方数为负数时不能直接拆分根号。正确解答步骤如下：
1. 先计算根号内的乘法运算：$(-4)×(-9)=4×9$，因此原式$=\sqrt{4×9}$；
2. 此时被开方数4、9均为非负数，符合二次根式乘法法则的适用条件，可得$\sqrt{4×9}=\sqrt{4}×\sqrt{9}$；
3. 分别化简计算：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，因此结果为$2×3=6$。
【答案】
不正确. 正确的解答过程如下：
$\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{4×9} = \sqrt{4}×\sqrt{9} = 2×3 = 6$
【知识点】
二次根式的非负性；二次根式乘法法则；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简的常见易错题，核心易错点是忽略二次根式乘法法则的适用前提，直接对负数开根号。解题时要先确认被开方数为非负数，再进行拆分化简运算。
【难度系数】
0.7
要判断并改正这道化简题，首先要明确二次根式的两个核心规则：一是二次根式的被开方数必须是非负数，负数在实数范围内没有平方根，不能直接对负数开根号；二是二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$的适用前提是$a≥0$、$b≥0$。原解答错误就在于忽略了这个前提，直接拆分含负数的被开方数。解题时要先计算根号内的乘积，把被开方数转化为正数，再运用乘法法则化简。
【解析】
原解答过程不正确，错误原因是违反了二次根式乘法法则的适用条件，被开方数为负数时不能直接拆分根号。正确解答步骤如下：
1. 先计算根号内的乘法运算：$(-4)×(-9)=4×9$，因此原式$=\sqrt{4×9}$；
2. 此时被开方数4、9均为非负数，符合二次根式乘法法则的适用条件，可得$\sqrt{4×9}=\sqrt{4}×\sqrt{9}$；
3. 分别化简计算：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，因此结果为$2×3=6$。
【答案】
不正确. 正确的解答过程如下：
$\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{4×9} = \sqrt{4}×\sqrt{9} = 2×3 = 6$
【知识点】
二次根式的非负性；二次根式乘法法则；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简的常见易错题，核心易错点是忽略二次根式乘法法则的适用前提，直接对负数开根号。解题时要先确认被开方数为非负数，再进行拆分化简运算。
【难度系数】
0.7
