7. [2026合肥包河区期中]在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影三角形与$△ ABC$相似的是（）

每个选项中的阴影三角形与$△ ABC$都有一个公共角,因此需找到夹公共角的两边对应成比例. A,B,C 项中公共角为∠A,D 项中公共角为∠B. A 项中,$\frac{4}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$,$\frac{AC}{AB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}≠\frac{1}{2}$; B 项中,$\frac{3}{AB}=\frac{3}{8}$,$\frac{AC}{AB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}≠\frac{3}{8}$; C 项中,$\frac{2}{AC}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$,$\frac{AC}{AB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}≠\frac{1}{3}$; D 项中,$\frac{2}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,$\frac{BC}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=\frac{2}{BC}$. 故只有选项 D 中的阴影三角形与$△ ABC$相似.

8. [2026 阜阳期末] 如图,点 B,C 在线段 DE 上,△ABC是等边三角形,当$BC^2 = DB · CE$时,∠DAE的度数为 ()


A.$100°$
B.$115°$
C.$120°$
D.$135°$

解题思路:由等边三角形的性质可得 $AB = AC = BC$,∠BAC = ∠ABC = ∠ACB = 60°,结合已知条件证明$△ ABD∽△ ECA$,得到∠ADB = ∠EAC,由三角形外角的性质可得∠ADB + ∠DAB = ∠ABC = 60°,从而得到∠EAC + ∠DAB = 60°,即可得解.
∵ $△ ABC$ 是等边三角形,
∴ $AB = AC = BC, ∠BAC = ∠ABC = ∠ACB = 60°$,
∴ ∠ACE = ∠ABD(点拨:等角的补角相等).
∵ $BC^2 = DB·CE$,
∴ $\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{CE}$,
∴ $\frac{BD}{AC}=\frac{AB}{CE}$,
∴ $△ ABD∽△ ECA$,
∴ ∠ADB = ∠EAC.
∵ ∠ADB + ∠DAB = ∠ABC = 60°,
∴ ∠EAC + ∠DAB = 60°,
∴ ∠DAE = ∠BAC + ∠EAC + ∠DAB = 120°.

9. 一题多解 [2026六安金安区段考]如图,已知$△ ABC$,$△ DCE$,$△ FEG$,$△ HGI$是4个全等的等腰三角形,底边$BC$,$CE$,$EG$,$GI$在同一条直线上,且$AB=2$,$BC=1$.连接$AI$,交$FG$于点$Q$,则$QI$的长为.

通解 由题意,知 $AB = 2, BC = 1, BI = 4$,则$\frac{AB}{BI}=\frac{BC}{AB}$.
又
∵ ∠ABC = ∠ABI,
∴ $△ ABC∽△ IBA$,
∴ $\frac{AC}{AI}=\frac{AB}{BI}$,即$\frac{2}{AI}=\frac{2}{4}$,解得 $AI = 4$.
∵ $△ ABC≅△ FEG$,
∴ ∠ACB = ∠FGE,
∴ $AC// QG$,
∴ $△ IQG∽△ IAC$,
∴ $\frac{QI}{AI}=\frac{GI}{CI}$,即$\frac{QI}{4}=\frac{1}{3}$,解得 $QI=\frac{4}{3}$.
另解 如图,过点 A 作 $AM⊥BC$ 于点 M.
∵ $△ ABC,△ DCE,△ FEG,△ HGI$ 是 4 个全等的等腰三角形,$AB = 2, BC = 1$,
∴ $BC = CE = EG = GI = 1, BM = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}, AC = AB = 2$.
在 $Rt△ AMC$ 中,根据勾股定理,得 $AM = \sqrt{AC^2-MC^2}=\sqrt{4-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$. 在 $Rt△ AMI$ 中,$MI = BI - BM = \frac{7}{2}$,根据勾股定理,得 $AI = \sqrt{AM^2+MI^2}=\sqrt{\frac{15}{4}+\frac{49}{4}}=4$.
∵ ∠ACB = ∠FGE,
∴ $FG// AC$,
∴ $△ IQG∽△ IAC$,
∴ $\frac{QI}{AI}=\frac{GI}{CI}$,即$\frac{QI}{4}=\frac{1}{3}$,解得 $QI=\frac{4}{3}$.

10. [2025 龙东地区中考] 如图, 已知$△ ABC$中, $∠ ACB=90°, AC=7, BC=9$, 点$M$是$△ ABC$内部一点, 连接$AM, BM, CM$, 若$CM=3$, 则$AM + \frac{1}{3}BM$的最小值为.

解题思路:在 BC 上取一点 G,使 CG = 1,构造出$△ MCG∽△ BCM$,得 $MG = \frac{1}{3}BM$,再根据“两点之间线段最短”得出当点 M 在 AG 上时,$AM + \frac{1}{3}BM$ 取最小值.
如图,在 BC 上取一点 G,连接 AG,MG 使 $CG = 1$.
∵ $BC = 9$, $CM = 3$,
∴ $\frac{CG}{CM}=\frac{CM}{BC}=\frac{1}{3}$. 又
∵ ∠MCG = ∠MCB,
∴ $△ MCG∽△ BCM$,
∴ $\frac{MG}{BM}=\frac{CG}{CM}=\frac{1}{3}$,
∴ $MG = \frac{1}{3}BM$,
∴ $AM + \frac{1}{3}BM = AM + MG ≥ AG$(三角形的三边关系).
∵ $AG = \sqrt{AC^2+CG^2}=\sqrt{7^2+1^2}=5\sqrt{2}$,
∴ $AM + \frac{1}{3}BM ≥ 5\sqrt{2}$,即当点 M 在 AG 上时, $AM + \frac{1}{3}BM$ 取最小值,为$5\sqrt{2}$.

11. [2026蚌埠一模]如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且DE//BC,$\frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}$.
(1)求证:EF//DC;
(2)若AF = 3,FD = 6,DE = $6\sqrt{3}$,求BC的值.

解题思路:(1) 根据 $DE// BC$,可得 $\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}$,进而推出 $\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EC}$,然后证明 $△ AEF∽△ ACD$,得出 ∠AEF = ∠ACD,即可证明 $EF// DC$;
(2) 根据 $DE// BC$,得到 $△ ADE∽△ ABC$,得到 $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$,再利用 $\frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}$,得到 $\frac{AF}{AD}=\frac{AD}{AB}$,从而得到 $\frac{DE}{BC}=\frac{AF}{AD}$,即可得到 BC 的值.
(1)证明:
∵ $DE// BC$,
∴ $\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}$.
∵ $\frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}$,
∴ $\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EC}$.
又
∵ ∠A = ∠A,
∴ $△ AEF∽△ ACD$,
∴ ∠AEF = ∠ACD,
∴ $EF// DC$.
(2)解:
∵ $DE// BC$,
∴ $△ ADE∽△ ABC$,
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$.
∵ $\frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}$,
∴ $\frac{AF}{AD}=\frac{AD}{AB}$,
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AF}{AD}=\frac{AF}{AF+FD}=\frac{3}{3+6}=\frac{1}{3}$.
∵ $DE = 6\sqrt{3}$,
∴ $BC = 3DE = 18\sqrt{3}$.

12. 几何直观 [2026宣城期末] 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t s(0 ＜ t ＜ 2),连接PQ.
(1)请用含t的代数式表示:BP = cm, BQ = cm.
(2)当t为何值时,△BPQ与△ABC相似?

解题思路:(2)已知 ∠PBQ = ∠CBA→若$△ BPQ$ 与$△ ABC$相似,则∠B 的两边对应成比例→由于对应关系不明确,故需分类讨论.
解:(1)$5t$ $(8-4t)$
(2)
∵ ∠ACB = 90°,AC = 6 cm,BC = 8 cm,
∴ $AB = \sqrt{AC^2+BC^2}=10$ cm.
分两种情况讨论:
①当$△ BPQ∽△ BAC$时,$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$,
∵ $BP = 5t$ cm,$BQ = (8-4t)$ cm,$AB = 10$ cm,$BC = 8$ cm,
∴ $\frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$,
∴ $t = 1$;
②当$△ BPQ∽△ BCA$时,$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$,
∵ $BP = 5t$ cm,$BQ = (8-4t)$ cm,$AB = 10$ cm,$BC = 8$ cm,
∴ $\frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$,
∴ $t=\frac{32}{41}$.
综上,当 t 的值为 1 或$\frac{32}{41}$时,$△ BPQ$ 与$△ ABC$ 相似.