1.(单元综合)如图，点P为定角$∠ AOB$的平分线上的一个定点，且$∠ OMP$与$∠ ONP$互补，若$∠ MPN$在绕点P旋转的过程中，其两边分别与$OA$，$OB$相交于$M$，$N$两点，则以下结论：①$PM=PN$；②$OM+ON$的值不变；③四边形$PMON$的面积不变；④$MN$的长不变，其中正确的序号为。

1.①②③

【分析】
遇到角平分线相关的几何题，首先考虑过角平分线上的点向角的两边作垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质构造全等三角形。本题已知∠OMP与∠ONP互补，可通过同角的补角相等得到一组角相等，结合作垂线得到的直角和相等的垂线段，证明三角形全等，再逐一分析四个结论是否成立。
【解析】
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F。
1. 证明PM=PN：
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，∠PEO=∠PFO=90°。
∵∠OMP+∠ONP=180°，∠ONP+∠PNF=180°，
∴∠OMP=∠PNF。
在△PEM和△PFN中：
$\{\begin{array}{l}∠ PEM=∠ PFN=90°\\∠ PME=∠ PNF\\PE=PF\end{array} $
∴△PEM≌△PFN（AAS），
∴PM=PN，故①正确。
2. 证明OM+ON的值不变：
由全等可得EM=FN，
又易证△POE≌△POF（AAS），
∴OE=OF，且P是定点，故OE、OF为定值。
∴OM+ON = (OE - EM) + (OF + FN) = OE + OF = 2OE，为定值，故②正确。
3. 证明四边形PMON的面积不变：
$S_{四边形PMON}=S_{△ POM}+S_{△ PON}$
$=S_{△ POE}-S_{△ PEM}+S_{△ POF}+S_{△ PFN}$
∵△PEM≌△PFN，
∴$S_{△ PEM}=S_{△ PFN}$，
∴$S_{四边形PMON}=S_{△ POE}+S_{△ POF}=S_{四边形PEOF}$，为定值，故③正确。
4. 判断MN的长度：
△PMN为等腰三角形（PM=PN），顶角∠MPN为定值，但腰长PM的长度会随M的位置变化而变化，因此底边MN的长度也会变化，故④错误。
综上，正确的序号为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 补角的性质
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的典型几何题，构造双垂线辅助线是解题的突破口，解题时需结合全等的性质对线段、面积的变化情况逐一分析，能有效考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6

2.(构造法)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$, $AC=BC$,$∠ ABC=45°$,点D为BC的中点, $CE⊥ AD$于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.求证:$∠ ADC=∠ BDF$.

2.作 $BG⊥CB$,交 $CF$ 的延长线于点 $G$, $\because ∠CBG=90^{\circ },CF⊥AD,\therefore ∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90^{\circ },\therefore ∠CAD=∠BCG$, 在 $△ ACD$ 和 $△ CBG$ 中, $\begin{cases} ∠CAD=∠BCG,\\ AC=CB,\\ ∠ACD=∠CBG=90^{\circ },\end{cases}$ $\therefore △ ACD≌ △ CBG(ASA).\therefore CD=BG,∠CDA=∠BGC.\because CD=BD,\therefore BG=BD,\because ∠ABC=45^{\circ },\therefore ∠FBD=∠GBF=45^{\circ }$. 在 $△ BFG$ 和 $△ BFD$ 中, $\begin{cases} BG=BD,\\ ∠FBG=∠FBD,\\ BF=BF,\end{cases}$ $\therefore △ BFG≌ △ BFD(SAS),\therefore ∠FGB=∠FDB,\therefore ∠ADC=∠BDF$

【分析】
要证明∠ADC=∠BDF，直接观察两个角所在的三角形无法直接证全等，因此考虑构造全等三角形实现角的等量代换。首先作BG⊥CB交CF延长线于G，先利用同角的余角相等得到等角，证明△ACD≌△CBG，将∠ADC转化为∠BGC；再结合D是BC中点的条件，证明△BFG≌△BFD，将∠BGC转化为∠BDF，最终通过等量代换得到待证结论。
【解析】
作 $BG⊥CB$,交 $CF$ 的延长线于点 $G$,
$\because ∠CBG=90^{\circ },CF⊥AD$,
$\therefore ∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90^{\circ }$,
$\therefore ∠CAD=∠BCG$,
在 $△ ACD$ 和 $△ CBG$ 中,
$\begin{cases} ∠CAD=∠BCG,\\ AC=CB,\\ ∠ACD=∠CBG=90^{\circ },\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ CBG(ASA)$.
$\therefore CD=BG,∠CDA=∠BGC$.
$\because D$为$BC$中点，$\therefore CD=BD$,
$\therefore BG=BD$,
$\because ∠ABC=45^{\circ },∠CBG=90^{\circ }$,
$\therefore ∠FBD=∠GBF=45^{\circ }$.
在 $△ BFG$ 和 $△ BFD$ 中,
$\begin{cases} BG=BD,\\ ∠FBG=∠FBD,\\ BF=BF,\end{cases}$
$\therefore △ BFG≌ △ BFD(SAS)$,
$\therefore ∠FGB=∠FDB$,
$\therefore ∠ADC=∠BDF$.
【答案】
作 $BG⊥CB$,交 $CF$ 的延长线于点 $G$, $\because ∠CBG=90^{\circ },CF⊥AD,\therefore ∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90^{\circ },\therefore ∠CAD=∠BCG$, 在 $△ ACD$ 和 $△ CBG$ 中, $\begin{cases} ∠CAD=∠BCG,\\ AC=CB,\\ ∠ACD=∠CBG=90^{\circ },\end{cases}$ $\therefore △ ACD≌ △ CBG(ASA).\therefore CD=BG,∠CDA=∠BGC.\because CD=BD,\therefore BG=BD,\because ∠ABC=45^{\circ },\therefore ∠FBD=∠GBF=45^{\circ }$. 在 $△ BFG$ 和 $△ BFD$ 中, $\begin{cases} BG=BD,\\ ∠FBG=∠FBD,\\ BF=BF,\end{cases}$ $\therefore △ BFG≌ △ BFD(SAS),\therefore ∠FGB=∠FDB,\therefore ∠ADC=∠BDF$

【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题是构造全等三角形证明角相等的典型习题，解题核心是通过作垂线构造全等三角形，将待证的两个角通过中间角实现等量代换，考查了辅助线构造能力和全等相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

3.【注重类比探究】(信阳期末)在$Rt△ ABC$中，$BC=AC$，$∠ ACB=90°$，点$D$为射线$AB$上一点，连接$CD$，过点$C$作线段$CD$的垂线$l$，在直线$l$上，分别在点$C$的两侧截取与线段$CD$相等的线段$CE$和$CF$，连接$AE$，$BF$.
(1)当点$D$在线段$AB$上时(点$D$不与点$A$，$B$重合)，如图1.
①请你将图形补充完整；
②线段$BF$，$AD$所在直线的位置关系为，线段$BF$，$AD$的数量关系为；
(2)当点$D$在线段$AB$的延长线上时，如图2.
①请你将图形补充完整；
②在(1)中②问的结论是否仍然成立？如果成立，请进行证明；如果不成立，请说明理由.

3.(1)①略 ②垂直 相等 (2)①略 ②成立.$\because CD⊥EF,\therefore ∠DCF=90^{\circ }.\because ∠ACB=90^{\circ },\therefore ∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD$,即$∠ACD=∠BCF.\because AC=BC,CD=CF,\therefore △ ACD≌ △ BCF(SAS).\therefore AD=BF,∠BAC=∠FBC.\therefore ∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90^{\circ }$,即 $BF⊥AD$

【分析】
本题是等腰直角三角形背景下的类比探究题，解题核心是利用角的和差关系推导相等角，结合已知的等边条件证明三角形全等，再通过全等三角形的性质得到边的数量关系与角的数量关系，进而判断两条直线的位置关系。
(1)点D在线段AB上时，先按要求补全图形；再推导∠ACD与∠BCF相等，结合AC=BC、CD=CF证明△ACD和△BCF全等，即可得到BF与AD的数量和位置关系。
(2)点D在AB延长线上时，补图方法与(1)一致，证明思路不变，仍通过角的和差推导等角，证全等后验证结论是否成立。
【解析】
(1)①在直线l上，点C的两侧分别截取CE=CD、CF=CD，再连接AE、BF即可，图形略。
②推导过程：
∵ CD⊥直线l，
∴ $∠ DCF=90°$，
又
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACB - ∠ BCD = ∠ DCF - ∠ BCD$，即$∠ ACD=∠ BCF$，
在$△ ACD$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACD=∠ BCF \\CD=CF\end{cases}$
∴ $△ ACD≌△ BCF(\mathrm{SAS})$，
∴ $AD=BF$，$∠ CAD=∠ CBF$，
∵ $Rt△ ACB$中，$AC=BC$，
∴ $∠ CAB+∠ CBA=90°$，
∴ $∠ CBF + ∠ CBA = 90°$，即$∠ ABF=90°$，
∴ $BF⊥ AD$。
(2)①在直线l上，点C的两侧分别截取CE=CD、CF=CD，连接AE、BF即可，图形略。
②(1)中②的结论仍然成立，证明如下：
∵ $CD⊥ EF$，
∴ $∠ DCF=90°$，
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACB + ∠ BCD = ∠ DCF + ∠ BCD$，即$∠ ACD=∠ BCF$，
在$△ ACD$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACD=∠ BCF \\CD=CF\end{cases}$
∴ $△ ACD≌△ BCF(\mathrm{SAS})$，
∴ $AD=BF$，$∠ BAC=∠ FBC$，
∵ $Rt△ ACB$中$∠ ABC+∠ BAC=90°$，
∴ $∠ ABF=∠ ABC+∠ FBC=∠ ABC+∠ BAC=90°$，
∴ $BF⊥ AD$，故结论仍然成立。
【答案】
(1)①略；②垂直，相等
(2)①略；②结论仍然成立
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；垂直的判定
【点评】
本题是典型的动态几何类比探究题，解题的核心是抓住图形变化中不变的边角关系，通过全等三角形实现边和角的转化，两类情形下的证明思路高度一致，能够有效锻炼类比迁移能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7