11. 下列选项中，不能说明命题“若$a ＜ b$，则$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$”是假命题的$a,b$的值是（）

A.$a=-2,b=3$
B.$a=2,b=3$
C.$a=-3,b=-2$
D.$a=1,b=2$

A

【分析】
要说明一个命题是假命题，需要举出符合命题条件（即$a ＜ b$）但不符合命题结论（即$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$不成立）的反例。本题要求选出不能说明该命题为假命题的选项，即需要找要么不满足$a ＜ b$，要么满足$a ＜ b$的同时也满足$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$的选项，我们只需逐个计算各选项中$a、b$的倒数并比较大小即可判断。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$a=-2,b=3$，满足$a ＜ b$，计算得$\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{b}=\frac{1}{3}$，显然$-\frac{1}{2} ＜ \frac{1}{3}$，即结论$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$成立，因此该组值不能说明命题是假命题，符合题意；
选项B：$a=2,b=3$，满足$a ＜ b$，计算得$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{b}=\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2} ＞ \frac{1}{3}$，即结论不成立，可作为反例说明命题是假命题，不符合题意；
选项C：$a=-3,b=-2$，满足$a ＜ b$，计算得$\frac{1}{a}=-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{b}=-\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{3} ＞ -\frac{1}{2}$，即结论不成立，可作为反例说明命题是假命题，不符合题意；
选项D：$a=1,b=2$，满足$a ＜ b$，计算得$\frac{1}{a}=1$，$\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$，$1 ＞ \frac{1}{2}$，即结论不成立，可作为反例说明命题是假命题，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
假命题的判断；有理数大小比较；倒数的计算
【点评】
本题核心是考查假命题的判断逻辑，解题的关键是明确反例的要求：必须满足命题的条件，但不满足命题的结论，做题时要注意负数倒数的大小比较，避免符号判断出错。
【难度系数】
0.7

12. ★★ 新考法对称法 如图，已知$AB// CD$，$AC⊥ AB$，P是AB上的一点，连接CP，将$△ ACP$沿CP所在直线折叠，点A落在点M处，连接MB，MD。若$∠ B=∠ D$，$∠ CMD = ∠ PMB + 12°$，则$∠ ACP$的度数为。

25.5°

【分析】
解题思路如下：1. 先由AB//CD、AC⊥AB推出∠A和∠ACD均为90°；2. 结合折叠的性质，可知折叠前后对应角、对应边相等，设∠ACP为未知数x，将其他相关角用x表示；3. 利用平角的定义和∠CMD=∠PMB+12°的条件，先求出∠PMB和∠CMD的具体度数；4. 最后结合三角形内角和定理，建立关于x的方程，解方程即可得到∠ACP的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，AC⊥AB，
∴∠BAC=∠ACD=90°。
设∠ACP=x，由折叠的性质可得：∠MCP=∠ACP=x，∠CMP=∠A=90°，∠MPC=∠APC，
∴∠DCM=∠ACD - ∠ACP - ∠MCP=90°-2x。
∵AB//CD，
∴∠DCP=∠APC（两直线平行，内错角相等），
又∠DCP=∠DCM + ∠MCP=(90°-2x)+x=90°-x，
∴∠MPC=∠APC=90°-x，
∴∠MPB=180° - ∠APC - ∠MPC=180° - 2(90°-x)=2x。
∵∠CMD、∠CMP、∠PMB构成平角，
∴∠CMD + ∠CMP + ∠PMB=180°，
则∠CMD + ∠PMB=180°-90°=90°，
结合已知∠CMD=∠PMB +12°，联立解得：∠PMB=39°，∠CMD=51°。
在△CDM和△PMB中，∠D=∠B，根据三角形内角和为180°，可得：
∠DCM + ∠CMD = ∠PMB + ∠MPB，
代入对应角度得：(90°-2x) + 51° = 39° + 2x，
解得：4x=102°，即x=25.5°。
【答案】
25.5°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何综合计算题，核心是运用方程思想求解角度，解题的关键是利用折叠、平行线的性质将分散的角度关系串联起来，建立等量关系求解，对角度转化的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

13. 真实情境题 天文科普 将北斗七星的位置抽象成如图所示，其中北斗七星分别标为A,B,C,D,E,F,G，将A,B,C,D,E,F,A顺次连接，天文小组发现AF恰好经过点G，且AF//DE，∠B=∠BCD+5°，∠D=95°.
(1)求出∠B−∠CGF的度数.
(2)连接AD，当∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC//AD？并说明理由.

【解】(1)延长 $DC$ 交 $AF$ 于 $K$,如图①.
$\because AF// DE,$
$\therefore ∠GKC=∠D=95°,$
$\therefore ∠B-∠CGF=∠BCD+5°-∠CGF=∠GKC+5°=95°+5°=100°.$
(2)如图②,当$∠ADE+∠CGF=180°$时,$BC// AD.$
理由:$\because AF// DE, \therefore ∠GAD+∠ADE=180°.$
又$\because ∠ADE+∠CGF=180°,$
$\therefore ∠GAD=∠CGF, \therefore BC// AD.$

【分析】
(1) 要求$∠ B-∠ CGF$的度数，已知$AF// DE$、$∠ D=95°$以及$∠ B=∠ BCD+5°$，可先作辅助线延长$DC$交$AF$于点$K$，利用平行线性质得到$∠ GKC$的度数，再结合三角形外角的性质找到$∠ BCD$和$∠ CGF$的关系，代入已知条件即可求出差值。
(2) 要推导$BC// AD$时$∠ ADE$与$∠ CGF$的数量关系，可先根据$AF// DE$得到$∠ GAD$和$∠ ADE$的互补关系，再结合平行线的判定条件“同位角相等，两直线平行”，即可推导出两个角的数量关系。
【解析】
(1) 延长 $DC$ 交 $AF$ 于 $K$，如图①。
$\because AF// DE$，
$\therefore ∠ GKC=∠ D=95°$（两直线平行，同位角相等）。
根据三角形外角的性质可得$∠ BCD=∠ CGF+∠ GKC$，即$∠ BCD-∠ CGF=95°$。
又$\because ∠ B=∠ BCD+5°$，
$\therefore ∠ B-∠ CGF=(∠ BCD+5°)-∠ CGF=95°+5°=100°$。
(2) 当$∠ ADE+∠ CGF=180°$时，$BC// AD$，理由如下：
$\because AF// DE$，
$\therefore ∠ GAD+∠ ADE=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because ∠ ADE+∠ CGF=180°$，
$\therefore ∠ GAD=∠ CGF$（同角的补角相等），
$\therefore BC// AD$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $∠ B-∠ CGF$的度数为$100°$。
(2) 当$∠ ADE+∠ CGF=180°$时，$BC// AD$，理由如下：
$\because AF// DE, \therefore ∠GAD+∠ADE=180°.$
又$\because ∠ADE+∠CGF=180°,$
$\therefore ∠GAD=∠CGF, \therefore BC// AD.$

【知识点】
平行线的性质、三角形外角性质、平行线的判定
【点评】
本题结合北斗七星的天文情境考查几何知识，趣味性较强，重点考查学生对平行线相关性质、判定以及三角形外角性质的综合应用能力，解题的关键是合理构造辅助线，结合已知条件推导角度关系。
【难度系数】
0.65

14. ★★★【概念理解】
我们定义:在一个三角形中,如果一个角的度数是另一个角的度数的4倍,那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”.如三个内角分别为130°,40°,10°的三角形是“完美三角形”.
【简单应用】
如图①,∠MON=72°,在射线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C(点C不与O,B重合).
(1)∠ABO=°,△AOB(填“是”或“不是”)“完美三角形”;
(2)若∠ACB=90°,求证:△AOC是“完美三角形”;
【应用拓展】
如图②,点D在△ABC的边AB上,连接DC,作∠ADC的平分线交AC于点E,在DC上取一点F,使∠EFC+∠BDC=180°,∠DEF=∠B,若△BCD是“完美三角形”,求∠B的度数.

【简单应用】
(1)18；是
(2)【证明】 $\because ∠MON=72°, ∠ACB=90°, ∠ACB=∠OAC+∠MON, \therefore ∠OAC=90°-72°=18°,$
$\therefore ∠AOB=72°=4×18°=4∠OAC, \therefore △AOC$ 是“完美三角形”.
【应用拓展】【解】 $\because ∠EFC+∠BDC=180°, ∠ADC+∠BDC=180°, \therefore ∠EFC=∠ADC, \therefore AD// EF,$
$\therefore ∠DEF=∠ADE. \because ∠DEF=∠B, \therefore ∠B=∠ADE, \therefore DE// BC, \therefore ∠CDE=∠BCD.$
$\because DE$ 平分 $∠ADC, \therefore ∠ADE=∠CDE, \therefore ∠B=∠BCD.$
$\because △BCD$ 是“完美三角形”, $\therefore ∠BDC=4∠B$ 或 $∠B=4∠BDC.$
$\because ∠BDC+∠BCD+∠B=180°, \therefore ∠B=30°$ 或 $∠B=80°.$

【分析】
（1）先利用直角三角形两锐角互余计算∠ABO的度数，再根据“完美三角形”的定义判断△AOB是否符合即可；
（2）利用三角形外角的性质求出∠OAC的度数，再验证∠AOB与∠OAC是否存在4倍关系，结合“完美三角形”定义即可证明；
（3）首先根据同角的补角相等推出∠EFC=∠ADC，进而得到AD//EF，结合已知角相等推导DE//BC，再利用角平分线的性质得到△BCD中∠B=∠BCD，最后根据“完美三角形”的定义分两种情况讨论，结合三角形内角和定理计算∠B的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
简单应用
(1) 解：$\because AB⊥ OM$，$\therefore ∠ OAB=90°$，
在$△ AOB$中，$∠ ABO=180°-∠ OAB-∠ MON=180°-90°-72°=18°$，
$\because ∠ MON=72°=4×18°=4∠ ABO$，满足“完美三角形”的定义，
$\therefore △ AOB$是“完美三角形”。
(2) 证明：$\because ∠ ACB$是$△ AOC$的外角，
$\therefore ∠ ACB=∠ OAC+∠ MON$，
已知$∠ MON=72°$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ OAC=∠ ACB-∠ MON=90°-72°=18°$，
$\therefore ∠ AOB=72°=4×18°=4∠ OAC$，
$\therefore △ AOC$是“完美三角形”。
应用拓展
解：$\because ∠ EFC+∠ BDC=180°$，$∠ ADC+∠ BDC=180°$，
$\therefore ∠ EFC=∠ ADC$（同角的补角相等），
$\therefore AD// EF$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ DEF=∠ ADE$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ DEF=∠ B$，
$\therefore ∠ B=∠ ADE$，
$\therefore DE// BC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ CDE=∠ BCD$（两直线平行，内错角相等），
$\because DE$平分$∠ ADC$，$\therefore ∠ ADE=∠ CDE$，
$\therefore ∠ B=∠ BCD$。
$\because △ BCD$是“完美三角形”，分两种情况讨论：
①当$∠ BDC=4∠ B$时，
$\because ∠ BDC+∠ BCD+∠ B=180°$，且$∠ BCD=∠ B$，
$\therefore 4∠ B+∠ B+∠ B=180°$，解得$∠ B=30°$；
②当$∠ B=4∠ BDC$时，
同理可得$∠ B+∠ B+\frac{1}{4}∠ B=180°$，解得$∠ B=80°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{18}$；$\boldsymbol{是}$
(2) 证明见上述解析
(3) $\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{80°}$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 平行线的判定与性质
3. 新定义问题
【点评】
本题结合新定义“完美三角形”考查三角形相关性质与平行线的综合应用，解题关键是准确理解新定义，推导角的数量关系时要熟练运用平行线和角平分线的性质，注意分情况讨论时不要漏解。
【难度系数】
0.6