10 隐圆模型 如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP=。

10.$4-2\sqrt{2}$

11 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°,∠ B=60°$,$AB=3$,点$D$从点$A$以每秒1个单位长度的速度向点$B$运动(点$D$不与点$B$重合),过点$D$作$DE// BC$交$AC$于点$E$,以$DE$为直径作$\odot O$,并在$\odot O$内作内接矩形$ADFE$,设点$D$的运动时间为$t$秒.
(1)用含$t$的代数式表示$△ DEF$的面积$S$.
(2)当$t$为何值时,$\odot O$与直线$BC$相切?

11.(1)
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B=60°.
在△ADE 中,∠A=90°,AD=t,DE=2AD=2t,
∴AE=$\sqrt{DE^2-AD^2}=\sqrt{3}t$.
又四边形 ADFE 是矩形,
∴$S_{△DEF}=S_{△ADE}=\frac{1}{2}AD· AE=\frac{1}{2}t×\sqrt{3}t=\frac{\sqrt{3}}{2}t^2(0＜t＜3)$,
∴$S=\frac{\sqrt{3}}{2}t^2(0＜t＜3)$.
(2)如图,过点 O 作 OG⊥BC 于点 G,过点 D 作 DH⊥BC 于点 H.
∵DE//BC,
∴OG=DH,∠DHB=90°.
在 Rt△DBH 中,∠B=60°,BD=AB-AD=3-t,
∴BH=$\frac{1}{2}$BD,
∴DH=$\sqrt{BD^2-BH^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}BD=\frac{\sqrt{3}}{2}(3-t)$,
∴OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}(3-t)$.
当 OG=$\frac{1}{2}DE$时,⊙O 与 BC 相切.
∵在△ADE 中,∠A=90°,∠ADE=60°,AD=t,
∴DE=2AD=2t,
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}(3-t)=\frac{1}{2}×2t$,
∴$t=6\sqrt{3}-9$.
故当$t=6\sqrt{3}-9$时,⊙O 与直线 BC 相切.

12 原创素养题 模型观念（2025·扬州邗江区三模）如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ BAC$的平分线与$\odot O$相交于点D，过点D作直线$DE// BC$，连接OB，OC，BD，CD。
（1）判断直线DE与$\odot O$的位置关系，并说明理由；
（2）若$BD=2\sqrt{5}$，$BC=8$，求四边形OBDC的面积。

12.(1)直线 DE 与⊙O 相切. 理由如下:
如图,连接 OD,设 OD 与 BC 相交于点 H.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠BOD=∠COD,
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$.
∵OB=OC,
∴OD⊥BC,
∴∠OHC=90°.
又 DE//BC,
∴∠ODE=∠OHC=90°,
∴OD⊥DE.
∵OD 是⊙O 的半径,
∴直线 DE 与⊙O 相切.
(2)由(1)知 OD⊥BC.
∵OB=OC,
∴OD 垂直平分 BC,
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=4,
∴DH=$\sqrt{BD^2-BH^2}=2$,
∴OH=OD-DH=OB-2.
在 Rt△OBH 中,$OB^2=BH^2+OH^2$,
即$OB^2=4^2+(OB-2)^2$,
解得 OB=5,
∴OD=OB=5,
∴$S_{四边形OBDC}=S_{△OBC}+S_{△DBC}=\frac{1}{2}BC· OH+\frac{1}{2}BC· DH=\frac{1}{2}BC(OH+DH)=\frac{1}{2}BC· OD=\frac{1}{2}×8×5=20$,
即四边形 OBDC 的面积为 20.
归纳总结 本题考查了切线的判定,圆周角定理、圆心角之间的关系、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识,熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键.

13 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$O$在边$AB$上，以点$O$为圆心、$OB$长为半径的半圆，交$BC$于点$D$，与$AC$相切于点$E$，连接$OD$，$OE$。
(1)求证：$OD ⊥ OE$；
(2)若$AB=BC$，$OB=\sqrt{3}$，求四边形$ODCE$的面积。

13.(1)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C. 由作图可知 OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
∴∠ODB=∠C,
∴OD//AC.
∵以点 O 为圆心、OB 长为半径的半圆与 AC 相切于点 E,
∴OE⊥AC,
∴OD⊥OE.
(2)
∵AB=AC,AB=BC,
∴AB=AC=BC,
∴△ABC 为等边三角形,
∴∠A=60°.
在 Rt△AEO 中,OE=OD=OB=$\sqrt{3}$,∠AOE=90°-∠A=30°,则 OA=2AE. 又$OE^2+AE^2=OA^2$,
∴$(\sqrt{3})^2+AE^2=(2AE)^2$,解得 AE=1(负值舍去),
∴OA=2,AE=1,
∴AB=2+$\sqrt{3}$,
∴EC=AC-AE=2+$\sqrt{3}$-1=1+$\sqrt{3}$,
∴四边形 ODCE 的面积为$\frac{1}{2}×(\sqrt{3}+\sqrt{3}+1)×\sqrt{3}=3+\frac{\sqrt{3}}{2}$.

14 如图，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=6$，射线$AC$上有一个动点$D$，以点$D$为圆心，作$\odot D$与$AB$相切，切点为$E$，$\odot D$与射线$AC$交于点$F$，连接$EF$，作$MF ⊥ EF$，交直线$BC$于点$M$，设半径为$r$.
（1）证明：$AE=EF$；
（2）当$\odot D$与$BC$相切时，求$r$的值；
（3）当点$M$在$\odot D$内时，求$r$的取值范围.

14.(1)如图(1),连接 DE.
∵⊙D 与 AB 相切于点 E.
∴∠AED=90°.
∵∠A=30°,
∴∠ADE=60°.
∵DE=DF,
∴∠DEF=∠DFE.
∵∠DEF+∠DFE=∠ADE,
∴∠DEF=∠DFE=30°,
∴∠A=∠DFE,
∴AE=EF.
(2)
∵∠C=90°,∠A=30°,AB=6,
∴BC=3,AC=3$\sqrt{3}$.
①点 D 在线段 AC 上.
∵AD=2r,CD=r,
∴2r+r=3$\sqrt{3}$,
∴r=$\sqrt{3}$.
②点 D 在线段 AC 的延长线上.
∵AD=2r,CD=r,
∴2r-r=3$\sqrt{3}$,
∴r=3$\sqrt{3}$.
综上所述,r=$\sqrt{3}$或 3$\sqrt{3}$.
(3)找临界位置:
①点 D 在线段 AC 上,⊙D 与 BC 相切,此时 r=$\sqrt{3}$.
②如图(2),点 M 在⊙D 上,连接 EM.
∵∠MFE=90°,
∴EM 为直径,
∴EM 过点 D.
∵∠MDF=∠ADE=60°,DM=DF,
∴△MDF 为等边三角形.
又 MC⊥DF,
∴DF=2DC,AD=2r,CD=3$\sqrt{3}$-2r,DF=r,
∴r=2(3$\sqrt{3}$-2r),解得 r=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$.
综上所述,r 的取值范围为$\sqrt{3}＜r＜\frac{6\sqrt{3}}{5}$.