1. 如图，直线$y=\frac{1}{2}x+2$与双曲线相交于点$A(m,3)$，与$x$轴交于点$C$。
（1）求双曲线对应的函数解析式；
（2）点$P$在$x$轴上，如果$△ ACP$的面积为3，求点$P$的坐标。

1. (1) 把点$A(m,3)$代入$y=\frac{1}{2}x+2$,得$3=\frac{1}{2}m+2$,解得$m=2$,$\therefore A(2,3)$. 把$A(2,3)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=6$,$\therefore$ 双曲线对应的函数解析式为$y=\frac{6}{x}$.
(2) 对于直线$y=\frac{1}{2}x+2$,令$y=0$,得到$x=-4$,即$C(-4,0)$.设$P(x,0)$,可得$PC=|x+4|$.$\because △ ACP$ 的面积为3,$\therefore \frac{1}{2}|x+4|×3=3$,即$|x+4|=2$,解得$x=-2$ 或 $x=-6$,$\therefore$ 点$P$ 的坐标为$(-2,0)$或$(-6,0)$.

2. 如图，一次函数$y=x+m$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为$(2,1)$。
（1）求m及k的值；
（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组$0＜x+m≤\frac{k}{x}$的解集。

2. (1) $\because$点$A(2,1)$在函数$y=x+m$ 的图象上,$\therefore 2+m=1$,解得$m=-1$.$\because$点$A(2,1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,$\therefore \frac{k}{2}=1$,解得$k=2$.
(2) $\because$ 一次函数的解析式为$y=x-1$,令$y=0$,得$x=1$,$\therefore$ 点$C$ 的坐标为$(1,0)$.由图象可知不等式组$0＜x+m≤\frac{k}{x}$的解集为$1＜x≤2$.

3. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=ax+b$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象相交于点$A(-4,-2),B(m,4)$,与$y$轴相交于点$C$.
(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式;
(2) 求点$C$的坐标及$△ AOB$的面积.

3. (1) $\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$A(-4,-2)$,$\therefore k=8$. $\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$.$\because$ 点$B(m,4)$在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上,$\therefore 4=\frac{8}{m}$,解得$m=2$. $\therefore$ 点 $B$ 的坐标为$(2,4)$.$\because$ 点 $A(-4,-2)$,$B(2,4)$在一次函数$y=ax+b$ 的图象上,$\therefore \begin{cases}-4a+b=-2,\\2a+b=4.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=2.\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的解析式为$y=x+2$.
(2) 将$x=0$代入$y=x+2$,得$y=2$,$\therefore$ 点$C$ 的坐标为$(0,2)$. $\therefore S_{△ AOB} = S_{△ AOC} + S_{△ COB} = \frac{1}{2} × 2 × [2-(-4)]=6$.