24.(8分)如图,已知线段$a$,$h$,用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形$ABC$(保留作图痕迹)．
(1)$\triangle ABC的底边长为a$,底边上的高为$h$；
(2)$\triangle ABC的腰长为a$,腰上的高为$h$．

(1) 作线段 $ AB = a $，作线段 $ AB $ 的垂直平分线交 $ AB $ 于点 $ D $，在线段 $ AB $ 的垂直平分线上取 $ DC = h $，连接 $ AC $，$ BC $，如图①，则 $ \triangle ABC $ 即为所求。

(2) 作直线 $ MN \perp PQ $ 于点 $ E $，在射线 $ EM $ 上取 $ EA = h $，以 $ A $ 为圆心，线段 $ a $ 的长为半径作圆交 $ PQ $ 于 $ B $，在射线 $ BP $ 上取点 $ C $，使 $ BC = a $，连接 $ AC $，如图②，则 $ \triangle ABC $ 即为所求。(答案不唯一，如图③中的 $ \triangle ABC(AB = AC) $ 也为所求，画出一种即可)

25.(10分)(2024·南京校级期末)一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发,沿同一条直路相向而行,匀速驶向各自目的地乙地和甲地．行驶了一段时间,轿车出现故障停下维修,货车遇到轿车后立即停下帮助维修,故障排除后,两车立即以各自原速度继续行驶．两车之间的距离$y(km)和货车行驶时间x(h)$之间的函数图象如图①所示．
(1)货车的速度为______$km/h$,轿车的速度为______$km/h$；
(2)求线段$DE$所在直线的函数表达式；
(3)在图②中,画出货车离乙地的距离$s(km)和行驶时间x(h)$之间的函数图象．

(1) 60 80 解析:由图象可知，货车的速度为 $ \frac{40}{\frac{8}{3} - 2} = 60(km/h) $，轿车的速度为 $ \frac{320 - 40}{2} - 60 = 140 - 60 = 80(km/h) $。
(2) 根据题意知，轿车出现故障前行驶了 $ 80×2 = 160(km) $，$ \therefore $ 轿车修好后到达甲地所需时间为 $ \frac{320 - 160}{80} = 2(h) $，$ \therefore 5 - 2 = 3 $，$ \therefore D(3,0) $。$ \therefore $ 货车 $ 2h $ 行驶的路程为 $ 2×60 = 120(km) $。$ \because 160 + 120 = 280(km) $，$ \therefore E(5,280) $。设线段 $ DE $ 所在直线的函数表达式为 $ y = kx + b $，把 $ D $，$ E $ 坐标代入表达式，得 $ \begin{cases} 3k + b = 0 \\ 5k + b = 280 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = 140 \\ b = -420 \end{cases} $，$ \therefore $ 线段 $ DE $ 所在直线的函数表达式为 $ y = 140x - 420 $。
(3) 由题意得，货车到达乙地的时间为 $ 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}(h) $。货车离乙地的距离 $ s(km) $ 和行驶时间 $ x(h) $ 之间的函数图象如图所示。

26.(12分)【模型建立】(一线三等角)
(1)如图①,等腰$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$CB= CA$,直线$ED经过点C$,过点$A作AD⊥ED于点D$,过点$B作BE⊥ED于点E$,求证：$\triangle BEC≌\triangle CDA$．
【模型应用】
(2)如图②,直线$l_{1}:y= \frac {4}{3}x+4与坐标轴交于点A$,$B$,直线$l_{2}经过点A与直线l_{1}$垂直,求直线$l_{2}$的函数表达式．
(3)如图③,平面直角坐标系内有一点$B(6,-8)$,过点$B作BA⊥x轴于点A$,$BC⊥y轴于点C$,点$P是线段AB$上的动点,点$D是直线y= -2x+2$上的动点且在第四象限内．若$\triangle CPD$为等腰直角三角形,请写出点$D$的坐标．

(1) $ \because AD \perp ED $，$ BE \perp ED $，$ \therefore ∠ADC = ∠CEB = 90^{\circ} $。又 $ \because ∠ACD + ∠ACB + ∠BCE = 180^{\circ} $，$ ∠ACB = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ACD + ∠BCE = 90^{\circ} $。又 $ \because ∠ACD + ∠DAC = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠DAC = ∠ECB $。在 $ \triangle BEC $ 和 $ \triangle CDA $ 中，$ \begin{cases} ∠CEB = ∠ADC \\ ∠ECB = ∠DAC \\ BC = CA \end{cases} $，$ \therefore \triangle BEC \cong \triangle CDA(AAS) $。
(2) 如图①，在 $ l_2 $ 上取点 $ D $，使 $ AD = AB $，过点 $ D $ 作 $ DE \perp OA $，垂足为 $ E $。$ \because $ 直线 $ y = \frac{4}{3}x + 4 $ 与坐标轴交于点 $ A $，$ B $，$ \therefore A(-3,0) $，$ B(0,4) $，$ \therefore OA = 3 $，$ OB = 4 $。由(1) 同理得 $ \triangle BOA \cong \triangle AED $，$ \therefore DE = OA = 3 $，$ AE = OB = 4 $，$ \therefore OE = 7 $，$ \therefore D(-7,3) $。设直线 $ l_2 $ 的函数表达式为 $ y = kx + b $，$ \therefore \begin{cases} -7k + b = 3 \\ -3k + b = 0 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = -\frac{3}{4} \\ b = -\frac{9}{4} \end{cases} $，$ \therefore $ 直线 $ l_2 $ 的函数表达式为 $ y = -\frac{3}{4}x - \frac{9}{4} $。

(3) 分三种情况：
①如图②，当 $ ∠CPD = 90^{\circ} $ 时，过 $ P $ 作 $ MH // x $ 轴，过 $ D $ 作 $ DH // y $ 轴，$ MH $ 和 $ DH $ 交于 $ H $。$ \because \triangle CPD $ 是等腰直角三角形，$ \therefore ∠CPD = 90^{\circ} $，$ CP = PD $。同(1) 得 $ \triangle CMP \cong \triangle PHD $，$ \therefore DH = PM = 6 $，$ PH = CM $。设 $ PH = a $，则 $ D(6 + a,a - 8 - 6) $。$ \because $ 点 $ D $ 是直线 $ y = -2x + 2 $ 上的动点且在第四象限内，$ \therefore a - 8 - 6 = -2(6 + a) + 2 $，解得 $ a = \frac{4}{3} $，$ \therefore D(\frac{22}{3},-\frac{38}{3}) $。
②如图③，当 $ ∠PCD = 90^{\circ} $ 时，此时点 $ P $ 与点 $ A $ 重合，过 $ D $ 作 $ DE \perp y $ 轴于 $ E $。$ \because \triangle CPD $ 是等腰直角三角形，同(1) 得 $ \triangle AOC \cong \triangle CED $，$ \therefore OA = CE = 6 $，$ OC = DE = 8 $，$ \therefore D(8,-14) $。
③如图④，当 $ ∠CDP = 90^{\circ} $ 时，过点 $ D $ 作 $ MQ // x $ 轴，延长 $ AB $ 交 $ MQ $ 于 $ Q $，则 $ ∠Q = ∠DMC = 90^{\circ} $。$ \because \triangle CDP $ 是等腰直角三角形，同(1) 得 $ \triangle PQD \cong \triangle DMC $，$ \therefore PQ = DM $，$ DQ = CM $。设 $ CM = b $，则 $ DM = 6 - b $，$ AQ = 8 + b $，$ \therefore D(6 - b,-8 - b) $。$ \because $ 点 $ D $ 是直线 $ y = -2x + 2 $ 上的动点且在第四象限内，$ \therefore -8 - b = -2(6 - b) + 2 $，解得 $ b = \frac{2}{3} $，$ \therefore D(\frac{16}{3},-\frac{26}{3}) $。
综上，点 $ D $ 的坐标为 $ (\frac{22}{3},-\frac{38}{3}) $ 或 $ (8,-14) $ 或 $ (\frac{16}{3},-\frac{26}{3}) $。