20.(6分)如图,$∠BAC= ∠DAE= 90^{\circ }$,$AB= AC$,$AD= AE$,$BE$,$CD交于点F$．
(1)求证：$BE= CD$；
(2)连接$CE$,若$BE= CE$,求证：______．
(从“①$DE⊥AC$”“②$DE// AB$”中选择一个填入(2)中,并完成证明)

(1) $ \because ∠BAC = ∠DAE = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠DAE + ∠DAB = ∠BAC + ∠DAB $，即 $ ∠BAE = ∠CAD $。在 $ \triangle CAD $ 与 $ \triangle BAE $ 中，$ \begin{cases} AD = AE \\ ∠CAD = ∠BAE \\ AC = AB \end{cases} $，$ \therefore \triangle CAD \cong \triangle BAE(SAS) $，$ \therefore BE = CD $。
(2) 答案不唯一，示例:选①，证明:$ \because BE = CD $，$ BE = CE $，$ \therefore CE = CD $。又 $ \because AD = AE $，$ \therefore CA $ 垂直平分 $ DE $，$ \therefore DE \perp AC $。

21.(8分)(眉山中考)在如图所示的正方形网格中,每一个小正方形的边长为1．格点三角形$ABC$(顶点是网格线交点的三角形)的顶点$A$,$C的坐标分别是(-4,6)$,$(-1,4)$．
(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
(2)请画出$\triangle ABC关于x轴对称的\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
(3)请在$y轴上作一点P$,使$\triangle PB_{1}C$的周长最小,并写出点$P$的坐标．

(1)(2) 如图所示

(3) 如图，作点 $ B_1 $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ B_2 $，连接 $ CB_2 $，交 $ y $ 轴于点 $ P $，则点 $ P $ 即为所求。设直线 $ CB_2 $ 的函数表达式为 $ y = kx + b(k ≠ 0) $。$ \because C(-1,4) $，$ B_2(2,-2) $，$ \therefore \begin{cases} -k + b = 4 \\ 2k + b = -2 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = -2 \\ b = 2 \end{cases} $，$ \therefore $ 直线 $ CB_2 $ 的函数表达式为 $ y = -2x + 2 $。$ \therefore $ 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 2 $，$ \therefore P(0,2) $。

22.(8分)人类使用密码的历史可以追溯到公元前400多年,用于对通信传输中的信息实施保密．某校课外兴趣小组利用密码原理,结合一次函数知识编制了一套数字转译系统．如图,当输入一个数$x$时,该系统将它转译,输出对应的数$y$．已知输入0时,输出6；输入8时,输出22；输入15时,输出31．
(1)求该系统核心程序的表达式$y= kx+b和y= x+c$；
(2)输入20时,输出的数是______；
(3)若输出28,则输入的数是多少？

(1) 当 $ x ≤ 10 $ 时，将 $ x = 0 $，$ y = 6 $；$ x = 8 $，$ y = 22 $ 代入 $ y = kx + b(k ≠ 0) $，得 $ \begin{cases} b = 6 \\ 8k + b = 22 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = 2 \\ b = 6 \end{cases} $，$ \therefore y = 2x + 6 $。当 $ x ＞ 10 $ 时，将 $ x = 15 $，$ y = 31 $ 代入 $ y = x + c $，得 $ 15 + c = 31 $，解得 $ c = 16 $。$ \therefore y = x + 16 $。
(2) 36
(3) 当 $ x ≤ 10 $ 时，$ y = 2x + 6 = 28 $，解得 $ x = 11 $（舍去）；当 $ x ＞ 10 $ 时，$ y = x + 16 = 28 $，解得 $ x = 12 $。$ \therefore $ 输入的数是 12。

23.(8分)(2025·苏州校级月考)如图,学校高$17m的教学楼AB上有一块高5m的校训宣传牌AC$,为美化环境,对校训宣传牌$AC$进行维护．一辆高$2m的工程车在教学楼前点M$处,伸长$25m$的云梯(云梯最长$25m$)刚好接触到$AC的底部点A$处．问：工程车向教学楼方向行驶多少米,长$25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C$处？

如图，过点 $ D $ 作 $ DE \perp AB $ 交 $ AB $ 于点 $ E $，由题意得 $ AE = AB - BE = 17 - 2 = 15(m) $，$ CE = AB + AC - BE = 17 + 5 - 2 = 20(m) $，在 $ Rt\triangle AED $ 中，由勾股定理得 $ DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20(m) $。设 $ DD' = xm $，则 $ D'E = (20 - x)m $。在 $ Rt\triangle CED' $ 中，由勾股定理得 $ D'E^2 + CE^2 = CD'^2 $，即 $ (20 - x)^2 + 20^2 = 25^2 $，解得 $ x = 5(x = 35 $ 舍去)。故工程车向教学楼方向行驶 $ 5m $，长 $ 25m $ 的云梯刚好接触到 $ AC $ 的顶部点 $ C $ 处。