10.(2023·济宁中考)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若$∠CFB= α$,则$∠ABE$等于()

A.$180^{\circ }-α$
B.$180^{\circ }-2α$
C.$90^{\circ }+α$
D.$90^{\circ }+2α$

C 解析：如图，由图可知 $ GD = EH = 1 $，$ CG = BH = 4 $，$ ∠CGD = ∠BHE = 90° $，∴ $ △CGD ≌ △BHE(SAS) $。∴ $ ∠GCD = ∠HBE $。∵ $ CG // BD $，∴ $ ∠CAB = ∠ABD $。∵ $ ∠CFB = ∠CAB + ∠GCD = α $，∴ $ α = ∠ABD + ∠HBE $。∴ $ ∠ABE = ∠ABD + ∠DBH + ∠HBE = 90° + α $。 故选 C。

11.(2024·黄山校级月考)如图,在$△ABC$中,D,E是BC边上的两点,$AD= AE,BE= CD,$$∠1= ∠2= 110^{\circ },∠BAE= 60^{\circ }$,则$∠BAC$的度数为______.

$ 80° $ 解析：∵ $ AD = AE $，∴ $ ∠ADC = ∠AEB $。在 $ △ACD $ 和 $ △ABE $ 中，$\left\{\begin{array}{l} AD = AE,\\ ∠ADC = ∠AEB,\\ CD = BE,\end{array}\right.$ ∴ $ △ACD ≌ △ABE(SAS) $，∴ $ AC = AB $，$ ∠CAD = ∠BAE = 60° $，∴ $ ∠B = ∠C $。∵ $ ∠C = 1 - ∠CAD = 110° - 60° = 50° $，∴ $ ∠B = 50° $，∴ $ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 50° - 50° = 80° $。

12.如图,点D,F分别为$△ABC$的边AB,AC的中点,$DE⊥AB,FG⊥AC,△AGE$的周长为15,$BC= 10$,则EG的长为______.

$ \frac{5}{2} $ 解析：∵ $ D $ 是 $ AB $ 的中点，∴ $ BD = AD $。∵ $ DE ⊥ AB $，∴ $ ∠EDA = ∠EDB = 90° $。在 $ △EDA $ 和 $ △EDB $ 中，$\left\{\begin{array}{l} AD = BD,\\ ∠EDA = ∠EDB,\\ DE = DE,\end{array}\right.$ ∴ $ △EDA ≌ △EDB(SAS) $，∴ $ AE = BE $，同理可证 $ △AGF ≌ △CGF(SAS) $，∴ $ AG = CG $。∵ $ △AGE $ 的周长为 15，∴ $ AG + AE + GE = CG + EB + GE = GE + CE + BG + GE + CE = BC + 2GE = 15 $，∴ $ GE = \frac{5}{2} $。

13.如图,在$△ABC和△AED$中,$AB= AC,AE= $$AD,∠BAC= ∠EAD$,且点E,A,B在同一直线上,点C,D在EB同侧,连接BD,CE交于点M.
(1)求证：$△ABD\cong △ACE;$
(2)若$∠CAD= 120^{\circ }$,求$∠DME$的度数.

(1) ∵ $ ∠BAC = ∠EAD $，∴ $ ∠BAC + ∠DAC = ∠EAD + ∠DAC $，即 $ ∠DAB = ∠EAC $。在 $ △ABD $ 和 $ △ACE $ 中，$\left\{\begin{array}{l} AD = AE,\\ ∠DAB = ∠EAC,\\ AB = AC,\end{array}\right.$ ∴ $ △ABD ≌ △ACE(SAS) $。
(2) ∵ $ ∠BAC = ∠EAD $，$ ∠CAD = 120° $，∴ $ ∠BAC = ∠EAD = \frac{180° - ∠CAD}{2} = \frac{180° - 120°}{2} = 30° $。∵ $ ∠BAC $ 是 $ △EAC $ 的外角，∴ $ ∠BAC = ∠AEC + ∠ACE = 30° $。∵ $ △ABD ≌ △ACE $，∴ $ ∠ECA = ∠DBA $。∵ $ ∠DME $ 是 $ △BME $ 的外角，∴ $ ∠DME = ∠AEC + ∠ABD = ∠AEC + ∠ACE = 30° $。

14.在$△ABC$中,$AB= 8$,如果BC边上的中线$AD= 5$,那么线段AC长度的取值范围是______.

$ 2 ＜ AC ＜ 18 $ 解析：如图，延长 $ AD $ 到 $ E $，使 $ AD = DE $，连接 $ BE $，∵ $ AD = DE $，$ ∠ADC = ∠BDE $，$ DC = BD $，∴ $ △ADC ≌ △EDB(SAS) $，∴ $ AC = BE $。在 $ △AEB $ 中，$ AE - AB ＜ BE ＜ AB + AE $，即 $ 2 ＜ BE ＜ 18 $，∴ $ 2 ＜ AC ＜ 18 $。

技法点拨
本题的解题技巧是作辅助线，延长中线，使所延长部分与中线长度相等，然后连接相应的顶点，从而构造全等三角形，这种方法叫作倍长中线法，是一种常用的构造全等三角形的方法。

15.新趋势项目式学习(2025·济宁校级月考)
(1)问题背景：如图①,在四边形ABCD中,$AB= AD,∠BAD= 120^{\circ },∠B= ∠ADC= 90^{\circ },$E,F分别是BC,CD上的点,且$∠EAF= 60^{\circ },$探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使$DG= BE$.连接AG,先证明$△ABE\cong $$△ADG$,再证明$△AEF\cong △AGF$,可得出结论.他的结论应是______.
(2)如图②,在四边形ABCD中,$AB= AD,$$∠B+∠D= 180^{\circ }$,E,F分别是边BC,CD上的点,且$∠EAF= \frac {1}{2}∠BAD$. (1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程.
(3)在四边形ABCD中,$AB= AD,∠B+∠D= $$180^{\circ }$,E,F分别是边BC,CD所在直线上的点,且$∠EAF= \frac {1}{2}∠BAD$. 请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系.

(1) $ BE + DF = EF $ 解析：如图①，延长 $ FD $ 到点 $ G $，使 $ DG = BE $。连接 $ AG $，∵ $ ∠B = ∠ADC = 90° $，∴ $ ∠B = ∠ADG = 90° $。∵ $ AB = AD $，$ BE = DG $，∴ $ △ABE ≌ △ADG $，∴ $ ∠BAE = ∠DAG $，$ AE = AG $。∵ $ ∠EAF = 60° $，$ ∠BAD = 120° $，∴ $ ∠BAE + ∠DAF = 120° - 60° = 60° $，则 $ ∠DAG + ∠DAF = 60° $，即 $ ∠GAF = ∠EAF = 60° $。∵ $ AG = AE $，$ AF = AF $，∴ $ △AEF ≌ △AGF $，∴ $ EF = GF $，即 $ GD + DF = BE + DF = EF $。
　　
(2)(1)中的结论仍然成立。证明：如图②，延长 $ EB $ 到 $ G $，使 $ BG = DF $，连接 $ AG $。∵ $ ∠ABC + ∠D = 180° $，$ ∠ABG + ∠ABC = 180° $，∴ $ ∠ABG = ∠D $。在 $ △ABG $ 与 $ △ADF $ 中，$\left\{\begin{array}{l} AB = AD,\\ ∠ABG = ∠D,\\ BG = DF,\end{array}\right.$ ∴ $ △ABG ≌ △ADF(SAS) $，∴ $ AG = AF $，$ ∠1 = ∠2 $，∴ $ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = \frac{1}{2}∠BAD = ∠EAF $。∴ $ ∠GAE = ∠EAF $。又 $ AE = AE $，∴ $ △AEG ≌ △AEF $，∴ $ EG = EF $。∵ $ EG = BE + BG $。∴ $ EF = BE + FD $。
(3)$ EF = BE - FD $ 或 $ EF = FD - BE $ 或 $ EF = BE + FD $。解析：①如图③，在 $ BE $ 上截取 $ BG = DF $，连接 $ AG $。∵ $ ∠B + ∠ADC = 180° $，$ ∠ADF + ∠ADC = 180° $，∴ $ ∠B = ∠ADF $。在 $ △ABG $ 与 $ △ADF $ 中，$\left\{\begin{array}{l} AB = AD,\\ ∠ABG = ∠ADF,\\ BG = DF,\end{array}\right.$ ∴ $ △ABG ≌ △ADF(SAS) $，∴ $ ∠BAG = ∠DAF $，$ AG = AF $。∴ $ ∠BAG + ∠EAD = ∠DAF + ∠EAD = ∠EAF = \frac{1}{2}∠BAD $。∴ $ ∠GAE = ∠EAF $。∵ $ AE = AE $，易证 $ △AEG ≌ △AEF $，∴ $ EG = EF $。∵ $ EG = BE - BG $，∴ $ EF = BE - FD $。

②如图④，在 $ DF $ 上截取 $ DH = BE $，同第一种情况方法，证明 $ △AEB ≌ △AHD(SAS) $，证明 $ △AEF ≌ △AHF(SAS) $，∴ $ EF = FH = FD - DH = FD - BE $。
③由(1)、(2)可知，$ EF = BE + FD $。
④如图⑤，点 $ E $ 在 $ BC $ 延长线上，点 $ F $ 在 $ DC $ 延长线上，此时线段 $ EF $，$ BE $，$ FD $ 之间并无直接数量关系。
综上，$ EF = BE - FD $ 或 $ EF = FD - BE $ 或 $ EF = BE + FD $。