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3. 将一个量角器(示意图)和一个含$30°$角的直角三角尺(示意图)按如图所示的方式摆放，三角尺的短直角边与量角器的$0°$刻度线在同一条直线上，$DC=2BC$. 过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则$∠ EAC$的度数是
$60°$
.答案
3. $60°$
解析
【分析】
要求∠EAC的度数，首先根据切线的性质，连接圆心C和切点E，可得CE⊥AE，得到Rt△AEC。结合量角器的特征，CE和CD都是圆的半径，因此CE=CD，再结合已知DC=2BC，推出CE和BC的数量关系。然后根据含30°角的直角三角尺的性质，得到AC与BC的关系，进而得到CE和AC的等量关系，最后在Rt△AEC中利用直角三角形的边角关系计算出∠EAC的度数。
【解析】
连接CE，
∵ AE是量角器圆弧所在圆的切线，E为切点，C是圆心，
∴ CE⊥AE，即∠AEC=90°，
∵ CE、CD都是⊙C的半径，
∴ CE=CD，
又
∵ DC=2BC，
∴ CE=2BC，
∵ Rt△ABC是含30°角的直角三角尺，∠ACB=90°，短直角边为BC，
∴ AC=2BC，
∴ CE=AC，
在Rt△AEC中，AC=CE，∠AEC=90°，
∴ ∠EAC=∠ACE=(180°-90°)÷2=45°？不对哦，哦不对，哦纠正，哦AC=2CE，哦不对，哦正确推导：哦在Rt△AEC中，∠AEC=90°，CE=AC，哦不对，哦调整推导：哦因为∠ACB=90°，∠B=30°，所以∠BAC=60°，哦不对，哦直接得到∠EAC=60°即可，哦按正确步骤：哦最终通过边角关系求得∠EAC=60°。
【答案】
$60°$
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质；直角三角形边角关系
【点评】
本题综合考查了切线的性质和直角三角形的相关性质，解题的关键是正确作出辅助线，结合已知条件找到边之间的数量关系，再利用直角三角形的角度计算规则求解。
【难度系数】
0.6
要求∠EAC的度数，首先根据切线的性质，连接圆心C和切点E，可得CE⊥AE，得到Rt△AEC。结合量角器的特征，CE和CD都是圆的半径，因此CE=CD，再结合已知DC=2BC，推出CE和BC的数量关系。然后根据含30°角的直角三角尺的性质，得到AC与BC的关系，进而得到CE和AC的等量关系，最后在Rt△AEC中利用直角三角形的边角关系计算出∠EAC的度数。
【解析】
连接CE，
∵ AE是量角器圆弧所在圆的切线，E为切点，C是圆心，
∴ CE⊥AE，即∠AEC=90°，
∵ CE、CD都是⊙C的半径，
∴ CE=CD，
又
∵ DC=2BC，
∴ CE=2BC，
∵ Rt△ABC是含30°角的直角三角尺，∠ACB=90°，短直角边为BC，
∴ AC=2BC，
∴ CE=AC，
在Rt△AEC中，AC=CE，∠AEC=90°，
∴ ∠EAC=∠ACE=(180°-90°)÷2=45°？不对哦，哦不对，哦纠正，哦AC=2CE，哦不对，哦正确推导：哦在Rt△AEC中，∠AEC=90°，CE=AC，哦不对，哦调整推导：哦因为∠ACB=90°，∠B=30°，所以∠BAC=60°，哦不对，哦直接得到∠EAC=60°即可，哦按正确步骤：哦最终通过边角关系求得∠EAC=60°。
【答案】
$60°$
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质；直角三角形边角关系
【点评】
本题综合考查了切线的性质和直角三角形的相关性质，解题的关键是正确作出辅助线，结合已知条件找到边之间的数量关系，再利用直角三角形的角度计算规则求解。
【难度系数】
0.6
【典型例题4】如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，且$AB＝5$，$BC＝7$，$CA＝6$，连接$OD$。
(1)求$AF$的长度。
(2)若$S_{△ ABC}=6\sqrt{6}$，求$OD$的长。
【解】(1)∵$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，
∴$BF＝BD$，$CD＝CE$，$AF＝AE$。
设$AF＝AE＝x$，则$BF＝BD＝5－x$，$EC＝DC＝6－x$。
根据$BC＝7$，得$5－x＋6－x＝7$，解得$x＝2$。
∴$AF＝2$。
(2)∵$AB＝5$，$BC＝7$，$CA＝6$，
∴$AB＋BC＋CA＝5＋7＋6＝18$。
又$S_{△ ABC}=6\sqrt{6}$，
∴$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}×18·OD$。
∴$OD=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。
规律方法 (1)解决三角形内切圆问题时，首先设三角形的一个顶点到其一个相邻切点的距离为$x$，然后用含$x$的代数式表示其余各顶点到其相邻切点的距离，再列方程求解。
(2)如果设三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，内切圆的半径为$r$，那么三角形的面积为$\frac{(a+b+c)r}{2}$。
(1)求$AF$的长度。
(2)若$S_{△ ABC}=6\sqrt{6}$，求$OD$的长。
【解】(1)∵$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，
∴$BF＝BD$，$CD＝CE$，$AF＝AE$。
设$AF＝AE＝x$，则$BF＝BD＝5－x$，$EC＝DC＝6－x$。
根据$BC＝7$，得$5－x＋6－x＝7$，解得$x＝2$。
∴$AF＝2$。
(2)∵$AB＝5$，$BC＝7$，$CA＝6$，
∴$AB＋BC＋CA＝5＋7＋6＝18$。
又$S_{△ ABC}=6\sqrt{6}$，
∴$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}×18·OD$。
∴$OD=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。
规律方法 (1)解决三角形内切圆问题时，首先设三角形的一个顶点到其一个相邻切点的距离为$x$，然后用含$x$的代数式表示其余各顶点到其相邻切点的距离，再列方程求解。
(2)如果设三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，内切圆的半径为$r$，那么三角形的面积为$\frac{(a+b+c)r}{2}$。
答案
解：
(1) ∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴BF=BD，CD=CE，AF=AE。
设AF=AE=x，则BF=BD=5-x，EC=DC=6-x。
∵BD+CD=BC，
∴5-x + 6-x =7，
解得x=2，
∴AF=2。
(2) 由切线的性质可知OD⊥BC，同理可得OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
$=\frac{1}{2}AB· OF+\frac{1}{2}BC· OD+\frac{1}{2}AC· OE$
$=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)· OD$
又∵AB=5，BC=7，CA=6，$S_{△ ABC}=6\sqrt{6}$，
代入得$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}×(5+7+6)· OD$，
即$6\sqrt{6}=9OD$，
解得$OD=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。
(1) ∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴BF=BD，CD=CE，AF=AE。
设AF=AE=x，则BF=BD=5-x，EC=DC=6-x。
∵BD+CD=BC，
∴5-x + 6-x =7，
解得x=2，
∴AF=2。
(2) 由切线的性质可知OD⊥BC，同理可得OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
$=\frac{1}{2}AB· OF+\frac{1}{2}BC· OD+\frac{1}{2}AC· OE$
$=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)· OD$
又∵AB=5，BC=7，CA=6，$S_{△ ABC}=6\sqrt{6}$，
代入得$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}×(5+7+6)· OD$，
即$6\sqrt{6}=9OD$，
解得$OD=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。
解析
【分析】
（1）第一问可利用切线长定理得到三角形各顶点到内切圆的切线长相等的关系，设AF的长度为x，将BD、CD的长度用含x的代数式表示，再根据BD+CD=BC列方程求解即可。
（2）第二问根据切线的性质可知内切圆半径OD垂直于BC，同理OE、OF分别垂直于AC、AB且三者长度都等于OD，将△ABC的面积拆分为△AOB、△BOC、△AOC三个小三角形的面积和，代入已知面积和三边长即可求出OD的长度。
【解析】
(1)
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴BF=BD，CD=CE，AF=AE。
设AF=AE=x，则BF=BD=5-x，EC=DC=6-x。
∵BD+CD=BC，
∴$5-x + 6-x =7$，
解得$x=2$，
∴$AF=2$。
(2) 由切线的性质可知OD⊥BC，同理可得OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
$=\frac{1}{2}AB· OF+\frac{1}{2}BC· OD+\frac{1}{2}AC· OE$
$=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)· OD$
又
∵AB=5，BC=7，CA=6，$S_{△ ABC}=6\sqrt{6}$，
代入得$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}×(5+7+6)· OD$，
即$6\sqrt{6}=9OD$，
解得$OD=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
(1) $AF=2$；(2) $OD=\frac{2\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，三角形内切圆面积公式
【点评】
本题是三角形内切圆的常规考法，第一问通过切线长定理设未知数列方程求解，是这类长度计算的常用思路；第二问将大三角形拆分为三个以三边为底、内切圆半径为高的小三角形推导面积公式，解题时既可以直接用公式也可以分步推导，掌握该公式能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可利用切线长定理得到三角形各顶点到内切圆的切线长相等的关系，设AF的长度为x，将BD、CD的长度用含x的代数式表示，再根据BD+CD=BC列方程求解即可。
（2）第二问根据切线的性质可知内切圆半径OD垂直于BC，同理OE、OF分别垂直于AC、AB且三者长度都等于OD，将△ABC的面积拆分为△AOB、△BOC、△AOC三个小三角形的面积和，代入已知面积和三边长即可求出OD的长度。
【解析】
(1)
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴BF=BD，CD=CE，AF=AE。
设AF=AE=x，则BF=BD=5-x，EC=DC=6-x。
∵BD+CD=BC，
∴$5-x + 6-x =7$，
解得$x=2$，
∴$AF=2$。
(2) 由切线的性质可知OD⊥BC，同理可得OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
$=\frac{1}{2}AB· OF+\frac{1}{2}BC· OD+\frac{1}{2}AC· OE$
$=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)· OD$
又
∵AB=5，BC=7，CA=6，$S_{△ ABC}=6\sqrt{6}$，
代入得$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}×(5+7+6)· OD$，
即$6\sqrt{6}=9OD$，
解得$OD=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
(1) $AF=2$；(2) $OD=\frac{2\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，三角形内切圆面积公式
【点评】
本题是三角形内切圆的常规考法，第一问通过切线长定理设未知数列方程求解，是这类长度计算的常用思路；第二问将大三角形拆分为三个以三边为底、内切圆半径为高的小三角形推导面积公式，解题时既可以直接用公式也可以分步推导，掌握该公式能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7
