7.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P₁与P关于OB对称,P₂与P关于OA对称,则P₁,O,P₂三点所构成的三角形是()

A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形

7. D 【解析】如图,根据轴对称的性质可知,OP₁=OP₂=OP.
∵ ∠AOB=30°,
∴ ∠P₁OP₂=60°,
∴ △P₁OP₂是等边三角形.故选 D.

8. 实践素材折纸 将一张正方形纸片按如图步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是()

8. A

9.(期中·河西区)如图,等边三角形ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE的度数是()

A.45°
B.55°
C.60°
D.70°

9. C 【解析】
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠ABD=∠C,AB=BC.在△ABD和△BCE中,$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABD=∠C, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△BCE(SAS),
∴ ∠BAD=∠CBE.
∵ ∠ABE+∠EBC=60°,
∴ ∠ABE+∠BAD=60°,
∴ ∠APE=∠ABE+∠BAD=60°,
∴ ∠APE=60°.故选 C.

10.(期中·天津南开翔宇学校)如图,在$△ ABC$中,根据尺规作图痕迹,下列说法不一定正确的是()

A.$AF=BF$
B.$AE=\frac{1}{2}AC$
C.$∠ DBF+∠ DFB=90°$
D.$∠ BAF=∠ EBC$

10. B 【解析】由题图中尺规作图痕迹可知,BE为∠ABC的平分线,DF为线段AB的垂直平分线.由垂直平分线的性质可得AF=BF,故A选项正确,不符合题意.
∵ DF为线段AB的垂直平分线,
∴ ∠BDF=90°,
∴ ∠DBF+∠DFB=90°,故C选项正确,不符合题意.
∵ BE为∠ABC的平分线,
∴ ∠ABF=∠EBC.
∵ AF=BF,
∴ ∠BAF=∠ABF,
∴ ∠BAF=∠EBC,故D选项正确,不符合题意.根据已知条件不能得出$AE=\frac{1}{2}AC$,故B选项符合题意.故选 B.

11.(期末·河北区)如图所示,已知$∠ AOB=60°$,点$P$在边$OA$上,$OP=8$,点$M,N$在边$OB$上,$PM=PN$,若$MN=1$,则$OM$的长为()

A.3
B.3.5
C.4
D.4.5

11. B 【解析】如图,过点P作PD⊥OB于点D.
∵ ∠AOB=60°,PD⊥OB,OP=8,
∴ ∠OPD=30°,
∴ DO=$\frac{1}{2}$OP=4.
∵ PM=PN,MN=1,PD⊥OB,
∴ MD=ND=0.5,
∴ OM=DO−MD=4−0.5=3.5.故选 B.

12.(期末·南开区)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,OC.现有以下4个结论:①$AD=BE$;②$PQ// AE$;③$AP=BQ$;④$OC$平分$∠ AOE$.这些结论中一定成立的有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

12. D 【解析】
∵ △ABC和△CDE为等边三角形,
∴ AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴ ∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴ △ACD≌△BCE(SAS),
∴ AD=BE,
∴ ①正确.
∵ △ACD≌△BCE,
∴ ∠CAD=∠CBE.又
∵ ∠ACB=∠DCE=60°,
∴ ∠BCD=60°,即∠ACP=∠BCQ.又
∵ AC=BC,
∴ △CPA≌△CQB(ASA),
∴ CP=CQ.又
∵ ∠PCQ=60°,
∴ △PCQ为等边三角形,
∴ ∠PQC=∠DCE=60°,
∴ PQ//AE,
∴ ②正确.
∵ △CPA≌△CQB,
∴ AP=BQ,
∴ ③正确.如图所示,过点C作CG⊥AO于点G,CH⊥OE于点H.在△CGA和△CHB中,$\begin{cases} ∠CGA=∠CHB, \\ ∠CAG=∠CBH, \\ CA=CB, \end{cases}$
∴ △CGA≌△CHB(AAS),
∴ CG=CH.又
∵ CG⊥AO,CH⊥EO,
∴ OC平分∠AOE(角平分线的判定定理),故④正确.故正确的结论有4个.故选 D.