【典型例题 2】在$△ ABC$中,有下列条件: ①$∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 2 : 3$; ②$∠ A=∠ B=2∠ C$;③$∠ A+∠ B=∠ C$; ④$∠ A = \frac{1}{2}∠ B = \frac{1}{3}∠ C$. 其中,能确定$△ ABC$为直角三角形的条件个数是（）

A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】①根据这个三角形的三个内角的度数之比可知较小两角之和为$90°$,可判断$△ ABC$是直角三角形;②由题意可得$∠ A=∠ B=72°,∠ C=36°,△ ABC$不是直角三角形;③$∠ A$与$∠ B$互余,$∠ C$为$90°,△ ABC$是直角三角形;④由条件得$∠ C=3∠ A$,$∠ B=2∠ A$,从而$6∠ A=180°$,则$∠ C=3∠ A=90°,△ ABC$是一个直角三角形.
【答案】B

B

①由∠A:∠B:∠C=1:2:3，结合三角形内角和为180°，可得∠C=90°，△ABC是直角三角形；②由∠A=∠B=2∠C，结合内角和得∠A+∠B+∠C=5∠C=180°，解得∠C=36°，∠A=∠B=72°，△ABC不是直角三角形；③由∠A+∠B=∠C，结合内角和得2∠C=180°，解得∠C=90°，△ABC是直角三角形；④由∠A=1/2∠B=1/3∠C，可得∠B=2∠A，∠C=3∠A，结合内角和得6∠A=180°，解得∠A=30°，∠C=90°，△ABC是直角三角形。综上，能确定△ABC为直角三角形的条件共3个。

2. 如图，$CD// AB$，$∠ A=35°$，$∠ DCB=55°$，则$△ ABC$的形状为 （）


A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形

2. C 【解析】因为CD//AB，所以∠B=∠DCB=55°，所以∠A+∠B=35°+55°=90°，所以△ABC的形状为直角三角形.

1.设直角三角形中一个锐角度数为$x°(0＜x＜90)$，另一个锐角度数为$y°(0＜y＜90)$，则$y$与$x$的关系式为（）

A.$y=180+x$
B.$y=180-x$
C.$y=90+x$
D.$y=90-x$

1. D 【解析】由直角三角形的性质可得x+y=90，故y=90−x.

2. Cobb角是一个测量脊柱弯曲角度的方法,其测量结果常用来评估脊柱侧弯的严重程度.某人体检时脊柱的检测示意图如图所示,为方便测出Cobb角(∠O)的大小,需将∠O转化为与它相等的角,则图
中与∠O相等的角是 ()

A.∠BEA
B.∠DEB
C.∠ECA
D.∠ADO

(第2题图)
(第3题图)

2. B 【解析】由题图可知，△DOA和△DBE都是直角三角形，所以∠O+∠ADO=90°，∠DEB+∠ADO=90°，故∠DEB=∠O.

3.如图,已知∠AOD=30°,点C是射线OD上的一个动点,点C在运动过程中,当∠A=时,△AOC是直角三角形.

3. 60°或90° 【解析】当∠A为90°时△AOC是直角三角形；当∠ACO为90°时，△AOC也是直角三角形，此时∠A=90°−30°=60°.