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7.如图所示的是一个无盖长方体形盒子的表面展开图(单位:cm),则盒子的容积为
(第7题)
6 cm³
。(盒子的厚度不计) (第7题)答案
7. 6 cm³
解析
【分析】
要求无盖长方体盒子的容积，首先需要确定盒子的长、宽、高，再代入容积公式（厚度不计时容积=长×宽×高）计算。首先观察展开图的标注：标注为1的边是长方体的高；竖直方向总长度3是高与宽的和，可据此求出宽；水平方向总长度5是长与宽的和，可据此求出长，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：由展开图可知，长方体盒子的高$ h=1\ \mathrm{cm} $。
长方体的宽为：$ 3 - h = 3 - 1 = 2\ \mathrm{cm} $
长方体的长为：$ 5 - 2 = 3\ \mathrm{cm} $
因为盒子厚度不计，所以容积$ V = 长×宽×高 = 3×2×1 = 6\ \mathrm{cm}^3 $
【答案】
$ 6\ \mathrm{cm}^3 $
【知识点】
长方体展开图特征；长方体容积计算
【点评】
本题的核心是从展开图中梳理出长方体长宽高和已知线段的对应关系，属于基础应用型题目，解题时注意不要混淆各边的数量关系即可。
【难度系数】
0.7
要求无盖长方体盒子的容积，首先需要确定盒子的长、宽、高，再代入容积公式（厚度不计时容积=长×宽×高）计算。首先观察展开图的标注：标注为1的边是长方体的高；竖直方向总长度3是高与宽的和，可据此求出宽；水平方向总长度5是长与宽的和，可据此求出长，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：由展开图可知，长方体盒子的高$ h=1\ \mathrm{cm} $。
长方体的宽为：$ 3 - h = 3 - 1 = 2\ \mathrm{cm} $
长方体的长为：$ 5 - 2 = 3\ \mathrm{cm} $
因为盒子厚度不计，所以容积$ V = 长×宽×高 = 3×2×1 = 6\ \mathrm{cm}^3 $
【答案】
$ 6\ \mathrm{cm}^3 $
【知识点】
长方体展开图特征；长方体容积计算
【点评】
本题的核心是从展开图中梳理出长方体长宽高和已知线段的对应关系，属于基础应用型题目，解题时注意不要混淆各边的数量关系即可。
【难度系数】
0.7
8.一个画家有 14 个棱长为 1 cm 的小立方块，他在桌面上将它们摆成如图所示的几何体，然后他把露出的表面都涂上颜色，求被涂上颜色的总面积。
答案
解:露出的侧面是(1+2+3)×4=24(个)；
从上面看露出的面是9个。
被涂上颜色的总面积:(24+9)×1×1=33(cm²)。
从上面看露出的面是9个。
被涂上颜色的总面积:(24+9)×1×1=33(cm²)。
解析
【分析】
计算涂色总面积时，我们可以把露出的表面拆分为侧面和顶面两部分分别计算：①侧面部分：几何体共3层，每层4个方向，每层每个方向露出的正方形面数和该层的序号一致（最上层为第1层，每边1个面，第2层每边2个面，最底层每边3个面），把各层侧面的面数相加即可得到侧面总面数；②顶面部分：从上方观察几何体，上层挡住的下层顶面面积刚好和上层顶面面积抵消，因此露出的顶面总面积就等于最底层的顶面面积，不用分层计算。最后把两部分面数之和乘单个小正方形的面积，就能得到最终的涂色总面积。
【解析】
解：首先计算露出的侧面总面数：
每层每个方向露出的面数分别为1、2、3，共有4个方向，因此侧面总面数为$(1+2+3)× 4=24$（个）
再计算露出的顶面总面数：
从上方观察，露出的顶面总面数等于最底层顶面的小正方形数量，即$3× 3=9$（个）
单个小正方形面的面积为$1× 1=1(\mathrm{c}\mathrm{m}{}^{2})$
因此被涂上颜色的总面积为$(24+9)× 1=33(\mathrm{c}\mathrm{m}{}^{2})$
【答案】
$\boxed{33\mathrm{c}\mathrm{m}{}^{2}}$
【知识点】
组合体表面积计算，三视图应用，分层计数
【点评】
本题考查组合体露出部分表面积的计算，解题核心是对几何体表面进行合理拆分，用分层计算侧面、俯视图思路计算顶面的方法，可有效避免漏算或重复计算，简化求解过程。
【难度系数】
0.7
计算涂色总面积时，我们可以把露出的表面拆分为侧面和顶面两部分分别计算：①侧面部分：几何体共3层，每层4个方向，每层每个方向露出的正方形面数和该层的序号一致（最上层为第1层，每边1个面，第2层每边2个面，最底层每边3个面），把各层侧面的面数相加即可得到侧面总面数；②顶面部分：从上方观察几何体，上层挡住的下层顶面面积刚好和上层顶面面积抵消，因此露出的顶面总面积就等于最底层的顶面面积，不用分层计算。最后把两部分面数之和乘单个小正方形的面积，就能得到最终的涂色总面积。
【解析】
解：首先计算露出的侧面总面数：
每层每个方向露出的面数分别为1、2、3，共有4个方向，因此侧面总面数为$(1+2+3)× 4=24$（个）
再计算露出的顶面总面数：
从上方观察，露出的顶面总面数等于最底层顶面的小正方形数量，即$3× 3=9$（个）
单个小正方形面的面积为$1× 1=1(\mathrm{c}\mathrm{m}{}^{2})$
因此被涂上颜色的总面积为$(24+9)× 1=33(\mathrm{c}\mathrm{m}{}^{2})$
【答案】
$\boxed{33\mathrm{c}\mathrm{m}{}^{2}}$
【知识点】
组合体表面积计算，三视图应用，分层计数
【点评】
本题考查组合体露出部分表面积的计算，解题核心是对几何体表面进行合理拆分，用分层计算侧面、俯视图思路计算顶面的方法，可有效避免漏算或重复计算，简化求解过程。
【难度系数】
0.7
9.如图所示的是一个正方体,棱长是5 cm,如果在它左上方截去一个长、宽、高分别是5 cm,3 cm,2 cm 的长方体,求剩下几何体的表面积。
答案
解:剩下几何体的表面积为6×5×5-2×3×2=138(cm²)。
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步先计算原棱长为5cm的正方体的总表面积，用到正方体表面积公式。第二步分析截去长方体后的表面积变化：观察图形可知，截去指定长方体后，仅原正方体的前面和上面各减少1个长3cm、宽2cm的长方形面，其余面的面积没有变化（截出的新面刚好抵消了其余部分的面积损失），因此用原正方体表面积减去这2个长方形的面积，就能得到剩下几何体的表面积。
【解析】
解：先计算原正方体的表面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{原正方体}}&=6×\mathrm{棱长}×\mathrm{棱长}\\&=6×5×5\\&=150\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
再计算截去长方体后减少的表面积：
减少的是2个长3cm、宽2cm的长方形，面积为：
$2×3×2=12\ (\mathrm{cm}^2)$
剩下几何体的表面积为：
$150-12=138\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\boxed{138\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
正方体表面积计算；立体图形切截；表面积变化分析
【点评】
本题的易错点是容易误以为切截后要减去被截去的长方体的所有面的面积，解题时要结合图形实际观察，准确判断表面积增减的部分，就能轻松得出正确结果。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步先计算原棱长为5cm的正方体的总表面积，用到正方体表面积公式。第二步分析截去长方体后的表面积变化：观察图形可知，截去指定长方体后，仅原正方体的前面和上面各减少1个长3cm、宽2cm的长方形面，其余面的面积没有变化（截出的新面刚好抵消了其余部分的面积损失），因此用原正方体表面积减去这2个长方形的面积，就能得到剩下几何体的表面积。
【解析】
解：先计算原正方体的表面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{原正方体}}&=6×\mathrm{棱长}×\mathrm{棱长}\\&=6×5×5\\&=150\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
再计算截去长方体后减少的表面积：
减少的是2个长3cm、宽2cm的长方形，面积为：
$2×3×2=12\ (\mathrm{cm}^2)$
剩下几何体的表面积为：
$150-12=138\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\boxed{138\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
正方体表面积计算；立体图形切截；表面积变化分析
【点评】
本题的易错点是容易误以为切截后要减去被截去的长方体的所有面的面积，解题时要结合图形实际观察，准确判断表面积增减的部分，就能轻松得出正确结果。
【难度系数】
0.7
