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1. 会建立恰当的平面直角坐标系，应用二次函数来解决拱桥等其他实际问题。
2. 经历建模解题过程，体会数学建模思想，发展模型观念。
自主导学
利用二次函数解抛物线形实际问题，要建立适当的
典例分享
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1. 会建立恰当的平面直角坐标系，应用二次函数来解决拱桥等其他实际问题。
2. 经历建模解题过程，体会数学建模思想，发展模型观念。
自主导学
利用二次函数解抛物线形实际问题，要建立适当的
平面直角坐标系
，然后根据待定系数法求出抛物线的解析式，再去解决相关问题。典例分享
答案
平面直角坐标系
解析
【分析】
本题考查二次函数解决抛物线类实际问题的基础步骤。二次函数的图像是抛物线，要将实际场景中的抛物线形物体（如拱桥、抛物轨迹等）转化为可量化研究的函数问题，首先需要把实际的位置、长度对应到坐标体系中，这样才能将实际点位转化为坐标值，后续才能用待定系数法求函数解析式、解决相关问题，由此可推出横线需填写的内容。
【解析】
利用二次函数求解抛物线形实际问题的核心是将实际问题转化为二次函数的代数问题，转化的前提就是建立适当的平面直角坐标系，将实际问题中的位置、距离等信息对应为坐标系内点的坐标，之后才能使用待定系数法求出抛物线对应的二次函数解析式，进而求解相关问题，因此横线处应填写平面直角坐标系。
【答案】
平面直角坐标系
【知识点】
二次函数实际应用；平面直角坐标系建立；数学建模思想
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察二次函数解决实际问题的基本流程，熟练掌握建模的基础步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数解决抛物线类实际问题的基础步骤。二次函数的图像是抛物线，要将实际场景中的抛物线形物体（如拱桥、抛物轨迹等）转化为可量化研究的函数问题，首先需要把实际的位置、长度对应到坐标体系中，这样才能将实际点位转化为坐标值，后续才能用待定系数法求函数解析式、解决相关问题，由此可推出横线需填写的内容。
【解析】
利用二次函数求解抛物线形实际问题的核心是将实际问题转化为二次函数的代数问题，转化的前提就是建立适当的平面直角坐标系，将实际问题中的位置、距离等信息对应为坐标系内点的坐标，之后才能使用待定系数法求出抛物线对应的二次函数解析式，进而求解相关问题，因此横线处应填写平面直角坐标系。
【答案】
平面直角坐标系
【知识点】
二次函数实际应用；平面直角坐标系建立；数学建模思想
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察二次函数解决实际问题的基本流程，熟练掌握建模的基础步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例 赛龙舟是我国端午节的习俗.在某地筹备的龙舟比赛路线上有一座拱桥,图26.4-8是该桥截面示意图,其形状可看作抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系,桥拱竖直高度$y$(单位:m)与到点$O$的水平距离$x$(单位:m)近似满足二次函数关系.已知水面跨度$OA=60\ \mathrm{m}$,桥拱最高点距水面$9\ \mathrm{m}$.
图26.4-8
(1)求桥拱所在抛物线的函数解析式.
(2)龙舟顶端距离水面$2\ \mathrm{m}$,通行时顶端与桥拱的竖直距离至少$3\ \mathrm{m}$,每条赛道宽$9\ \mathrm{m}$,求最多可设几条赛道.
解 由题意可知,抛物线的顶点坐标为$(30,9)$,
设抛物线的函数解析式为$y=a(x-30)^2+9$($a$为常数,且$a≠0$),
将点$(0,0)$的坐标代入得$a×(0-30)^2+9=0$,
解得$a=-0.01$,
∴抛物线的函数解析式为$y=-0.01(x-30)^2+9$.
(2)由(1)知,抛物线的函数解析式为$y=-0.01(x-30)^2+9$,
当$y=5$时,$-0.01(x-30)^2+9=5$,
解得$x_1=10,x_2=50$,
∴可设计赛道的宽度为$50-10=40(\mathrm{m})$.
∵$\frac{40}{9}=4\frac{4}{9}$,
∴最多可设4条赛道.
方法感悟 在拱桥问题中,要先根据具体情况建立平面直角坐标系,并将实际问题转化为数学问题再进行求解,注意当可以代入横坐标或者纵坐标时,代入横坐标更便于求解.
图26.4-8
(1)求桥拱所在抛物线的函数解析式.
(2)龙舟顶端距离水面$2\ \mathrm{m}$,通行时顶端与桥拱的竖直距离至少$3\ \mathrm{m}$,每条赛道宽$9\ \mathrm{m}$,求最多可设几条赛道.
解 由题意可知,抛物线的顶点坐标为$(30,9)$,
设抛物线的函数解析式为$y=a(x-30)^2+9$($a$为常数,且$a≠0$),
将点$(0,0)$的坐标代入得$a×(0-30)^2+9=0$,
解得$a=-0.01$,
∴抛物线的函数解析式为$y=-0.01(x-30)^2+9$.
(2)由(1)知,抛物线的函数解析式为$y=-0.01(x-30)^2+9$,
当$y=5$时,$-0.01(x-30)^2+9=5$,
解得$x_1=10,x_2=50$,
∴可设计赛道的宽度为$50-10=40(\mathrm{m})$.
∵$\frac{40}{9}=4\frac{4}{9}$,
∴最多可设4条赛道.
方法感悟 在拱桥问题中,要先根据具体情况建立平面直角坐标系,并将实际问题转化为数学问题再进行求解,注意当可以代入横坐标或者纵坐标时,代入横坐标更便于求解.
答案
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式时，先根据题意确定抛物线的顶点坐标：水面跨度OA为60m，桥拱最高点距水面9m，因此顶点坐标为(30,9)，优先选择顶点式设函数解析式，再代入已知点O(0,0)即可求出未知系数，得到解析式。
(2) 先根据通行规则计算桥拱对应位置的最低高度：龙舟顶端距水面2m，需留至少3m的竖直安全距离，因此对应函数值y为2+3=5m。将y=5代入第一问的解析式，解一元二次方程得到两个对应的x值，两值的差就是可设置赛道的总宽度，再用总宽度除以单条赛道宽度，结果向下取整（符合实际赛道为整数的要求）即可得到最多赛道数。
【解析】
(1) 由题意得抛物线顶点坐标为$(30,9)$，设抛物线解析式为$y=a(x-30)^2+9$（$a≠0$）。
将点$O(0,0)$代入解析式得：
$a×(0-30)^2+9=0$
$900a+9=0$
解得$a=-0.01$
因此桥拱所在抛物线的函数解析式为$y=-0.01(x-30)^2+9$。
(2) 根据通行要求，桥拱对应位置的高度至少为$2+3=5\ \mathrm{m}$，令$y=5$，代入解析式：
$-0.01(x-30)^2+9=5$
整理得$(x-30)^2=400$
解得$x_1=10$，$x_2=50$
可设置赛道的总水平宽度为$50-10=40\ \mathrm{m}$
单条赛道宽9m，因此赛道数量为$40÷9=4\frac{4}{9}$，赛道数为正整数，故最多可设4条赛道。
【答案】
(1) $y=-0.01(x-30)^2+9$（或$y=-0.01x^2+0.6x$）
(2) 最多可设4条赛道
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用；一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数应用的典型题型，解题核心是将实际问题中的几何特征、规则要求转化为二次函数的坐标、函数值对应关系，最终结果需要结合实际场景取值，不能盲目对计算结果四舍五入。
【难度系数】
0.7
(1) 求解抛物线解析式时，先根据题意确定抛物线的顶点坐标：水面跨度OA为60m，桥拱最高点距水面9m，因此顶点坐标为(30,9)，优先选择顶点式设函数解析式，再代入已知点O(0,0)即可求出未知系数，得到解析式。
(2) 先根据通行规则计算桥拱对应位置的最低高度：龙舟顶端距水面2m，需留至少3m的竖直安全距离，因此对应函数值y为2+3=5m。将y=5代入第一问的解析式，解一元二次方程得到两个对应的x值，两值的差就是可设置赛道的总宽度，再用总宽度除以单条赛道宽度，结果向下取整（符合实际赛道为整数的要求）即可得到最多赛道数。
【解析】
(1) 由题意得抛物线顶点坐标为$(30,9)$，设抛物线解析式为$y=a(x-30)^2+9$（$a≠0$）。
将点$O(0,0)$代入解析式得：
$a×(0-30)^2+9=0$
$900a+9=0$
解得$a=-0.01$
因此桥拱所在抛物线的函数解析式为$y=-0.01(x-30)^2+9$。
(2) 根据通行要求，桥拱对应位置的高度至少为$2+3=5\ \mathrm{m}$，令$y=5$，代入解析式：
$-0.01(x-30)^2+9=5$
整理得$(x-30)^2=400$
解得$x_1=10$，$x_2=50$
可设置赛道的总水平宽度为$50-10=40\ \mathrm{m}$
单条赛道宽9m，因此赛道数量为$40÷9=4\frac{4}{9}$，赛道数为正整数，故最多可设4条赛道。
【答案】
(1) $y=-0.01(x-30)^2+9$（或$y=-0.01x^2+0.6x$）
(2) 最多可设4条赛道
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用；一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数应用的典型题型，解题核心是将实际问题中的几何特征、规则要求转化为二次函数的坐标、函数值对应关系，最终结果需要结合实际场景取值，不能盲目对计算结果四舍五入。
【难度系数】
0.7
1. 某桥拱是近似的抛物线形，若建立如图26.4-9所示的平面直角坐标系，其函数的解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2$，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，水面宽度AB为(
图26.4-9
A.$-20$ m
B.10 m
C.20 m
D.$-10$ m
C
).图26.4-9
A.$-20$ m
B.10 m
C.20 m
D.$-10$ m
答案
1. C
解析
【分析】
首先明确桥拱对应的抛物线解析式已知，拱顶为坐标原点。已知水面离桥拱顶的高度DO为4m，说明水面上的点都在x轴下方，对应纵坐标为-4，接下来只需将y=-4代入抛物线解析式，求出对应的两个x值，两个x值的差的绝对值就是水面宽度AB，同时注意实际问题中宽度为正数，可直接排除负数值的选项。
【解析】
解：由题意可知，当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面上所有点的纵坐标为$y=-4$。
将$y=-4$代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{25}x^2$，得：
$-4=-\frac{1}{25}x^2$
等式两边同时乘$-25$，得：$x^2=100$
解得：$x_1=10$，$x_2=-10$
即水面左端点A坐标为$(-10,-4)$，右端点B坐标为$(10,-4)$
因此水面宽度$AB=10-(-10)=20\ \mathrm{m}$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数在实际拱桥场景的应用，解题核心是根据实际高度对应得到点的纵坐标，代入解析式求解横坐标后计算水平距离，求解后要结合实际意义，保证长度结果为正值。
【难度系数】
0.8
首先明确桥拱对应的抛物线解析式已知，拱顶为坐标原点。已知水面离桥拱顶的高度DO为4m，说明水面上的点都在x轴下方，对应纵坐标为-4，接下来只需将y=-4代入抛物线解析式，求出对应的两个x值，两个x值的差的绝对值就是水面宽度AB，同时注意实际问题中宽度为正数，可直接排除负数值的选项。
【解析】
解：由题意可知，当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面上所有点的纵坐标为$y=-4$。
将$y=-4$代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{25}x^2$，得：
$-4=-\frac{1}{25}x^2$
等式两边同时乘$-25$，得：$x^2=100$
解得：$x_1=10$，$x_2=-10$
即水面左端点A坐标为$(-10,-4)$，右端点B坐标为$(10,-4)$
因此水面宽度$AB=10-(-10)=20\ \mathrm{m}$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数在实际拱桥场景的应用，解题核心是根据实际高度对应得到点的纵坐标，代入解析式求解横坐标后计算水平距离，求解后要结合实际意义，保证长度结果为正值。
【难度系数】
0.8
2. 某大门是一抛物线形建筑，大门的地面宽8 m，在两侧距地面3.5 m高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6 m。若按图26.4-10所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是()。(建筑物厚度忽略不计)
A.$y=-\frac{1}{2}x^2 +8$
B.$y=-\frac{1}{2}x^2 +7$
C.$y=\frac{1}{2}x^2 +8$
D.$y=\frac{1}{2}x^2 +7$
A.$y=-\frac{1}{2}x^2 +8$
B.$y=-\frac{1}{2}x^2 +7$
C.$y=\frac{1}{2}x^2 +8$
D.$y=\frac{1}{2}x^2 +7$
答案
解析
【分析】
首先观察坐标系特点，抛物线对称轴为y轴，顶点在y轴正半轴，因此选择设顶点式的简化形式$y=ax^2+c(a≠0)$来求解，可减少计算量。其次从题干和图中提取两个关键坐标信息：1. 大门地面宽8m，对称轴为y轴，因此抛物线与x轴正半轴交点为$(4,0)$；2. 铁环距地面3.5m，两铁环水平距离6m，因此抛物线上对应点为$(3,3.5)$。最后将两个点代入所设解析式，通过解方程组求出a和c的值即可，也可先根据抛物线开口向下，排除a为正数的选项C、D，再代入验证提高解题速度。
【解析】
解：
∵抛物线的对称轴是y轴，
∴设抛物线的解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。
由题意可知，抛物线过点$(4,0)$和$(3,3.5)$，将两点代入解析式得方程组：
$\begin{cases}16a + c = 0 \\9a + c = 3.5\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去c，得：
$7a = -3.5$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
将$a=-\frac{1}{2}$代入$16a + c = 0$，得：
$16×(-\frac{1}{2}) + c = 0$，解得$c=8$。
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2 +8$。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图像性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是结合坐标系的特征选择最简的解析式形式，准确提取题干和图像中的坐标信息代入计算即可，也可结合排除法快速得到答案。
【难度系数】
0.7
首先观察坐标系特点，抛物线对称轴为y轴，顶点在y轴正半轴，因此选择设顶点式的简化形式$y=ax^2+c(a≠0)$来求解，可减少计算量。其次从题干和图中提取两个关键坐标信息：1. 大门地面宽8m，对称轴为y轴，因此抛物线与x轴正半轴交点为$(4,0)$；2. 铁环距地面3.5m，两铁环水平距离6m，因此抛物线上对应点为$(3,3.5)$。最后将两个点代入所设解析式，通过解方程组求出a和c的值即可，也可先根据抛物线开口向下，排除a为正数的选项C、D，再代入验证提高解题速度。
【解析】
解：
∵抛物线的对称轴是y轴，
∴设抛物线的解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。
由题意可知，抛物线过点$(4,0)$和$(3,3.5)$，将两点代入解析式得方程组：
$\begin{cases}16a + c = 0 \\9a + c = 3.5\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去c，得：
$7a = -3.5$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
将$a=-\frac{1}{2}$代入$16a + c = 0$，得：
$16×(-\frac{1}{2}) + c = 0$，解得$c=8$。
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2 +8$。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图像性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是结合坐标系的特征选择最简的解析式形式，准确提取题干和图像中的坐标信息代入计算即可，也可结合排除法快速得到答案。
【难度系数】
0.7
