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1. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图1是2025年3月的日历。我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：$5 × 11 - 4 × 12 =7$，$22 × 28 -21 × 29=7$，不难发现，结果都是7。
2025年3月
2025年×月
请你按照这个算法完成下列问题：
(1)计算：$24 × 30 -23 × 31 =$
(2)如图2是2025年某月的日历，在这个日历上，我们任意选择了其中所示的方框部分。
①请用含字母$n$的整式表示：$a=$
②这个日历，是否具有上面的规律？如果没有，请举反例说明；如果有，请选择图2中所选的方框部分，用含字母$n$的整式计算对以上规律加以证明。
2025年3月
2025年×月
请你按照这个算法完成下列问题：
(1)计算：$24 × 30 -23 × 31 =$
7
；(2)如图2是2025年某月的日历，在这个日历上，我们任意选择了其中所示的方框部分。
①请用含字母$n$的整式表示：$a=$
$n+1$
；$b=$$n+7$
；$c=$$n+8$
。②这个日历，是否具有上面的规律？如果没有，请举反例说明；如果有，请选择图2中所选的方框部分，用含字母$n$的整式计算对以上规律加以证明。
答案
1. (1) 7
(2) ① $n+1$ $n+7$ $n+8$
② 这个日历，具有上面的规律. 证明:根据题意,得$(n+1)(n+7)-n(n+8)=n^2+8n+7-n^2-8n=7$. 答:这个日历具有上面的规律.
(2) ① $n+1$ $n+7$ $n+8$
② 这个日历，具有上面的规律. 证明:根据题意,得$(n+1)(n+7)-n(n+8)=n^2+8n+7-n^2-8n=7$. 答:这个日历具有上面的规律.
解析
【分析】
(1) 第一小问直接按照整数运算规则计算交叉相乘的差值即可；(2) ①首先明确日历的数字排列规律：同一行相邻数右边比左边大1，同一列相邻数下一行比上一行大7，据此可推导a、b、c与n的数量关系；②要验证是否存在相同规律，只需按照题中给定的算法，将四个数用含n的代数式代入后交叉相乘再相减，利用整式乘法法则展开化简，若结果恒为7则说明规律成立。
【解析】
(1) 先分别计算两个乘积：$24×30=720$，$23×31=713$，再计算差值：$720-713=7$。
(2) ① 根据日历数字排列规律：
a和n在同一行，a位于n右侧，因此$a=n+1$；
b和n在同一列，b位于n的下一行，因此$b=n+7$；
c和b在同一行，c位于b右侧，因此$c=b+1=n+7+1=n+8$。
② 验证规律：按照题中算法计算交叉乘积的差，代入代数式得：
$\begin{aligned}(n+1)(n+7)-n(n+8)&=n^2+7n+n+7-(n^2+8n)\\&=n^2+8n+7-n^2-8n\\&=7\end{aligned}$
计算结果恒为7，因此该日历具有上述规律。
【答案】
(1) 7
(2) ① $n+1$；$n+7$；$n+8$
② 这个日历具有上面的规律。证明：根据题意，得$(n+1)(n+7)-n(n+8)=n^2+8n+7-n^2-8n=7$。答：这个日历具有上面的规律。
【知识点】
1. 日历数字规律
2. 整式乘法运算
3. 代数式化简
【点评】
本题结合生活中常见的日历设置问题，考查规律探究与整式运算的实际应用，需要学生先观察总结日历的数字排列特点，再通过代数式运算验证规律，侧重对探究能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 第一小问直接按照整数运算规则计算交叉相乘的差值即可；(2) ①首先明确日历的数字排列规律：同一行相邻数右边比左边大1，同一列相邻数下一行比上一行大7，据此可推导a、b、c与n的数量关系；②要验证是否存在相同规律，只需按照题中给定的算法，将四个数用含n的代数式代入后交叉相乘再相减，利用整式乘法法则展开化简，若结果恒为7则说明规律成立。
【解析】
(1) 先分别计算两个乘积：$24×30=720$，$23×31=713$，再计算差值：$720-713=7$。
(2) ① 根据日历数字排列规律：
a和n在同一行，a位于n右侧，因此$a=n+1$；
b和n在同一列，b位于n的下一行，因此$b=n+7$；
c和b在同一行，c位于b右侧，因此$c=b+1=n+7+1=n+8$。
② 验证规律：按照题中算法计算交叉乘积的差，代入代数式得：
$\begin{aligned}(n+1)(n+7)-n(n+8)&=n^2+7n+n+7-(n^2+8n)\\&=n^2+8n+7-n^2-8n\\&=7\end{aligned}$
计算结果恒为7，因此该日历具有上述规律。
【答案】
(1) 7
(2) ① $n+1$；$n+7$；$n+8$
② 这个日历具有上面的规律。证明：根据题意，得$(n+1)(n+7)-n(n+8)=n^2+8n+7-n^2-8n=7$。答：这个日历具有上面的规律。
【知识点】
1. 日历数字规律
2. 整式乘法运算
3. 代数式化简
【点评】
本题结合生活中常见的日历设置问题，考查规律探究与整式运算的实际应用，需要学生先观察总结日历的数字排列特点，再通过代数式运算验证规律，侧重对探究能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
2. 观察两组数:
(1)$40×40=1600$；
$45×35=(40+\_\_\_\_\_\_)×(40-\_\_\_\_\_\_)=\_\_\_\_\_\_$；
$53×27=(40+\_\_\_\_\_\_)×(40-\_\_\_\_\_\_)=\_\_\_\_\_\_$；
$62×18=(40+\_\_\_\_\_\_)×(40-\_\_\_\_\_\_)=\_\_\_\_\_\_$.
(2)$60×60=\_\_\_\_\_\_$；$63×57=\_\_\_\_\_\_$；
$84×36=\_\_\_\_\_\_$；$91×29=\_\_\_\_\_\_$.
计算每组两个数的积(每组中两个数的和为定值),观察结果具有的规律是：______
______.
用本章所学知识解释:可以设两数和为$m$,其中一个数为$x$,则另一个数为$m-x$,它们的乘积$y=x(m-x)=-x^2+mx$,这是一个二次函数(在九年级我们将会学习),当$x$越接近$\frac{m}{2}$时,$y$的值越大,也就说明了两数和一定时,两数越接近乘积越大.
巩固应用:用16 m长的铁丝围成一个长方形,长方形的最大面积是多少?此时长方形两条邻边有什么关系?
(1)$40×40=1600$；
$45×35=(40+\_\_\_\_\_\_)×(40-\_\_\_\_\_\_)=\_\_\_\_\_\_$；
$53×27=(40+\_\_\_\_\_\_)×(40-\_\_\_\_\_\_)=\_\_\_\_\_\_$；
$62×18=(40+\_\_\_\_\_\_)×(40-\_\_\_\_\_\_)=\_\_\_\_\_\_$.
(2)$60×60=\_\_\_\_\_\_$；$63×57=\_\_\_\_\_\_$；
$84×36=\_\_\_\_\_\_$；$91×29=\_\_\_\_\_\_$.
计算每组两个数的积(每组中两个数的和为定值),观察结果具有的规律是：______
______.
用本章所学知识解释:可以设两数和为$m$,其中一个数为$x$,则另一个数为$m-x$,它们的乘积$y=x(m-x)=-x^2+mx$,这是一个二次函数(在九年级我们将会学习),当$x$越接近$\frac{m}{2}$时,$y$的值越大,也就说明了两数和一定时,两数越接近乘积越大.
巩固应用:用16 m长的铁丝围成一个长方形,长方形的最大面积是多少?此时长方形两条邻边有什么关系?
答案
2. (1) 5 5 1575 13 13 1431 22 22 1116
(2) 3600 3591 3024 2639 当两个数的和一定时,这两个数越接近,它们的乘积越大
解:设长方形的长为$x$ m,则宽为$(8-x)$m,面积$S=x(8-x)=-x^2+8x$,$S$在$x=4$时取得最大值,最大面积是$16\ \mathrm{m}^2$.此时长和宽都为4 m,两条邻边相等.一般结论:当长方形的周长一定时,长方形的两邻边相等时,长方形的面积最大.
(2) 3600 3591 3024 2639 当两个数的和一定时,这两个数越接近,它们的乘积越大
解:设长方形的长为$x$ m,则宽为$(8-x)$m,面积$S=x(8-x)=-x^2+8x$,$S$在$x=4$时取得最大值,最大面积是$16\ \mathrm{m}^2$.此时长和宽都为4 m,两条邻边相等.一般结论:当长方形的周长一定时,长方形的两邻边相等时,长方形的面积最大.
解析
【分析】
解题时先观察第一组算式的两个乘数之和均为80，可转化为$(40+a)(40-a)$的形式，直接运用平方差公式快速计算；第二组算式的两个乘数之和均为120，同样可以利用平方差公式计算。对比每组算式的乘积和两个乘数的差，就能归纳出“和定积大”的规律。巩固应用环节，先根据周长求出长与宽的和为定值，再运用总结的规律即可求出最大面积，判断邻边关系。
【解析】
(1) 本组两个数的和均为80，利用平方差公式计算：
$45=40+5$，$35=40-5$，因此$45×35=(40+5)×(40-5)=40^2 - 5^2=1600-25=1575$；
$53=40+13$，$27=40-13$，因此$53×27=(40+13)×(40-13)=40^2 - 13^2=1600-169=1431$；
$62=40+22$，$18=40-22$，因此$62×18=(40+22)×(40-22)=40^2 - 22^2=1600-484=1116$。
(2) 本组两个数的和均为120，利用平方差公式计算：
$60×60=3600$；
$63×57=(60+3)×(60-3)=3600-9=3591$；
$84×36=(60+24)×(60-24)=3600-576=3024$；
$91×29=(60+31)×(60-31)=3600-961=2639$。
对比乘积可得规律：当两个数的和一定时，这两个数越接近，它们的乘积越大。
巩固应用解答：
铁丝长16m即长方形周长为16m，因此长与宽的和为$16÷2=8\ \mathrm{m}$。设长为$x\ \mathrm{m}$，则宽为$(8-x)\ \mathrm{m}$，面积$S=x(8-x)$。根据所得规律，两数和为定值8，当$x$和$8-x$越接近时乘积越大，因此当$x=8-x$即$x=4$时，面积最大，最大面积为$4×4=16\ \mathrm{m}^2$，此时两条邻边长度相等。
【答案】
(1) 5，5，1575；13，13，1431；22，22，1116
(2) 3600，3591，3024，2639；当两个数的和一定时，这两个数越接近，它们的乘积越大
巩固应用：最大面积是$16\ \mathrm{m}^2$，此时长方形两条邻边相等。
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
3. 规律探究与应用
【点评】
本题以整式乘法计算为基础，引导学生从特殊运算中归纳出一般性规律，再将规律迁移到实际几何问题的求解中，既考查了基础运算能力，也锻炼了归纳总结和知识迁移的能力，需要熟练掌握整式乘法公式，同时建立“用规律解问题”的意识。
【难度系数】
0.7
解题时先观察第一组算式的两个乘数之和均为80，可转化为$(40+a)(40-a)$的形式，直接运用平方差公式快速计算；第二组算式的两个乘数之和均为120，同样可以利用平方差公式计算。对比每组算式的乘积和两个乘数的差，就能归纳出“和定积大”的规律。巩固应用环节，先根据周长求出长与宽的和为定值，再运用总结的规律即可求出最大面积，判断邻边关系。
【解析】
(1) 本组两个数的和均为80，利用平方差公式计算：
$45=40+5$，$35=40-5$，因此$45×35=(40+5)×(40-5)=40^2 - 5^2=1600-25=1575$；
$53=40+13$，$27=40-13$，因此$53×27=(40+13)×(40-13)=40^2 - 13^2=1600-169=1431$；
$62=40+22$，$18=40-22$，因此$62×18=(40+22)×(40-22)=40^2 - 22^2=1600-484=1116$。
(2) 本组两个数的和均为120，利用平方差公式计算：
$60×60=3600$；
$63×57=(60+3)×(60-3)=3600-9=3591$；
$84×36=(60+24)×(60-24)=3600-576=3024$；
$91×29=(60+31)×(60-31)=3600-961=2639$。
对比乘积可得规律：当两个数的和一定时，这两个数越接近，它们的乘积越大。
巩固应用解答：
铁丝长16m即长方形周长为16m，因此长与宽的和为$16÷2=8\ \mathrm{m}$。设长为$x\ \mathrm{m}$，则宽为$(8-x)\ \mathrm{m}$，面积$S=x(8-x)$。根据所得规律，两数和为定值8，当$x$和$8-x$越接近时乘积越大，因此当$x=8-x$即$x=4$时，面积最大，最大面积为$4×4=16\ \mathrm{m}^2$，此时两条邻边长度相等。
【答案】
(1) 5，5，1575；13，13，1431；22，22，1116
(2) 3600，3591，3024，2639；当两个数的和一定时，这两个数越接近，它们的乘积越大
巩固应用：最大面积是$16\ \mathrm{m}^2$，此时长方形两条邻边相等。
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
3. 规律探究与应用
【点评】
本题以整式乘法计算为基础，引导学生从特殊运算中归纳出一般性规律，再将规律迁移到实际几何问题的求解中，既考查了基础运算能力，也锻炼了归纳总结和知识迁移的能力，需要熟练掌握整式乘法公式，同时建立“用规律解问题”的意识。
【难度系数】
0.7
