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8 一条直线将矩形分为两个四边形，若这两个四边形是相似形，且均相似于原矩形，则原矩形较长边与较短边的比为
√2 : 1
.答案
8. √2 : 1
9（易错题）新考向新定义题 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另外一个小三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”. 如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD∽△ABC，∠A＝46°，则∠ACB的度数为
（第9题）
113°或92°
。（第9题）答案
9. 113°或 92° 【解析】由△CBD∽△ABC,得∠BCD=∠A=46°.
∵ △ACD是等腰三角形,且∠ADC＞∠BCD,
∴ ∠ADC＞∠A,即AC≠CD. ① 当AC=AD时,∠ACD=∠ADC=$\frac{1}{2}$×(180°-46°)=67°,此时∠ACB=67°+46°=113°;② 当AD=CD时,∠A=∠ACD=46°,此时∠ACB=46°+46°=92°.综上所述,∠ACB的度数113°或92°.
易错分析
9. 考虑问题不全面导致漏解.条件△ACD是等腰三角形,要分情况讨论.
∵ △ACD是等腰三角形,且∠ADC＞∠BCD,
∴ ∠ADC＞∠A,即AC≠CD. ① 当AC=AD时,∠ACD=∠ADC=$\frac{1}{2}$×(180°-46°)=67°,此时∠ACB=67°+46°=113°;② 当AD=CD时,∠A=∠ACD=46°,此时∠ACB=46°+46°=92°.综上所述,∠ACB的度数113°或92°.
易错分析
9. 考虑问题不全面导致漏解.条件△ACD是等腰三角形,要分情况讨论.
10 如图，在$□ ABCD$中，$AC$与$BD$交于点$O$，$F$，$E$，$M$，$N$分别是$AO$，$BO$，$CO$，$DO$的中点，连接$FE$，$EM$，$MN$，$NF$，得到$□ FEMN$。求证：$□ ABCD ∼ □ FEMN$。
答案
10.
∵ F,E分别是AO,BO的中点,
∴ $FE=\frac{1}{2}AB$,$FE// AB$.
∴ ∠OEF=∠OBA,∠OFE=∠OAB. 同理,$EM=\frac{1}{2}BC$,$MN=\frac{1}{2}CD$,$NF=\frac{1}{2}DA$,∠OEM=∠OBC,∠OME=∠OCB,∠OMN=∠OCD,∠ONM=∠ODC,∠ONF=∠ODA,∠OFN=∠OAD.
∴ $\frac{AB}{FE}=\frac{BC}{EM}=\frac{CD}{MN}=\frac{DA}{NF}$,易得∠DAB=∠NFE,∠ABC=∠FEM,∠BCD=∠EMN,∠CDA=∠MNF.
∴ $□ ABCD∽□ FEMN$
∵ F,E分别是AO,BO的中点,
∴ $FE=\frac{1}{2}AB$,$FE// AB$.
∴ ∠OEF=∠OBA,∠OFE=∠OAB. 同理,$EM=\frac{1}{2}BC$,$MN=\frac{1}{2}CD$,$NF=\frac{1}{2}DA$,∠OEM=∠OBC,∠OME=∠OCB,∠OMN=∠OCD,∠ONM=∠ODC,∠ONF=∠ODA,∠OFN=∠OAD.
∴ $\frac{AB}{FE}=\frac{BC}{EM}=\frac{CD}{MN}=\frac{DA}{NF}$,易得∠DAB=∠NFE,∠ABC=∠FEM,∠BCD=∠EMN,∠CDA=∠MNF.
∴ $□ ABCD∽□ FEMN$
11 如图，E 是菱形 ABCD 的对角线 CA 的延长线上的任意一点，以线段 AE 为边，向下作菱形 AEFG，且菱形 AEFG∽菱形 ABCD，连接 EB，GD.
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=$\sqrt{3}$，求 GD 的长.
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=$\sqrt{3}$，求 GD 的长.
答案
11. （1）
∵ 菱形 AEFG∽菱形 ABCD,
∴ ∠EAG=∠BAD.
∴ ∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB,即∠EAB=∠GAD.
∵ 在菱形 AEFG 和菱形 ABCD 中,AE=AG,AB=AD,
∴ △AEB≌△AGD.
∴ EB=GD
（2）连接BD,交AC于点P.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AD=AB=2,BP⊥AC,$BP=\frac{1}{2}BD$.
∵ ∠DAB=60°,
∴ △ABD是等边三角形.
∴ BD=2.
∴ BP=1.
∴ 在Rt△ABP中,由勾股定理,得$AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{3}$.
∵ AE=AG=$\sqrt{3}$,
∴ EP=2$\sqrt{3}$.
∴ 在Rt△EBP中,由勾股定理,得$EB=\sqrt{EP^2+BP^2}=\sqrt{13}$.
∴ GD=EB=$\sqrt{13}$
∵ 菱形 AEFG∽菱形 ABCD,
∴ ∠EAG=∠BAD.
∴ ∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB,即∠EAB=∠GAD.
∵ 在菱形 AEFG 和菱形 ABCD 中,AE=AG,AB=AD,
∴ △AEB≌△AGD.
∴ EB=GD
（2）连接BD,交AC于点P.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AD=AB=2,BP⊥AC,$BP=\frac{1}{2}BD$.
∵ ∠DAB=60°,
∴ △ABD是等边三角形.
∴ BD=2.
∴ BP=1.
∴ 在Rt△ABP中,由勾股定理,得$AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{3}$.
∵ AE=AG=$\sqrt{3}$,
∴ EP=2$\sqrt{3}$.
∴ 在Rt△EBP中,由勾股定理,得$EB=\sqrt{EP^2+BP^2}=\sqrt{13}$.
∴ GD=EB=$\sqrt{13}$
