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6. 已知$5a+8b=3b+10$。利用等式的性质，求得$a+b$的值是
2
。答案
2
解析
【分析】
本题要求$a+b$的值，无需单独求出$a$和$b$的具体数值，可通过对已知等式变形推导：首先利用等式的性质1，将等式右侧的$3b$移到左侧，合并同类项后得到含有$a+b$整体的式子，再利用等式的性质2，两边同时除以$a+b$的系数，即可求出结果。
【解析】
解：已知$5a+8b=3b+10$，
根据等式的性质1，等式两边同时减去$3b$，等式仍然成立，得：
$5a+8b-3b=3b+10-3b$
合并同类项，得$5a+5b=10$，
逆用乘法分配律，得$5(a+b)=10$，
根据等式的性质2，等式两边同时除以5，等式仍然成立，得：
$a+b=2$
【答案】
2
【知识点】
等式的基本性质、合并同类项、整体求值
【点评】
本题侧重考察等式性质的灵活应用，解题关键是通过变形得到$a+b$的整体表达式，不需要分别求解$a$、$b$的数值，能有效锻炼代数式变形的能力。
【难度系数】
0.8
本题要求$a+b$的值，无需单独求出$a$和$b$的具体数值，可通过对已知等式变形推导：首先利用等式的性质1，将等式右侧的$3b$移到左侧，合并同类项后得到含有$a+b$整体的式子，再利用等式的性质2，两边同时除以$a+b$的系数，即可求出结果。
【解析】
解：已知$5a+8b=3b+10$，
根据等式的性质1，等式两边同时减去$3b$，等式仍然成立，得：
$5a+8b-3b=3b+10-3b$
合并同类项，得$5a+5b=10$，
逆用乘法分配律，得$5(a+b)=10$，
根据等式的性质2，等式两边同时除以5，等式仍然成立，得：
$a+b=2$
【答案】
2
【知识点】
等式的基本性质、合并同类项、整体求值
【点评】
本题侧重考察等式性质的灵活应用，解题关键是通过变形得到$a+b$的整体表达式，不需要分别求解$a$、$b$的数值，能有效锻炼代数式变形的能力。
【难度系数】
0.8
7. 已知$a=b$，且$c$为任意实数。下列等式成立吗？若成立，依据是什么？若不成立，请说明理由。
(1) $a+c=b+c$；(2) $ac=bc$；(3) $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$；(4) $\frac{c}{a}=\frac{c}{b}$。
(1) $a+c=b+c$；(2) $ac=bc$；(3) $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$；(4) $\frac{c}{a}=\frac{c}{b}$。
答案
(1) 成立,等式的性质 1。
(2) 成立,等式的性质 2。
(3) 不成立,若 c 为 0,无意义。
(4) 不成立,若 a 或 b 为 0,无意义。
(2) 成立,等式的性质 2。
(3) 不成立,若 c 为 0,无意义。
(4) 不成立,若 a 或 b 为 0,无意义。
解析
【分析】
解题时先回忆等式的两条基本性质，再结合“0不能作除数”的规则逐个判断4个等式：①判断$a+c=b+c$时，对照等式两边加同一个数的规则验证；②判断$ac=bc$时，对照等式两边乘同一个数的规则验证；③判断$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$时，注意除数$c$若为0则运算无意义；④判断$\frac{c}{a}=\frac{c}{b}$时，注意已知$a=b$，若$a$、$b$均为0，除数为0也会导致运算无意义，依次分析即可得出结论。
【解析】
(1) 成立。根据等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。已知$a=b$，两边同时加任意实数$c$，可得$a+c=b+c$，因此等式成立。
(2) 成立。根据等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。已知$a=b$，两边同时乘任意实数$c$，可得$ac=bc$，因此等式成立。
(3) 不成立。因为0不能作除数，当$c=0$时，$a÷ c$和$b÷ c$都没有意义，因此该等式不一定成立。
(4) 不成立。因为0不能作除数，当$a=b=0$时，$c÷ a$和$c÷ b$都没有意义，因此该等式不一定成立。
【答案】
(1) 成立,等式的性质 1。
(2) 成立,等式的性质 2。
(3) 不成立,若 c 为 0,无意义。
(4) 不成立,若 a 或 b 为 0,无意义。
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2；0不能作除数
【点评】
本题重点考查对等式基本性质的理解，易错点是使用等式两边除以同一个数的规则时，忽略“除数不能为0”的前提要求，做题时要注意考虑特殊取值的情况，避免遗漏。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆等式的两条基本性质，再结合“0不能作除数”的规则逐个判断4个等式：①判断$a+c=b+c$时，对照等式两边加同一个数的规则验证；②判断$ac=bc$时，对照等式两边乘同一个数的规则验证；③判断$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$时，注意除数$c$若为0则运算无意义；④判断$\frac{c}{a}=\frac{c}{b}$时，注意已知$a=b$，若$a$、$b$均为0，除数为0也会导致运算无意义，依次分析即可得出结论。
【解析】
(1) 成立。根据等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。已知$a=b$，两边同时加任意实数$c$，可得$a+c=b+c$，因此等式成立。
(2) 成立。根据等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。已知$a=b$，两边同时乘任意实数$c$，可得$ac=bc$，因此等式成立。
(3) 不成立。因为0不能作除数，当$c=0$时，$a÷ c$和$b÷ c$都没有意义，因此该等式不一定成立。
(4) 不成立。因为0不能作除数，当$a=b=0$时，$c÷ a$和$c÷ b$都没有意义，因此该等式不一定成立。
【答案】
(1) 成立,等式的性质 1。
(2) 成立,等式的性质 2。
(3) 不成立,若 c 为 0,无意义。
(4) 不成立,若 a 或 b 为 0,无意义。
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2；0不能作除数
【点评】
本题重点考查对等式基本性质的理解，易错点是使用等式两边除以同一个数的规则时，忽略“除数不能为0”的前提要求，做题时要注意考虑特殊取值的情况，避免遗漏。
【难度系数】
0.7
8. 根据等式的性质,由等式$5x - 3 = 2x - 3$可以得到$x = 0$成立。请补充完整求解的过程。
解:依据等式的性质1,方程两边都加上3,得$5x = 2x$。
解:依据等式的性质1,方程两边都加上3,得$5x = 2x$。
答案
依据等式的性质 1,方程两边都减去 2x,得 3x=0。
依据等式的性质 2,方程两边都除以 3,得 x=0。
依据等式的性质 2,方程两边都除以 3,得 x=0。
解析
【分析】
我们的最终目标是将方程变形为“x=常数”的形式，题目已完成第一步变形：两边加3消去了常数项-3，得到5x=2x。接下来需要把含x的项统一到等号的一侧，根据等式的性质1，等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立，因此可以两边同时减2x消去右侧的2x，得到3x=0。最后要把x的系数化为1，根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立，这里x的系数3不为0，因此两边同时除以3即可得到x=0。
【解析】
依据等式的性质1，方程两边都减去2x，得3x=0。
依据等式的性质2，方程两边都除以3，得x=0。
【答案】
依据等式的性质 1,方程两边都减去 2x,得 3x=0。
依据等式的性质 2,方程两边都除以 3,得 x=0。
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2，解一元一次方程
【点评】
本题主要考查等式基本性质的运用，解题时要明确每一步变形的依据，注意等式两边必须同时进行相同的运算，将系数化为1时要确认所除的数不为0，养成严谨规范的解题习惯。
【难度系数】
0.8
我们的最终目标是将方程变形为“x=常数”的形式，题目已完成第一步变形：两边加3消去了常数项-3，得到5x=2x。接下来需要把含x的项统一到等号的一侧，根据等式的性质1，等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立，因此可以两边同时减2x消去右侧的2x，得到3x=0。最后要把x的系数化为1，根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立，这里x的系数3不为0，因此两边同时除以3即可得到x=0。
【解析】
依据等式的性质1，方程两边都减去2x，得3x=0。
依据等式的性质2，方程两边都除以3，得x=0。
【答案】
依据等式的性质 1,方程两边都减去 2x,得 3x=0。
依据等式的性质 2,方程两边都除以 3,得 x=0。
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2，解一元一次方程
【点评】
本题主要考查等式基本性质的运用，解题时要明确每一步变形的依据，注意等式两边必须同时进行相同的运算，将系数化为1时要确认所除的数不为0，养成严谨规范的解题习惯。
【难度系数】
0.8
9. 已知$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}$，根据下列要求写出仍然成立的等式。
（1）等式中a的系数是1；
（2）等式中a，b的系数都是整数。
（1）等式中a的系数是1；
（2）等式中a，b的系数都是整数。
答案
(1) $a=\frac{3}{2}b$ 或 $a-\frac{3}{2}b=0$ (2) $2a-3b=0$ 或 $3b-2a=0$ 或 $2a=3b$
解析
【分析】
解决本题需要运用等式的基本性质进行变形：①第（1）问要求a的系数为1，观察原式中a的系数是$\frac{1}{3}$，因此只需给等式两边同时乘3，即可将a的系数化为1，得到符合要求的等式；②第（2）问要求a、b的系数都是整数，原式分母为3和2，因此给等式两边同时乘两个分母的最小公倍数6，即可消去分母，得到系数为整数的等式，也可通过移项得到其他等价的符合要求的等式。
【解析】
已知$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}$，根据等式的基本性质变形：
（1）给等式两边同时乘3，得：
$\frac{a}{3}×3=\frac{b}{2}×3$，即$a=\frac{3}{2}b$，移项可得$a-\frac{3}{2}b=0$，两个等式均满足a的系数为1的要求。
（2）给等式两边同时乘6（3和2的最小公倍数），得：
$\frac{a}{3}×6=\frac{b}{2}×6$，即$2a=3b$，移项可得$2a-3b=0$或$3b-2a=0$，三个等式均满足a、b系数为整数的要求。
【答案】
(1) $a=\frac{3}{2}b$ 或 $a-\frac{3}{2}b=0$ (2) $2a-3b=0$ 或 $3b-2a=0$ 或 $2a=3b$
【知识点】
等式的基本性质、等式的恒等变形
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题核心是根据题目要求选择合适的数乘等式两边，变形过程中注意保证等式始终成立，熟练掌握等式的基本性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解决本题需要运用等式的基本性质进行变形：①第（1）问要求a的系数为1，观察原式中a的系数是$\frac{1}{3}$，因此只需给等式两边同时乘3，即可将a的系数化为1，得到符合要求的等式；②第（2）问要求a、b的系数都是整数，原式分母为3和2，因此给等式两边同时乘两个分母的最小公倍数6，即可消去分母，得到系数为整数的等式，也可通过移项得到其他等价的符合要求的等式。
【解析】
已知$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}$，根据等式的基本性质变形：
（1）给等式两边同时乘3，得：
$\frac{a}{3}×3=\frac{b}{2}×3$，即$a=\frac{3}{2}b$，移项可得$a-\frac{3}{2}b=0$，两个等式均满足a的系数为1的要求。
（2）给等式两边同时乘6（3和2的最小公倍数），得：
$\frac{a}{3}×6=\frac{b}{2}×6$，即$2a=3b$，移项可得$2a-3b=0$或$3b-2a=0$，三个等式均满足a、b系数为整数的要求。
【答案】
(1) $a=\frac{3}{2}b$ 或 $a-\frac{3}{2}b=0$ (2) $2a-3b=0$ 或 $3b-2a=0$ 或 $2a=3b$
【知识点】
等式的基本性质、等式的恒等变形
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题核心是根据题目要求选择合适的数乘等式两边，变形过程中注意保证等式始终成立，熟练掌握等式的基本性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
